1、优培18 圆锥曲线综合1、圆锥曲线的定点和定值问题例1：已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条直线，与椭圆分别交于，（，与不重合）两点，若，的斜率之和为，求证：直线过定点【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）离心率，设椭圆的方程为，点在该椭圆上，椭圆的方程为，即为（2）证明：设直线的方程为（不存在时不满足要求），联立得方程组，消去并整理，得设点，则，设直线，的斜率分别为，则，将，代入上式并化简，得，或当时，直线过定点，不合题意，舍去；当时，直线过定点，综上所述，直线过定点2、圆锥曲线的最值和范围问题例2：在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限
2、内的任意一点，过，三点的圆的圆心为，点到抛物线准线的距离为（1）求抛物线的方程；（2）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值【答案】（1）；（2）【解析】（1）抛物线的焦点，由已知可得，到，两点的距离相等，点的纵坐标为，抛物线的方程为（2）若点的横坐标为，则有，设，则由可得，解得，圆的标准方程为，圆心到直线的距离，由，可得，设，则有，令，则，令，则恒成立，在单调递增，当，即时，的最小值为一、填空题1等腰直角内接于抛物线，（为坐标原点），且，若为的焦点，为上的动点，则的最大值为 【答案】【解析】设等腰直角的顶点，则，由，得，即，即，关于轴对称，直线方
3、程为，与抛物线方程联立，解得或，设，则到准线的距离为，令，则，当，即时，取得最大值二、解答题2在直角坐标平面中，已知的顶点，为平面内的动点，且（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）设，由已知，化简得点的轨迹的方程为（2）由（1）知，过点的直线的斜率为时与无交点，不合题意故可设直线的方程为：，代入的方程得设，则，直线，令，得直线过轴上的定点3在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点到右焦点的最大距离为，过焦点且垂直于长轴的弦长为（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆长
4、轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点若的值与点的位置无关，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题设可知，解得，故，椭圆的方程为（2）设点，直线的方程为，与椭圆的两个交点分别为，将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去并化简、整理，得，的值与点的位置无关，即式的取值与无关，解得，的值为4在平面直角坐标系内，两条动直线，分别过定点，其斜率分别为，记它们的交点形成的轨迹为曲线（1）当时，求曲线的轨迹方程；（2）点为坐标原点，在（1）的条件下，过曲线外且不在轴上的点作曲线的两条切线，切点分别记为，当直线与的斜率之积为时，直线是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由【答案
5、】（1）；（2）是经过定点，定点为【解析】（1）设交点，则，存在且不为，故曲线的轨迹方程为（2）直线经过定点设切点，的坐标分别为，点点，在抛物线上，由题意可设切线的方程为联立得方程组，消去并整理，得由及，得，故切线的方程为同理，切线的方程为由解得，从而又，由题意，得，故设直线的方程为联立得方程组，消去并整理，得由，得，解得，故直线过定点5已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为（1）求双曲线的标准方程；（2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）焦点到渐近线的距离为，又，双曲线的标准方程为（2）设直线的方程为，则由消去，可得，根据题意可知，且，即，由根与系数的关系，可知线段的中点坐标为满足，线段的垂直平分线方程为，此直线与轴，轴的交点坐标分别为，化简可得，将代入得，即，解得或，实数的取值范围是
