1、优培18 圆锥曲线综合1、圆锥曲线的定点和定值问题例1:已知椭圆的离心率为,且过点(1)求椭圆的方程;(2)过点作两条直线,与椭圆分别交于,(,与不重合)两点,若,的斜率之和为,求证:直线过定点【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)离心率,设椭圆的方程为,点在该椭圆上,椭圆的方程为,即为(2)证明:设直线的方程为(不存在时不满足要求),联立得方程组,消去并整理,得设点,则,设直线,的斜率分别为,则,将,代入上式并化简,得,或当时,直线过定点,不合题意,舍去;当时,直线过定点,综上所述,直线过定点2、圆锥曲线的最值和范围问题例2:在平面直角坐标系中,是抛物线的焦点,是抛物线上位于第一象限
2、内的任意一点,过,三点的圆的圆心为,点到抛物线准线的距离为(1)求抛物线的方程;(2)若点的横坐标为,直线与抛物线有两个不同的交点,与圆有两个不同的交点,求当时,的最小值【答案】(1);(2)【解析】(1)抛物线的焦点,由已知可得,到,两点的距离相等,点的纵坐标为,抛物线的方程为(2)若点的横坐标为,则有,设,则由可得,解得,圆的标准方程为,圆心到直线的距离,由,可得,设,则有,令,则,令,则恒成立,在单调递增,当,即时,的最小值为一、填空题1等腰直角内接于抛物线,(为坐标原点),且,若为的焦点,为上的动点,则的最大值为 【答案】【解析】设等腰直角的顶点,则,由,得,即,即,关于轴对称,直线方
3、程为,与抛物线方程联立,解得或,设,则到准线的距离为,令,则,当,即时,取得最大值二、解答题2在直角坐标平面中,已知的顶点,为平面内的动点,且(1)求动点的轨迹的方程;(2)设过点且不垂直于轴的直线与交于,两点,点关于轴的对称点为,证明:直线过轴上的定点【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)设,由已知,化简得点的轨迹的方程为(2)由(1)知,过点的直线的斜率为时与无交点,不合题意故可设直线的方程为:,代入的方程得设,则,直线,令,得直线过轴上的定点3在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上的点到右焦点的最大距离为,过焦点且垂直于长轴的弦长为(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆长
4、轴上的一个动点,过点作斜率为的直线交椭圆于,两点若的值与点的位置无关,求的值【答案】(1);(2)【解析】(1)由题设可知,解得,故,椭圆的方程为(2)设点,直线的方程为,与椭圆的两个交点分别为,将直线的方程与椭圆的方程联立,得,消去并化简、整理,得,的值与点的位置无关,即式的取值与无关,解得,的值为4在平面直角坐标系内,两条动直线,分别过定点,其斜率分别为,记它们的交点形成的轨迹为曲线(1)当时,求曲线的轨迹方程;(2)点为坐标原点,在(1)的条件下,过曲线外且不在轴上的点作曲线的两条切线,切点分别记为,当直线与的斜率之积为时,直线是否经过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由【答案
5、】(1);(2)是经过定点,定点为【解析】(1)设交点,则,存在且不为,故曲线的轨迹方程为(2)直线经过定点设切点,的坐标分别为,点点,在抛物线上,由题意可设切线的方程为联立得方程组,消去并整理,得由及,得,故切线的方程为同理,切线的方程为由解得,从而又,由题意,得,故设直线的方程为联立得方程组,消去并整理,得由,得,解得,故直线过定点5已知双曲线的离心率为,且焦点到渐近线的距离为(1)求双曲线的标准方程;(2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求实数的取值范围【答案】(1);(2)【解析】(1)焦点到渐近线的距离为,又,双曲线的标准方程为(2)设直线的方程为,则由消去,可得,根据题意可知,且,即,由根与系数的关系,可知线段的中点坐标为满足,线段的垂直平分线方程为,此直线与轴,轴的交点坐标分别为,化简可得,将代入得,即,解得或,实数的取值范围是