1、综合性问题一选择题1（2022湖北省鄂州市，5，3分）下列命题正确的个数是（）若代数式有意义，则x的取值范围为x1且x0我市生态旅游初步形成规模，2022年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03108元若反比例函数（m为常数），当x0时，y随x增大而增大，则一次函数y=2x+m的图象一定不经过第一象限若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y=3，y=2x+1，y=x2中偶函数的个数为2个A1B2C3D4考点：命题与定理分析：根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案解答：解：若代数式有意义，则x的取值范围为x1且x0，原命题错误
2、；我市生态旅游初步形成规模，2022年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03108元正确若反比例函数（m为常数）的增减性需要根据m的符号讨论，原命题错误；若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，三个函数中只有y=x2中偶函数，原命题错误，故选C点评：本题考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例21（2022山东临沂，11，3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1，A2，B1，B2其中的任意两点与点O为
3、顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（ ）OxyB1A1A2B2ABCD【答案】：D【解析】有OA1B1，QA2B2，QA1B2，QA2B1，等腰三角形有两个，所以概率是。【方法指导】首先找出一共有几种情况，然后找出符合条件的个数，即可得出事件的概率。3（2022山东临沂，14，3分）如图，正方形ABCD中，AB8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动设运动时间为t(s)，OEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为（ ）ABCDEOFOOOOt/st/st/st/sS
4、/cm2S/cm2S/cm2S/cm284161616168884448888A B C D【答案】：B4（2022山东德州，11，3分）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以上结论：b24c0b+c+1=03b+c+6=0当1x3时，x2+(b1)x+c0。其中正确的个数是A、1 B、2 C、3 D、4【答案】B【解析】抛物线与x轴没有交点，b24c0，于是错误；当x=1时，抛物线与直线交点坐标为（1，1）满足函数y=x2+bx+c，即b+c+1=1，错误；（3，3）在函数y=x2+bx+c图象上，3b+c+9=3，即3b+c+6=0，所以正确；观察图象可知，当1xx2+bx+c
5、，即x2+(b1)x+c1, 过点Q作QE直线l , 垂足为E，BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，PEQ=PDB，EPQ=DBP，PEQBDP，QE=PD，PE=BD， 当P的坐标为（m，）时，m-x = ， m=0 m=1 2x2-2- = m-1, x= x=1 与x1矛盾,此时点Q不满足题设条件； 当P的坐标为（m，）时，x-m= m=- m=12x2-2- = m-1, x=- x=1 与x1矛盾,此时点Q不满足题设条件； 当P的坐标为（m，2m-2）时，m-x =2m-2 m= m=12x2-2-(2m-2) = m-1, x=- x=1与x1矛盾,此时点Q不满足题设条件；当P的坐
6、标为（m，2-2m）时，x- m = 2m-2 m= m=12x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=1与x1矛盾,此时点Q不满足题设条件；综上所述，不存在满足条件的点Q。11.（2022四川内江，27，12分）如图，在等边ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DEBC，将ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L（1）求ABC的面积；（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）已知图形L的顶点均在O上，当图形L的面积最大时，求O的面积考点：相似形综合题分析：（1）作AHBC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值
7、；（2）如图1，当0x1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5x3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；（3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FODE于O，连接MO，ME，求得DME=90，就可以求出O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值解答：解：（1）如图3，作AHBC于H，AHB=90ABC是等边三角形，AB=BC=AC=3AHB=90，BH=BC=在RtABC中，由勾股定理，得AH=SABC=；（2）如图1，当0x1.5时，y=SADE作AGDE于G，AGD=90，DAG=30，DG
8、=x，AG=x，y=x2，a=0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，x=1.5时，y最大=，如图2，当1.5x3时，作MGDE于G，AD=x，BD=DM=3x，DG=（3x），MF=MN=2x3，MG=（3x），y=，=；（3），如图4，y=；y=（x24x），y=（x2）2+，a=0，开口向下，x=2时，y最大=，y最大时，x=2，DE=2，BD=DM=1作FODE于O，连接MO，MEDO=OE=1，DM=DOMDO=60，MDO是等边三角形，DMO=DOM=60，MO=DO=1MO=OE，MOE=120，OME=30，DME=90，DE是直径，SO=12=点评：本题考查了等边三角
9、形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键12.（2022四川内江，28，12分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x5=0的两根（1）若抛物线的顶点为D，求SABC：SACD的值；（2）若ADC=90，求二次函数的解析式考点：二次函数综合题分析：（1）首先解一元二次方程，求出点A、点B的坐标，得到含有字母a的抛物线的交点式；然后分别用含字母a的代数式
10、表示出ABC与ACD的面积，最后得出结论；（2）在RtACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a，得出抛物线的解析式解答：解：（1）解方程x2+4x5=0，得x=5或x=1，由于x1x2，则有x1=5，x2=1，A（5，0），B（1，0）抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x1）（a0），对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（2，9a），令x=0，得y=5a，C点的坐标为（0，5a）依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，过点D作DEy轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OEOC=4aSACD=S梯形ADEOSCDESAOC=（DE+OA）OED
11、ECEOAOC=（2+5）9a24a55a=15a，而SABC=ABOC=65a=15a，SABC：SACD=15a：15a=1；（2）如解答图所示，在RtDCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，在RtAOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3，在RtADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2ADC=90，ACD为直角三角形，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，a0，a=，抛物线的解析式为：y=（x+5）（x1）=x2+x
12、点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要仔细认真，避免出错注意第（1）问中求ACD面积的方法13.（2022四川遂宁，24，10分）如图，在O中，直径ABCD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交O于点G，交过C的直线于F，1=2，连结CB与DG交于点N（1）求证：CF是O的切线；（2）求证：ACMDCN；（3）若点M是CO的中点，O的半径为4，cosBOC=，求BN的长考点：圆的综合题分析：（1）根据切线的判定定理得出1+BCO=90，即可得出答案；（2）利用已知得出3=2，4=D，再利
13、用相似三角形的判定方法得出即可；（3）根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出EC，AC，BC的长，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性质得出NB的长即可解答：（1）证明：BCO中，BO=CO，B=BCO，在RtBCE中，2+B=90，又1=2，1+BCO=90，即FCO=90，CF是O的切线；（2）证明：AB是O直径，ACB=FCO=90，ACBBCO=FCOBCO，即3=1，3=2，4=D，ACMDCN；（3）解：O的半径为4，即AO=CO=BO=4，在RtCOE中，cosBOC=，OE=COcosBOC=4=1，由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE=，AC=2，BC=
14、2，AB是O直径，ABCD，由垂径定理得：CD=2CE=2，ACMDCN，=，点M是CO的中点，CM=AO=4=2，CN=，BN=BCCN=2=点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识，根据已知得出ACMDCN是解题关键14.（2022四川遂宁，25，12分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE
15、y轴于点E探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PNAD于点N，设PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值考点：二次函数综合题分析：（1）将A，B两点分别代入y=x2+bx+c进而求出解析式即可；（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM=CE，得出等式方程求出即可；（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据PMNCDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即
16、可解答：解：（1）y=x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，）由此得 ，解得抛物线的解析式是y=x2x+，直线y=kx经过点A（2，0）2k=0，解得：k=，直线的解析式是 y=x，（2）设P的坐标是（x，x2x+），则M的坐标是（x， x）PM=（x2x+）（x）=x2x+4，解方程 得：，点D在第三象限，则点D的坐标是（8，7），由y=x得点C的坐标是（0，），CE=（7）=6，由于PMy轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即x2x+=6解这个方程得：x1=2，x2=4，符合8x2，当x=2时，y=（2）2（2）+=3，当x=4时，y=（4）2（4）+=，因此，直线AD
17、上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（2，3）和（4，）；（3）在RtCDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=CDE的周长是24，PMy轴，PMN=DCE，PNM=DEC，PMNCDE，=，即=，化简整理得：l与x的函数关系式是：l=x2x+，l=x2x+=（x+3）2+15，0，l有最大值，当x=3时，l的最大值是15点评：此题主要考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求二次函数解析式和函数交点求法以及平行四边形的性质等知识，利用数形结合得出PM=CE进而得出等式是解题关键15（2022贵州省黔西南州，26，16分）如图，已知抛物线经过A（2，0
18、），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：综合题分析：（1）由于抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标；（3）分两种情况讨论，AMPBOC，PMABOC，根据相似三角形对应边的比相等可
19、以求出点P的坐标解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），将点A（2，0），B（3，3），O（0，0），代入可得：，解得：故函数解析式为：y=x2+2x（2）当AO为平行四边形的边时，DEAO，DE=AO，由A（2，0）知：DE=AO=2，若D在对称轴直线x=1左侧，则D横坐标为3，代入抛物线解析式得D1（3，3），若D在对称轴直线x=1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D2（1，3）综上可得点D的坐标为：（3，3）或（1，3）（3）存在如图：B（3，3），C（1，1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2，BOC是直角三角
20、形，假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与BOC相似，设P（x，y），由题意知x0，y0，且y=x2+2x，若AMPBOC，则=，即x+2=3（x2+2x），得：x1=，x2=2（舍去）当x=时，y=，即P（，），若PMABOC，则=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）点评：本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标，注意分类讨论思想的运用，难度较大16（2022贵州省六盘水，25，16
21、分）已知在RtOAB中，OAB=90，BOA=30，OA=，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将RtOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式（2）求抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标（3）线段OB与抛物线交与点E，点P为线段OE上一动点（点P不与点O，点E重合），过P点作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：在线段OE上是否存在这样的点P，使得PD=CM？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）在RtAOB中，根据AO的长和BOA的度数，可求得OB的长，
22、根据折叠的性质即可得到OA=OC，且BOC=BOA=30，过C作CDx轴于D，即可根据COD的度数和OC的长求得CD、OD的值，从而求出点C、A的坐标，将A、C、O的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式（2）求出直线BO的解析式，进而利用x=求出y的值，即可得出D点坐标；（3）根据（1）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即C点），设直线MP与x轴的交点为N，且PN=t，在RtOPN中，根据PON的度数，易得PN、ON的长，即可得到点P的坐标，然后根据点P的横坐标和抛物线的解析式可求得M点的纵坐标，过M作MFCD（即抛物线对称轴）于F，过P作
23、PQCD于Q，若PD=CM，那么CF=QD，根据C、M、P、D四点纵坐标，易求得CF、QD的长，联立两式即可求出此时t的值，从而求得点P的坐标解答：解：（1）过点C作CHx轴，垂足为H；在RtOAB中，OAB=90，BOA=30，OA=，OB=4，AB=2；由折叠的性质知：COB=30，OC=AO=2，COH=60，OH=，CH=3；C点坐标为（，3）O点坐标为：（0，0），抛物线解析式为y=ax2+bx（a0），图象经过C（，3）、A（2，0）两点，解得；此抛物线的函数关系式为：y=x2+2x（2）AO=2，AB=2，B点坐标为：（2，2），设直线BO的解析式为：y=kx，则2=2k，解得：
24、k=，y=x，y=x2+2x的对称轴为直线x=，将两函数联立得出：y=1，抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标为：（，1）；（3）存在y=x2+2x的顶点坐标为（，3），即为点C，MPx轴，垂足为N，设PN=t；BOA=30，ON=t，P（t，t）；作PQCD，垂足为Q，MFCD，垂足为F；把x=t代入y=x2+2x，得y=3t2+6t，M（t，3t2+6t），F（，3t2+6t），同理：Q（，t），D（，1）；要使PD=CM，只需CF=QD，即3（3t2+6t）=t1，解得t=，t=1（舍），P点坐标为（，），存在满足条件的P点，使得PD=CM，此时P点坐标为（，）点评：此题主要考查了图形的
25、旋转变化、解直角三角形、二次函数解析式的确定等重要知识点，表示出P点坐标利用CF=QD求出是解题关键17（2022河南省，23，11分）如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。 （3）若存在点，使，请直接写出相应的点的坐标【解答】（1）直线经过点, 抛物线经过点， 抛物线的解析式为（2）点的横坐标为且在抛物线上 ，当时，以为顶点的四边形是平行四边形 当时，解得：即当或时，四边形是平行四边形 当时，解得：（舍去）即当时，四边形是平
26、行四边形（3）如图，当点在上方且时，作,则 PMFCNF， 又 解得：，（舍去） 。同理可以求得：另外一点为18（2022黑龙江省哈尔滨市，24） 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位：米)。现以AB所在直线为x轴以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O已知AB=8米。设抛物线解析式为y=ax2-4 (1)求a的值； (2)点C(一1，m)是抛物线上一点，点C关于原点0的对称点为点D，连接CD、BC、BD，求ABCD的面积考点：二次函数综合题。分析：（1）首先得出B点的坐标，进而利用待定系数法求出a继而得二次函数解析式（2）首先得出C点的坐标，再由对称性得D
27、点的坐标，由SBCD= SBOD+ SBOC求出解答：(1)解AB=8 由抛物线的对称性可知0B=4B(4，0) 0=16a-4a= (2)解：过点C作CEAB于E，过点D作DFAB于Fa= 令x=一1m=(一1)24= C(-1，)点C关于原点对称点为D D(1，)CE=DF=SBCD= SBOD+ SBOC = =OBDF+OBCE=4+4 =15BCD的面积为l5平方米19（2022河北省，26，14分）一透明的敞口正方体容器ABCD -ABCD 装有一些 液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为 （CBE = ，如图17-1所示）探究 如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB
28、 交于 点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如 图17-2所示解决问题：（1）CQ与BE的位置关系是_，BQ的长是_dm； （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ高AB） （3）求的度数.(注：sin49cos41，tan37)拓展 在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱CC或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围. 温馨提示：下页还有题！延伸 在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于
29、侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NMBC.继续向右缓慢旋转，当 = 60时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.来解析：探究 （1）CQBE 32分 （2）（dm3）4分 （3）在RtBCQ中，tanBCQ=BCQ=376分拓展 当容器向左旋转时，如图3,0377分 液体体积不变，9分当容器向右旋转时，如图4，同理得，10分当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B重合时，如图5.由BB=4，且，得=3由tan=，得=37，=53此时375312分【注：本问的范围中，“”为“”不影响得分】延伸 当=60时，如图6所示，设FNEB
30、，EB过点G作GH于点H在Rt中，GH=MB=2，=30，= MG=BH= 4（dm3）溢出液体可以达到4dm3.14分20（2022黑龙江省哈尔滨市，27）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位秒。设运动时间为t秒 (1)求线段BC的长； (2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围： (
31、3)在(2)的条件下，将BEF绕点B逆时针旋转得到BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= QG?考点：等边三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角形内角和、等腰三角形判定，一元一次方程分析：（1）由AOB为等边三角形得ACB=OBC=300， 由此CO=OB=AB=OA=3，在RTABC中，AC为6 ，从而BC= （2）过点Q作QN0B交x轴于点N，先证AQN为等边三角形，从而NQ=NA=AQ=3-t，NON=3- (3-t)=tPN=t+t=2t，再由POEPNQ后 对应边成比
32、例计算得再由EF=BE易得出m与t之间的函数关系式(3)先证AEG为等边三角形，再证QGA=900通过两边成比例夹角相等得FCPBCA 再用含t的式子表示BQ、PF、QG通过解方程求出解答：(1)解：如图lAOB为等边三角形 BAC=AOB=60。BCAB ABC=900 ACB=300OBC=300ACB=OBC CO=OB=AB=OA=3AC=6 BC=AC= (2)解：如图l过点Q作QN0B交x轴于点NQNA=BOA=600=QAN QN=QAAQN为等边三角形NQ=NA=AQ=3-tNON=3- (3-t)=tPN=t+t=2tOEQNPOEPNQ EFx轴BFE=BCO=FBE=30
33、0EF=BEm=BE=OB-OE(0t所以抛物线的对称轴与C相外离 第（2）题图 第（3）题图(3)分别过点C和A作AC于点C，交抛物线于点P，作AC于点C，交抛物线于点Q.由于OC=OA=5，ACO=CMP=45，MC=CP设OM=t，则PM=CM=5t，P点的坐标为（t，5t），于是解得t=2，t=5(舍去)P点的坐标为（2，3）同理可求得Q（7，12）综上所述P的坐标为（2，3）或（7，12）【难点突破】本题的第（3）的难点之一是直角三角形的不确定性，只要分两种情形来讨论即可，即当以C为直角顶点和以A为直角顶点不探究；难点之二就是利用三等角的基本图形，这样的基本图形中有全等或相似。38(
34、2022四川成都，28，12分)在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2bxc(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求抛物线的函数表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Qi)若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；ii)取BC的中点N，连接NP，BQ试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由xxOABNC第28题图xxOAB
35、NC备用图【思路分析】(1)先求出点B的坐标，然后把A，B的坐标代入抛物线的解析式，从而解方程即可；(2)解方程组求出点Q的坐标，计算出PQ2，确定直线下方以PQ为边的等腰直角三角形的第三个顶点M，利用平移的观点求出所有符合题意的点M的坐标(3)利用平移和轴对称等知识求出NPBQ的最小值，从而求出的最大值【解】解：(1)依题意可知B的坐标是(4，1)把A(0，1)和B(4，1)的坐标代入抛物线yx2bxc，求得，抛物线的函数表达式为yx22x1(2)i)直线AC的解析式为yx1于是可设点P(m，m1)，且可设平移后抛物线的解析式为y(xm)2m1即yx2mxm2m1解方程组得点Q的坐标为(m2
36、，m3)由勾股定理得PQ2若PMQM，且PMQ90，则PM2(x1)(x22x1)2即x22x40解得x11，x21P1(1，)，P2(1，)PM2，将点P向下铅直平移2个单位即得点M的坐标，M1(1，2)，M2(1，2)；若PQMQ，且PMQ45，则PM4(x1)(x22x1)4即x22x80解得x14，x22P1(4，3)，P2(2，3)PM4，将点P向下铅直平移4个单位即得点M的坐标，M3(4，1)，M2(2，7)；若PQPM，且PMQ45，此时求得的结果与情形相同综上所述，点M的坐标为(1，2)或(1，2)或(4，1)或(2，7)ii)如图7将点N(4，1)沿射线CA平移2个单位得点N
37、1(2，1)，易知点N1(关于直线AC对称的点N2的坐标为(0，1)，连结BN2，BN2与直线AC的交点即是点Q，将点Q沿射线AC平移2个单位得到点P，连结PN此时NPBQ的值最小最小值BN22有最大值，最大值xyNBPQN1N211CA图7【方法指导】第(2)问要用分类讨论的思想和平移变换的方法第(3)问是动点问题，最值可通过平移变换和轴对称变换求出39（2022浙江台州，23，12分）如图1，已知直线l：与y轴交于点A，抛物线经过点A，其顶点为B，另一抛物线（h1）的顶点为D，两抛物线相交于点C，（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；（2）设交点C的横坐标为m交点C的纵坐标可以表
38、示为： 或 ，由此请进一步探究m关于h的函数关系式；如图2，若ACD=90，求m的值MNECDABD0xyABC0xy第23题【思路分析】（1）由与y轴交于点A，易得A（0,2），又由抛物线经过点A（0,2），可以将A点横、纵坐标代入二次函数解析式，可求出k的值，从而确定顶点B的坐标；由于D点是的顶点，易得D（h，2h），如要判断点D在直线l上，需要将D点的坐标，代入直线解析式中验证。（2）由于点C是两抛物线的交点，可将C点的横坐标m分别代入两个抛物线解析式，从而求出两种不同表示的C点纵坐标；欲探究m关于h的函数关系式，需找到m和h的等量关系，由于两种不同表示方法表示的都是C点纵坐标，二者相等
39、列等式，再变形为函数关系式。有ACD=90这一特殊条件，再作x轴、y轴的垂线，从而构造相似三角形，利用相似三角形的对应边的比相等，列出关于m的方程，从而求出m的值。【解】（1）由题意可知A（0，2），又因为抛物线经过点A，所以有，解得，所以抛物线解析式为，从而得出点B的坐标为（1，1）；因为点D是抛物线（h1）的顶点，所以点D的坐标为（h，2h），将（h，2h）代入中，左右两边相等，所以点D在直线l上（2）交点C的纵坐标可以表示为：或由题意知：= ，整理得：，解得，或，h1过点C作CMy轴，垂足为点M，过点D作DEy轴，垂足为点E，过点C作CNDE，垂足为点N，则四边形CMEN是矩形，MCN=
40、90，又ACD=90MCA=DCNACMDCN由题意可知CM=m，AM=，CN=，DN=从而有，由得，解得，又点C在第一象限内，【方法指导】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识点，本题对学生的综合解题能力要求偏高。对于二次函数，我们需要了解顶点式和一般式两种常见形式，能够熟练的说出它的开口方向、顶点、对称轴等常用知识点。40（2022四川南充，22，8分）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），交轴于点C，且经过点（，）（1）求这条抛物线的解析式；（2）M过A，B，C三点，交轴于另一点D求点M的坐标；（3）
41、连接AM，DM，将AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与轴，轴分别交于点E，F若为DMF等腰三角形，求点E的坐标【答案】：解：（1）把点（，）代入解析式，得解得抛物线解析式为（2）由，得或A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)抛物线的对称轴是直线圆心M在直线上，设M(1，)，作MG轴于G，MH轴于H，连接MC，MBMH=1，BG=2MB=MC，解得，点M(1，1)（3）如图，由M(1，1)，得MG=MHMA=MD，RtAMGRtDMH, 1=2由旋转可知3=4AMEDMF若DMF为等腰三角形，则AME为等腰三角形设E(，0)AME为等腰三角形，分三种情况：AE=AM=，则, E(，0)M在
42、AB的垂直平分线上，MA=ME=MB，E(1，0)点E在AM的垂直平分线上，则AE=MEAE=，得E(，0)所求点E的坐标为(，0)，(1，0)，(，0)【解析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式；（2）先让二次函数y=0，求出A、B两点坐标，又因为M过A，B两点，所以MA=MB,则M在AB的垂直平分线上，则M在抛物线的对称轴上，因此确定了M点的横坐标. 设M(1，)，作MG轴于G，MH轴于H，连接MC，MB，又C也在M上，所以MC=MB，再利用勾股定理列方程，即可求出M点纵坐标；（3）根据（2）知MG=MH，又MA=MD，利用HL可得RtAMGRtDMH，再利用全等三角形对应角相等即旋转的
43、性质可得AMEDMF，进而将DMF转化为AME，所以当DMF为等腰三角形时，AME也必为等腰三角形，这样问题就好解决了，再利用分类讨论思想分三种情况解决即可.【方法指导】本题主要考查了利用待定系数法确定二次函数解析式，线段垂直平分线的性质及其逆定理的运用，勾股定理的运用，圆当中的相关概念，转化思想，分类讨论思想的运用等知识点，综合性强，难度大.(2)中M点的横坐标的确定及辅助线的作法是解决此问题的关键，（3）中将DMF转化为AME尤为重要，是问题的突破口.41（2022江西南昌，22，8分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是O外一点，连接AP，
44、直线PB与O相切于点B，交x轴于点C（1）证明PA是O的切线；（2）求点B的坐标；（3）求直线AB的解析式【思路分析】（1） 点A在圆上，要证PA是圆的切线，只要证PAOA（OAP=90）即可，由A、P两点纵坐标相等可得APx轴，所以有OAP+AOC=180得OAP=90；（2） 要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴、y轴的距离，自然想到构造RtOBD，由PB又是O的切线，得RtOAPOBP，从而得OPC为等腰三角形，在RtPCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC的长，OBC的三边的长知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐
45、标；（3）已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式解（1）证明：依题意可知，A（0，2）A（0，2），P（4，2），APx轴， OAP=90，且点A在O上，PA是O的切线； （2）解法一：连接OP，OB，作PEx轴于点E，BDx轴于点D，PB切O于点B，OBP=90，即OBP=PEC又OB=PE=2，OCB=PECOBCPECOC=PC （或证RtOAPOBP，再得到OC=PC也可）设OC=PC=x，则有OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在RtPCE中，PC2=CE2+PE2，x2=(4x)2+22，解得x=， BC=CE=4=，OBBC=OCBD，即2=BD，BD= OD=
46、，由点B在第四象限可知B（，）； 解法二：连接OP，OB，作PEx轴于点E，BDy轴于点D，PB切O于点B，OBP=90即OBP=PEC又OB=PE=2，OCB=PECOBCPECOC=PC（或证RtOAPOBP，再得到OC=PC也可） 设OC=PC=x，则有OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在RtPCE中，PC2=CE2PE2,x2=(4x)2+22，解得x=， BC=CE=4=，BDx轴，COB=OBD，又OBC=BDO=90，OBCBDO， =，即=，BD=，OD=， 由点B在第四象限可知B（，）； （3）设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（0，2），B（，），可得； 解得直线A
47、B的解析式为y=2x+2【方法指导】从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法.42、（2022深圳，22，9分）如图6，在直角坐标系中，过点的圆的圆心坐标为（2，0），点为第一象限圆弧上一点， 且，抛物线过、两点，与轴的另一交点为。（1）点的坐标为 ；抛物线的解析式为 ；（2）如图6，求证： ；图6图6图6（3）如图6，点为线段上一点，且，直线交于点,试求的长图6M【答案】（1）， （2）如图6，过点作轴于点 令，解得，则由于，由（1）知图6M则， 于是，因而为直角三角形，且 图6又（
48、3）连接、，则在和中， 故 即 由于 则 【解析】（1）求点的坐标，过点作轴于点，易证， 则，即可求出。又（2，0），将点的坐标代入，可得，则故 为所求（2）要证明，只需证明，即只需证明由于易求的长，根据勾股定理的逆定理，可轻松判定为直角三角形，且，问题得解。（3）考虑到与的位置关系，可构造含有这两边且有一条公共边的两个三角形，据此可连接、，于是易证，有。由于是等腰三角形，因而易求，则可顺利求出的长。【方法指导】本题主要考查图形与坐标、三角形全等的判定及性质、平行线的判定、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定及性质，圆周角定理及等腰直角三角形的性质等知识点。考查时仍以常见的最基本的相似图形为依
49、托，相似三角的判定也是运用相似判定中最简单的一个定理，计算量不大，突出体现了“依纲靠本”、“多思少算”的出题理念。43. (2022山东烟台，26,12分) 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形二次函数的图像经过点AB，x轴分别交于点E,F且点E的坐标为（），以OC为直径作半圆，圆心为D.（1）求二次函数的解析式；（2）求证，直线BE是D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MNBE交x轴于点N，连结PMPN设CM的长为t，PMN的面积为S求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.S是否存在最大值
50、？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由【思路分析】（1）根据题中所给条件可以判定出A点的坐标为（0,2），B（2,2）以及点E（），采用待定系数法，列出方程组，即可求出二次函数解析式.（2）过点D作DGBE于点G，分别求出ED、EC、BC、BE的长度，然后通过证明EGDECB得出DG等于半径，即可证明BE是D的切线.（3）根据B、E两点的坐标，利用待定系数法求出BE的解析式，结合对称轴可以求出点P的坐标；然后通过证明MNCBEC,可以把CN、DN用t表示出来；最后把所求的三角形的面积转化成PDN的面积与直角梯形PDCB的面积再减去RtMNC的面积即可，并把面积S用t表示成二次函数，进而根据
51、t的取值范围确存在S的最大值，并求出此最大值，问题即可迎刃而解.【解】（1）由题意，得A(0,2), ，解得二次函数的解析式为（2）过点D作DGBE于点G由题意，得ED=，BE=.D半径为1，且DGBE,BE是D切线G为切点， （3）由题意得E， B设直线BE为，解得直线BE为直线BE与对称轴交于点P，对称轴为直线x=1，.点P的坐标为.MNBE， MNCBEC.S存在最大值，当t=1时，【方法指导】本题是一道有关动点问题的压轴题，考点众多，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、勾股定理、三角形相似的性质和判定、正方形的性质、直角三角形的面积和直角梯形的面积，切线的判定定理，以及一
52、次函数，二次函数与动点结合并求三角形面积的最值的综合题，综合性很强.解答此题需要掌握相关知识，尤其能数形结合地观察图象.（1）第一小题是基础，用待定系数法易于求解；(2)要证明某条直线是圆的切线，若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这点的半径（直径），证明直线垂直于这条半径（直径），简记为“作半径，证垂直”；若已知直线和圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”.(3)在探讨动态问题时，首先要对运动过程做一个全面的分析，弄清楚运动过程中的变量和常量，变量反映了运动变化关系，常量则是问题求解的重要依据其次，要分清运动过程中不同
53、的变化关系，总之，要善于“动”中捕“静”，并能以“静”制“动”，并要善于“数形结合”.对于（3）探索发现某种数学关系是否存在的题目，一般的求解方法有：一是直接解法；二是假设求解法. 总之，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，是知识覆盖面广、数学方法运用较多的试题，解决这类问题时应从多角度、多方面去分析，还需要数形结合等数学思想方法作统领44. (2022湖南邵阳,25,8分)如图所示，已知抛物线y = 2x2 4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到抛物线F. (1)求抛物线F所表示的解析式； (2)设抛物线F和x轴相交于点O、点B(点B位于点O的右侧)，顶点为C.点A位于y轴负半轴上，且
54、到x轴的距离等于点C到x轴距离的2倍，求AB所在直线的解析式.【答案】：解：(1)y=2x2 4x = 2(x2+2x) =2(x +1)2 +2. 将抛物线y =2x2 4x向右平移两个单位后的解析式为y =2(x +12)2 +2，即y=2x2 +4x. (2)解方程2x2 +4x =0，得x1=0，x2=4. O(0,0),B(4,0). y=2(x1)2 +2， C(1,2)，所以点C到x轴的距离为2. 点A到x轴的距离为4， 点A在y轴的负半轴上， A(0，4). 设直线AB的解析式为y=kx+c， 有，解得. 直线AB的解析式为y= x +4.【方法指导】：（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答；(1) 先根据抛物线F的解析式求出顶点C，和x轴交点B的坐标，再设A点坐标为（0，y），根据点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，列出关于y的方程，解方程求出y的值，然后利用待定系数法求出AB所在直线的解析式(2) 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，运用待定系数法求函数的解析式，难度适中，求出图象F所表示的抛物线的解析式是解题的关键.v92
