1、2022 年福建省厦门外国语学校高考数学仿真预测试卷 一选择题（共 8 小题，满分 40 分，每小题 5 分）1（5 分）设集合 Ax|4x1|9，B=|+3 0，则 AB 等于（）A（3，2 B(3，2 0，52 C(，2 (52，+)D(，3)52，+)2（5 分）复数 z=121+3的共轭复数的虚部为（）A 12 B12 C 12 D12 3（5 分）武汉疫情爆发后，某医院抽调 3 名医生，5 名护士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有（）A900 种 B1200 种 C1460 种 D1820 种 4（5 分）体积为 36 的金属球在机床上通过切割
2、，加工成一个底面积为 8 的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧面积为（）A82 B83 C62 D93 5（5 分）粮食安天下安，粮食生产是保障国家安全的重器，只有立足自身才能确保粮食产品安全稳定，把中国人的口粮牢牢地抓在自己手里，以袁隆平、李振声、李登海为代表的农业科学家一次次的把我国的粮食生产提高到一个新的高度某实验农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续 6 年的年平均产量如表（单位：500g）：品种 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 第 6 年 甲 900 920 900 850 910 920 乙 900 960 950 860 860 900 根据上
3、述实验结果，下列说法正确的是（）A甲种水稻平均产量高并且产量稳定 B甲种水稻平均产量高但是乙种产量稳定 C乙种水稻平均产量高并且产量稳定 D乙种水稻平均产量高但是甲种产量稳定 6（5 分）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图 1我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用 10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为 1 个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为 36，如图 2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（）A218
4、B1218 C5 D5 7（5 分）在菱形 ABCD 中，点 E 是线段 CD 上的一点，且=2，若|=35，|=217，则=（）A26 B24 C125 D817 8（5 分）已知 x20.4，=25，=(25)0.4，则下列结论正确的是（）Axyz Byzx Czyx Dzxy 二多选题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）9（5 分）已知两点 M（5，0），N（5，0），若直线上存在点 P，使|PM|PN|6，则称该直线为“B 型直线”下列直线中为“B 型直线”的是（）Ayx+1 By2 Cy=43x1 Dy2x 10（5 分）已知直线 x=8是函数 f（x）sin（2x+）（
5、0）的一条对称轴，则（）Af（x+8）是奇函数 Bx=38 是 f（x）的一个零点 Cf（x）在8，2上单调递减 Dyf（x）与 g（x）sin（2x 4）的图象关于直线 x=4对称 11（5 分）设 x0，y0，则下列结论正确的是（）A不等式(+)(1+1)4恒成立 B函数 f（x）3x+3x 的最小值为 2 C函数()=2+3+1的最大值为15 D若 x+y2，则12+1+1+1的最小值为 56 12（5 分）下列说法正确的是（）A设随机变量 X 等可能取 1，2，3，n，如果 P（X4）0.3，则 n10 B设随机变量 X 服从二项分布(6，12)，则(=3)=516 C设离散型随机变量
6、 服从两点分布，若 P（1）2P（0），则(=0)=13 D已知随机变量 X 服从正态分布 N（2，2）且 P（X4）0.9，则 P（0X2）0.3 三填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）13（5 分）已知直线 l：yx+m 被圆 C：x2+y24x2y10 截得的弦长等于该圆的半径，则实数 m 14（5 分）数列 1，x，1，x，x，1，x，x，x，1，x，x，x，x，1，x，其中在第 n 个 1与第 n+1 个 1 之间插入 n 个 x，若该数列的前 2020 项的和为 7891，则 x 15（5 分）已 知 正 方 体 ABCD A1B1C1D1，则 二 面 角 A B
7、1D1 C 的 正 弦 值为 16（5 分）已知函数 f（x）=2，12，1，若函数 g（x）f2（x）+af（x）有 5 个零点，则 a 的取值范围是 四解答题（共 6 小题，满分 70 分）17（10 分）已知 a，b，c 分别为锐角三角形 ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且3c2asinC（1）求 A；（2）若 cosB=23，求 sin（2BA）的值；（3）若 a2，ABC 的面积为3，求 b，c 18（12 分）已知等差数列an的公差 d0，a37，且 a1，a2，a6 成等比数列，数列bn满足 bn+bn+1an（1）求an的通项公式；（2）求bn的前 20 项和 S20 1
8、9（12 分）为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作经过多年的精心帮扶，截至 2018 年底，按照农村家庭人均年纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康，2019 年 6月，为估计该地能否在 2020 年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭 2019年 1 至 6 月的人均月纯收入，作出散点如下：根据相关性分析，发现其家庭人均月纯收入 y 与时间代码 x 之间具有较强的线性相关关系（记 2019 年 1 月、2 月分别为 x1，x2，依此类推），由此估计该家庭 2020年能实现小康生活但 2020 年
9、1 月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭 2020 年第一季度每月的人均月纯收入只有 2019 年 12 月的预估值的23（1）求 y 关于 x 的线性回归方程；（2）求该家庭 2020 年 3 月份的人均月纯收入；（3）如果以该家庭 3 月份人均月纯收入为基数，以后每月增长率为 8%，问该家庭 2020年底能否实现小康生活？参考数据：6=1 =9310，6=8610，1.08102.16 参考公式：=1 =1 22，=20（12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面 ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点（1）证明：AB1平面 BC1D（2）若 AA12AB，
10、求二面角 B1ACC1 的余弦值 21（12 分）已知椭圆22+22=1（ab0）的左焦点为 F，离心率 e=32，长轴长为 4（1）求椭圆的方程；（2）过点 F 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点（非长轴端点），MO 的延长线与椭圆交于 P点，求PMN 面积的最大值，并求此时直线 l 的方程 22（12 分）已知函数 f（x）lnxkx（kR），g（x）x（ex2）（1）若 f（x）有唯一零点，求 k 的取值范围；（2）若 g（x）f（x）1 恒成立，求 k 的取值范围 2022 年福建省厦门外国语学校高考数学仿真预测试卷 参考答案与试题解析 一选择题（共 8 小题，满分 40 分，每小题
11、 5 分）1解：=|2 或 52，=|3 0，AB（3，2 故选：A 2解：z=121+3=121=(12)(1+)(1)(1+)=32 12，=32+12，复数 z=121+3的共轭复数的虚部为12，故选：D 3解：根据题意，分 2 步进行分析：将 3 名医生安排到三家医院，有33=6 种安排方法，将 5 名护士分为 3 组，安排到三家医院，有（53+52321122）33=150 种安排方法，则有 6150900 种不同的安排方案，故选：A 4解：由球的体积可设球的半径 R，由题意43R336，可得 R3，当圆柱的体积最大时，则圆柱的上下底面与球相切，因为底面积为 8，设底面半径为 r，则
12、 r28，所以 r22，所以圆柱的高为：h22 2=29 8=2，所以圆柱的侧面积为 2rh2 22 2=82，故选：A 5解：根据平均值的计算公式和方差计算公式，计算平均值与方差得 甲=16（900+920+900+850+910+920）900，乙=16（900+960+950+860+860+900）905，甲2=16（900900）2+（920900）2+（900900）2+（850900）2+（910900）2+（920900）2=34006，乙2=16（900905）2+（960905）2+（950905）2+（860905）2+（860905）2+（900905）21525，由于
13、 x 甲x 乙，因此乙种水稻平均产量高，但是甲2乙2，所以乙种水稻亩产量高但甲产量稳定，故甲种水稻的质量更好 故选：D 6解：由题意分析可知当圆与长方形砖块较长的边相切时，且切点为中点时，圆的半径最大，此时有 362=12，解得=1218，故选：B 7解：连接 AC，BD 交于点 O，以点 O 为坐标原点，AC 为 x 轴，BD 为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系 设 OCm（m0），ODn（n0），则 A（m，0），C（m，0），B（0，n），D（0，n），所 以=(，)，=+=+13=(，)+13(，)=(43，23)，所以2+()2=35(43)2+(23)2=217，解得=6=3，所
14、以=(8，2)，=(2，5)，所以=26 故选：A 8解：20.4201，25 1=0，0(25)0.4(25)0=1，yzx 故选：B 二多选题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）9解：因为点 P 满足|PM|PN|6|MN|10,所以点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支，其中焦点坐标为 M（5，0），N（5，0），则 c5，又 2a6，则 a3，所以 b2c2a216，则双曲线的方程29 216=1(x0)，由题意点 P 既在双曲线的右支上，又在直线上，则直线与双曲线的右支有公共点，因为双曲线的渐近线方程为=43，所以 y=43x1 与双曲线没有公共点，故选项 C
15、错误；又直线 y2x 经过点（0,0）且斜率为 2 43,故直线 y2x 与双曲线也没有公共点，故选项 D 错误；而直线 yx+1 与 y2 与双曲线的右支均有公共点，所以直线 yx+1 与 y2 是“B 型直线”，故选项 A,B 正确 故选：AB 10解：直线 x=8是函数 f（x）sin（2x+）（0）的一条对称轴，2 8+k+2，kZ，=4，函数 f（x）sin（2x+4）f（x+8）sin（2x+2）cos2x 是偶函数，故 A 错误；令 x=38，求得 f（x）0，可得 x=38 是 f（x）的一个零点，故 B 正确；当 x8，2，2x+42，54，函数 f（x）单调递减，故 C 正
16、确；显然，f（x）sin（2x+4）与 g（x）sin（2x 4）的图象关于直线 x=4对称，故 D 正确，故选：BCD 11解：因为 x0，y0，（x+y）（1+1）2+4，当且仅当=时取等号，A 正确；因为 3x1，则 f（x）3x+3x 23 3=2，当且仅当 3x3x，即 x0 时取等号，但 x0，故 B 错误；()=2+3+1=1+1+3 12+3=15，当且仅当 x=1，即 x1 时取等号，C 正确；因为 x+y2，所以 2x+2y4，则 12+1+1+1=12+1+22+2=17（12+1+22+2）（2x+1+2y+2）=17（3+2+22+1+2+1+1）17(3+22)，当
17、且仅当2+22+1=2+1+1 时取等号，D 错误 故选：AC 12解：由题意知，对于(4)=(=1)+(=2)+(=3)=3=0.3，n10，故 A 正确；对于 B，设随机变量 X 服从二项分布(6，12)，则(=3)=63(12)3 (1 12)3=516，B正确；对于 C，因为 P（1）2P（0）且 P（1）+P（0）1，(=0)=13，故 C 正确；对于 D，随机变量 服从正态分布 N（2，2），正态曲线的对称轴是 x2 P（X4）0.9，P（0X4）0.8，P（0X2）P（2X4）0.4，D 错误；故选：ABC 三填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）13解：由 x2
18、+y24x2y10，得（x2）2+（y1）26，则圆心 C（2，1），半径为6，C 到直线 yx+m 的距离 d=|21+|2=|+1|2，直线 yx+m 被圆 C 截得的写出为26 (+1)22=6，整理得（m+1）29，解得 m2 或4 故答案为：2 或4 14解：当 n2 时，前 n 个 1 之间共有 n+1+2+3+（n1）=(+1)2项，当 n63 时，有63642=2016 项，在第 63 个 1 的后面再跟的第 4 个 x 就是第 2020 项，所以前 2020 项中含 63 个 1，其余的均为 x，故该数列前 2020 项的和为 631+（202063）x7891，解得 x4
19、故答案为：4 15解：设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，则 AD1ACD1CB1D1=22+22=22，取 B1D1 中点 O，CD1 中点 E，连接 AO，EO，AE，则 AOB1D1，EOB1D1，AOE 是二面角 AB1D1C 的平面角，AOAE=(22)2 (2)2=6，OE=12B1C=2，cosAOE=2+222=6+26262=612，sinAOE=1 (612)2=223 二面角 AB1D1C 的正弦值为223 故答案为：223 16解：由题意可知，f（x）=2，12，1，函数 g（x）f2（x）+af（x），当 g（x）0 时，即 f（x）f（x）+a0，由函
20、数 f（x）的解析式可知，当 f（x）0，即 xx20，则有两个实数根 0 和 1，要使函数 g（x）f2（x）+af（x）有 5 个零点，则只需 f（x）a 有三个不同的实数根，即函数 f（x）与 ya 的图象有三个不同的交点，作出函数图象如图所示，由图象可知，0 14，解得 14 0，所以实数 a 的取值范围为(14，0)故答案为：(14，0)四解答题（共 6 小题，满分 70 分）17解：（1）因为3c2asinC，则由正弦定理可得：3sinC2sinAsinC，sinC0，所以 sinA=32，又因为 A(0，2)，所以 A=3；（2）因为 cosB=23，所以 cos2B2(23)2
21、 1=19，又 2B（0，），所以 sin2B=1 (19)2=459，所以 sin（2BA）sin2Bcos3 cos2Bsin3=45912 (19)32=45+318；（3）由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA，则 b2+c2bc4.又三角形 ABC 的面积 S=12 =12 32=3，所以 bc4.联立，解得 bc2 18解：（1）a1，a2，a6 成等比数列，可得 a22a1a6，则1+2=7，(1+)2=1(1+5)，因为 d0，解得1=1，=3，所以 an1+3（n1）3n2；（2）由（1）得 bn+bn+1an3n2，则 S20（312）+（332）+（3192）1+7
22、+55=10 1+12 10 9 6=280 19解：（1）依题意，得=1+2+3+4+5+66=3.5，=66=861063.5=410，6=1 2=91，6=1 =9310，=6=1 6 6=1 262=93108610916352=40，=410 40 3.5=270 y 关于 x 的线性回归方程为=40+270；（2）令 x12，得 2019 年 12 月该家庭人均月纯收入预估值为 4012+270750 元 故 2020 年 3 月份该家庭的人均月纯收入为750 23=500元（3）每月的增长率为 8%，设从 3 月开始到 12 月的纯收入之和为 S10，则 10=500+500 (
23、1+0.08)+500 (1+0.08)9 =5001(1.08)1011.08=7250 S121000+S1082508000 故到 2020 年底能如期实现小康 20（1）证明：记 B1CBC1E，连接 DE 由直棱柱的性质可知四边形 BCC1B1 是矩形，则 E 为 B1C 的中点（1 分）因为 D 是 AC 的中点，所以 DEAB1（2 分）因为 AB1平面 BC1D，DE平面 BC1D，所以 AB1平面 BC1D（4 分）（2）解：因为底面 ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点，所以 BDAC，由直棱柱的性质可知平面 ABC平面 ACC1A1，则 BD平面 ACC1A1（5
24、分）取 A1C1 的中点 F，连接 DF，则 DB，DC，DF 两两垂直，故以 D 为原点，分别以，的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz 设 AB2，则(0，1，0)，(0，1，0)，1(3，0，4)，从而=(0，2，0)，=(3，1，4)（6 分）设平面 AB1C 的法向量为=(，)，则 =2=0 1=3+4=0，令x4得=(4，0，3)（8 分）平面 ACC1 的一个法向量为=(1，0，0)，（9 分）则，=|=419=41919（11 分）设二面角 B1ACC1 为，由图可知 为锐角，则=|，|=41919（12 分）21解：（1）因为椭圆的长轴长为
25、4，所以 2a4，解得 a2，因为椭圆的离心率 e=32，所以 e=32=，又因为 a2b2+c2，由解得 a24，b21，所以椭圆的方程为24+y21（2）设直线 MN 的方程为 xmy3，联立=324+2=1，得（4+m2）y223my10，因为0，y1+y2=232+4，y1y2=12+4，所以|MN|=1+2(1+2)2 412=4(2+1)2+4，所以原点到直线 xmy3的距离 d=32+1，所以点 P 到直线 MN 的距离 2d=232+1，所以 SMNP=12|MN|2d=432+12+4，令2+1=t，t1，则 SMNP=432+3=43+3 4323=2，当且仅当 t=3时，
26、取等号，此时 m=2，所以直线 l 的方程为 x2y+3=0 或 x+2y+3=0 22解：（1）由 f（x）lnxkx 有唯一的零点，故方程 lnxkx0 有唯一的实数根，即=有唯一的实数根，令 h（x）=，则()=12，令 h（x）0，解得 0 xe，令 h（x）0，解得 xe，所以 h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，所以当 xe 时，f（x）的最大值为 h（e）=1，又 h（1）0，所以 0 x1 时，h（x）0，又当 xe 时，()=0，综上可得，k 的取值范围为=1或 k0；（2）因为 g（x）f（x）1 恒成立，即 x（ex2）（lnxkx）1 对 x0 恒成
27、立，所以 1+2对 x0 恒成立，令 m（x）=1+2，则 m（x）=22，令 n（x）lnxx2ex，则 n（x）0，故 n（x）在（0，+）上单调递减，又(1)=1 120，n（1）e0，由零点的存在性定理可知，存在唯一的零点0 (1，1)，使得 n（x0）0，即0=020，两边取对数可得，ln（lnx0）2lnx0+x0，即 ln（lnx0）+（lnx0）x0+lnx0，由函数 yx+lnx 为单调函数，可得 x0lnx0，由以上分析可知，m（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，所以 m（x）m（x0）=1+00 0+2=100 10+2=1，故 km（x0）1，所以 k 的取值范围为 k1
