1、泰兴市第一高级中学2014年秋学期期初考试高 三 数 学（理）2014.8.29一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置1、集合共有 个子集，f(x)n3都成立，求实数n的最大值17、 （本题14分）某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同(1) 求3个学生选择了3门不同的选修课的概率；(2) 求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；(3) 设随机变量X为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求X的分布列18、（本题16分）某商店经销一种纪念品，每件产
2、品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2a5）的税收设每件产品的售价为x元（35x41），根据市场调查，日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例已知当每件产品的售价为40元时，日销售量为10件（1）求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值19、（本题16分）在各项均为正数的数列中,数列的前项和为满足.(1)求,的值；(2)由(1)猜想出数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.20、（本题16分）已知,是曲线在点处的切线.()求的方程;()若切线与曲线有且
3、只有一个公共点,求的值;()证明对任意的,函数总有单调递减区间,并求出单调递减区间的长度的取值范围.(区间的长度=)高三期初测试数学(理科)参考答案1、8 2、 3、 4、11 5、6、 7、 8、174 9、 10、5 11、和 12、 13、402514、 15、解：A=0，-4，又AB=B，所以BA（）B=时，4（a+1）2-4(a2-1)0，得a-1()B=0或B=-4时，0 得a=-1（）B=0，-4， 解得a=1综上所述实数a=1 或a-116、17、 解：(1) 3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P1 . (2) 恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：P2. (3) X0
4、，1，2，3，则有P ( 0 ) ； P (X 1) ；P (X 2 ) ；P (X 3 ) . X的概率分布表为：X0123P18、解：（1）设日销售量为，则10，k10e40 则日销售量为件售价为x元时，每件利润为(x30a)元，则日利润L(x)(x30a)10e40 (35x41) 5（2）L(x)10e407当2a4时，3331a35，而35x41，L(x)0，L(x)在上是单调递减函数则当x35时，L(x)取得最大值为10(5a)e59当4a5时，3531a36，令L(x)0，得xa31当x时，L(x)0，L(x)在(a31,41上是单调递减函数 当xa31时，L(x)取得最大值为1
5、0e9a15综上，当2a4时，L(x)max10(5a)e5 当4a5时，L(x)max10e9a16 20、, ,切点,斜率为. 切线的方程: ()切线与曲线有且只有一个公共点等价于方程有且只有一个实数解. 令,则有且只有一个实数解. ,有一解. 在上单调递增, 是方程的唯一解; ,(-1,0)0+0-0+极大值0极小值, 方程在上还有一解.故方程的解不唯一; 当,0+0-0+极大值极小值0,而当且趋向-1时,趋向,趋向. 方程在上还有一解.故方程的解不唯一. 综上,当与曲线有且只有一个公共点时,. ();等价于. ,对称轴,有解,其中. 当时,.所以的减区间为 当时,区间长度 减区间长度的取值范围为
