1、课时跟踪检测(三)空间向量的数量积运算A级基础巩固1已知向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直若m8j3k，ni5j4k，则mn的值为()A7B20C28 D11解析：选C向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直，所以|i|j|k|1，且ijjkik0.因为m8j3k，ni5j4k，所以mn(8j3k)(i5j4k)401228.故选C.2已知空间向量abc0，|a|2，|b|3，|c|4，则cosa，b()A. B.C D.解析：选Dabc0，abc，(ab)2|a|2|b|22ab|c|2，ab，cosa，b.3.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB
2、，AD，CD的中点，则()A. B.C. D.解析：选B由题意得，所以11cos 60.故选B.4在四面体OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，()A. B.C D0解析：选Dcos，.因为|，AOCAOB，所以cos，0.5.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A. B.C1 D.解析：选D因为，所以|2|2|2|2222111，所以| .故选D.6已知a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|，则cosa，b_解析：将|ab|两边平方，得(ab)27.因为|a|2，|b|2，所以ab.又ab|a|b
3、|cosa，b，故cosa，b.答案：7已知空间向量a，b，|a|3，|b|4，mab，nab，a，b135，若mn，则_解析：由mn得(ab)(ab)0，即a2(1)abb20，所以18(1)34cos 135160，即460，解得.答案：8如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设ADAA11，AB2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为_；_解析：法一：连接A1D，则PA1D就是与所成角连接PD，在PA1D中，易得PA1DA1PD，即PA1D为等边三角形，从而PA1D60，即与所成角的大小为60.因此cos 601.法二：根据向量的线性运算可得()21.由题意可得PA1B1C，则co
4、s，1，从而，60.答案：6019.如图，正四棱锥PABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BDPC；(2)求|的值解：(1)证明：，()|cos 60|cos 120a2a20.BDPC.(2)，|2|2|2|2222a2a2a202a2cos 602a2cos 605a2，|a.10如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长解：(1)证明：，.BB1平面ABC，0，0.又ABC为正三角形，.()()2|cos，2110，AB1BC1.(2)由(1)知|cos，221.又| |，cos，|2，即侧棱长为
5、2.B级综合运用11(多选)已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是()A()23()2B.()0C向量与向量的夹角是60D正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|解析：选AB由向量的加法得到：，A1C23(A1B1)2，()23()2，A正确；，AB1A1C，0，故B正确；ACD1是等边三角形，AD1C60，又A1BD1C，异面直线AD1与A1B所成的角为60，但是向量与向量的夹角是120，故C不正确；ABAA1，0，故|0，因此D不正确12.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60.若M是PC的中点，则
6、|()A. B.C. D.解析：选A记a，b，c，因为ABAD1，PA2，所以|a|b|1，|c|2.又因为ABAD，PABPAD60，所以ab0，acbc21cos 601.易得(abc)，所以|2(abc)2a2b2c22(abacbc)1212222(011)，所以|.故选A.13如图，在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB2，EF4，CACB3.若7，则与的夹角的余弦值等于_解析：由题意得29()2222942，所以2.由7，可得()()24()26()67.所以2，即43cos，2，所以cos，.答案：14如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形
7、，AA12，A1ABA1AD120.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值解：(1)设a，b，c，则|a|b|1，|c|2，ab0，cacb21cos 1201.abc，|abc|.线段AC1的长为.(2)设异面直线AC1与A1D所成的角为，则cos |cos，|.abc，bc，(abc)(bc)abacb2c20112222，|.cos .异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.C级拓展探究15如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD.(1)求证：CC1BD；(2)当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明解：(1)证明：设a，b，c.依题意有|a|b|，ab.设，的两两夹角均为，于是c(ab)cacb|c|a|cos |c|b|cos 0，CC1BD.(2)若A1C平面C1BD，则A1CBD，A1CDC1.由()()(abc)(ac)|a|2acabbcca|c|2|a|2|c|2|b|a|cos |b|c|cos (|a|c|)(|a|c|b|cos )0，得当|c|a|时，A1CDC1.同理可证，当|a|b|时，A1CBD.综上，当1时，A1C平面C1BD.