1、2022-2023 学年高三年级第一次联考数学考生注意：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合|25AxxN，|34,ZBx xkk，则 AB （）A.2B.2,5C.2,3,4D.2,3,4,5【答案】B【解析】【
2、分析】由题意可得2,3,4,5A，,1,2,5,8,B LL，再根据交集的定义求解即可.【详解】解:依题意，|252,3,4,5AxxN，|34,1,2,5,8,ZBx xkk，故2,5AB 故选：B.2.已知命题:p“x R，23cos0 xxx”，则命题 p 的真假及p 分别为（）A.真，2:,3cos0 xpxxx RB.假，2:,3cos0 xpxxx RC.真，2:,3cos0 xpxxx RD.假，2:,3cos0 xpxxx R【答案】B【解析】【分析】根据特例法，结合全称命题的否定的性质进行判断即可.【详解】令0 x，可知23cos0 xxx，故命题 p 为假，全称量词命题的否
3、定为存在量词命题，故:x R，23cos0 xxx，故选：B3.已知向量a，b 的夹角为 4，且3 2a，2b，则2abb（）A.9B.9 2C.16D.16 2【答案】C【解析】【分析】根据数量积的定义与运算律计算.【详解】222abba bb22cos,|a ba bb22 3 22 cos24 12416故选：C4.某种水稻害虫数量的日增长率为4%，最初发现时约有0 x 只，则达到最初数量的 250 倍，大约需要经过（）参考数据：lg1.040.017，lg1.40.146，lg20.301，lg30.477A.141 天B.132 天C.120 天D.112 天【答案】A【解析】【分析
4、】设大约需要经过n 天，列方程00(1 0.04)250nxx并用对数运算求解即可.【详解】设大约需要经过n 天依题意，00(1 0.04)250nxx，则(1 0.04)250n，故lg1.04lg250lg102lg51 2 1 lg23 2lg2n ，则3 2lg23 2 0.301141lg1.040.017n.故选：A5.函数 lnln 2sinf xxxx的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】特殊值法排除确定函数的图像【详解】1133lnlnsinln022224f，故排除 B，C；111111111113611lnlnsinlnlnlne66662362112
5、2f ，故排除 D故选：A6.已知 为锐角，则“54”是“2sin36 1 sin2cos 18 cos”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换公式以及充要条件的定义求解.【详解】依题意，22sin18 cos18 1 sin2cos 18 cos，故sin18cos18 cossin18 sin，即cos72cos 18因为090，所以1818108，即7218，解得54 故“54”是2“sin36 1 sin2cos 18 cos”的充要条件故选:C.7.如图所示，为了测量某座山的山顶 A 到山脚某处 B 的
6、距离（AB 垂直于水平面），研究人员在距 D 研究所200m处的观测点 C 处测得山顶 A 的仰角为30，山脚 B 的俯角为15.若该研究员还测得 B 到 C 处的距离比到 D 处的距离多80m，且60BCD，则 AB （）A280 3mB.280 6mC.420mD.420 3m【答案】B【解析】【分析】设出 BDt，80BCt，通过已知在BCD中由余弦定理得出 BC，过点 C 作CEAB，结合已知得出 BE 与 AE 即可得出答案.【详解】设 BDt，则80BCt，200CD，60BCD，则在BCD中由余弦定理可得：2221200802 200802ttt，解得：760 mt，则 760
7、mBD，840 mBC，过点 C 作CEAB，研究人员在距 D 研究所200m处的观测点 C 处测得山顶 A 的仰角为30，山脚 B 的俯角为15，15ECB，30ACE，则62sinsin15sin 4530sin 45 cos30cos45 sin304ECB，62coscos15cos 4530cos45 cos30sin 45 sin304ECB，则 62840m4BE，62840m4CE，则623840m43AE，62623840280 6 m443ABAEBE，故选：B.8.已知0,2，若函数 2sin cossin 2f xxxx 在0,4上无零点，则 的值可能为（）A.6B.4
8、C.1112D.65【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换将问题转化为方程sintan 21cosx 无解，从而得到sin01cos 或sin11 cos，由此利用正弦函数的性质与辅助角公式即可得解.【详解】令 0f x，则sin2sin 2xx，故sin2sin2 coscos2 sinxxx，则 tan2tan2 cossinxx，故sintan21 cosx 在 x0,4无零点，所以tan20,1x，所以sin01 cos 或sin11 cos，当sin01 cos 时，由于1 cos0，所以sin0，因为0,2，所以,2；当sin11 cos 时，sin1 cos，则sincos1
9、，即2 sin14，故2sin42，因为0,2，所以 9,444，故 3444,，则0,2；综上：0,2或,2，所以 不可能为第二角限角.故选：D.9.中华人民共和国国旗上的五角星均为正五角星，正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，依次连接 A，B，C，D，E 形成的多边形为正五边形，且512PTAT，现有如下说法：51BSTEPQ；若532ACARAS，则152；若1PT ，则354AC QR其中正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】对：结合向量运算及平面几何知识可知512BSTEAPPQPT；对：由C，R，S 三点共
10、线解得；对：由余弦定理计算cos APT，用数量积定义计算 AC QR的值.【详解】连接 PSBS，在正五边形 PQRST 中108PTS，所以36TPSTSP，72ATP，所以36PAT，所以PSAP，又BSTEBSBPPS，故512BSTEPSAPAPPQPQPQPT，故错误；因为C，R，S 三点共线，所以512RSCR，所以512ASARARAC，整理得535122ACARAS故512，故错误；若1PT ，则512AP，5121522 AC，由余弦定理可知22251cos24APPTATAPTAP PT，故5135cos5244AC QRACQRAPT，故正确故选:B10.已知函数 3,
11、0,2e ln,0,x xf xxx x 若 g xf xm有 5 个不同的零点，则实数m 的取值范围为（）A.0,2eB.e,eC.0,eD.1,e【答案】C【解析】【分析】利用转化法，把零点问题转化为两个函数的交点问题，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】令 2e lnh xxx，则 2eln1h xxx 令 2eln1s xxx，则 s x 在0,上单调递增易知 e1 2 10s ，所以当0,ex时，0h x，h x 单调递减，当,xe时，0h x h x 单调递增，所以 min()eeh xh ，又 12e0hh，所以 f x的大致图象如图所示，0g xf xmf xm当 g x 有
12、 5 个不同的零点时，函数 yf x与直线 ym有 5 个不同的交点，由图可知，m 的取值范围为0,e 故选：C【点睛】关键点睛：利用转化法，结合导数的性质、数形结合思想进行求解是解题的关键.11.已知 A，B，D 三点共圆，4AB，且点 A，B，C 满足10CA CB，若60,90DA DB，则点 D 到点C 的距离的最大值为（）A.43B.23C.2 3D.3 3【答案】D【解析】【分析】应用平面向量基本定理结合图形特征，解决距离和最大.【详解】作出图形如图所示，取线段 AB 的中点 M 因为2222111224CA CBCACBCACBCMAB，所以2211104 CA CBCMAB，故
13、3CM，故点C 在以 M 为圆心，3 为半径的圆上，则点 D 到点C 的距离3DCDMMCDMMCDM设 A，B，D 所在圆的圆心为G，则当 D，M，G 三点共线，即点G 在线段 DM 上，,60DA DB时，DM 取到最大值 2 3，此时 DAB为等边三角形，故3 3DC，则点 D 到点C 的距离的最大值为3 3 故选：D.12.若1sin 16a，2ln3 3ln2b，332c，则（）A.cbaB.abcC.ca，f x 单调递增；当1,x 时，0fx，f x 单调递减所以 f x 在0,上有极大值，无极小值，极大值为 112f【小问 2 详解】原不等式等价于2111ln0exxmxmx在
14、1,上恒成立，令 2111lnexg xxmxmx，因为 10g，所以要使 0g x 在1,上恒成立，则 gx在1x 处必小于等于 0 211112exgxmxxx，由 10g，可得12m 下面证明：当12m 时，0g x 在1,上恒成立因为当12m，1x 时，2mxx，令 11e,e1,xxh xx h x当 111,e1,e10,xxxh x 1exh xx在1,单调递增,01e10h xh,所以1exx，所以 3222122221111112121(1)20exxxxxxgxmxxxxxxxxxx所以 0gx，所以 g x 在1,上单调递减，又因为 10g，所以 0g x，即原不等式在1
15、,x 上恒成立综上，m 的取值范围为 1,222.已知函数 3223f xxax，aR（1）若 f x 在1,3上的值域为8,0，求 f x 在 R上的单调区间；（2）若函数 6cos6sing xf xxaxx，则当0a 时，求 g x 的零点个数【答案】（1）f x 的单调递增区间为,0和2,，单调递减区间为0,2（2）有且仅有 1 个零点【解析】【分析】（1）先利用导数与函数的关系，分析得 f x 的单调性，再结合题意得到0 x 是 f x 的极小值点，从而确定 a0，再结合 f x 的单调性可推得2a ，由此得解；（2）先构造函数 sint xxx，得到,sinxx 的不等关系式，再构
16、造函数 3211cossin32h xxaxxaxx，分类讨论0a 与0a 两种情况，结合零点存在定理证得 h x有且仅有 1 个零点，从而得到 g x 的零点个数.【小问 1 详解】因为 3223f xxax，所以2()666()fxxaxx xa，令()0fx，解得0 x 或 xa ，当0a，即 a0 时，令()0fx，得0 xa；令()0fx，得0 x 或 xa ；所以 f x 在,0，,a 上单调递增，在0,a上单调递减，此时0 x 是 f x 的极大值点；当0a，即0a 时，令()0fx，得0ax；令()0fx，得 xa 或0 x；所以 f x 在,0a上单调递减，在,a，0,上单调
17、递增，此时0 x 是 f x 的极小值点；当0a 时，()0fx恒成立，则 f x 在1,3上单调递增，此时 32f xx，易得12f ，354f，不满足题意；又(0)0f，f x 在1,3上的值域为 8,0，所以 f x 在1,3上的最值为(0)0f，故0 x 是 f x 的极大值点，所以 a0，此时，有()8fa 或(1)8f 两种情况，都有2a ，故2a 满足题意，所以由上述分析可知，f x 的单调递增区间为,0和2,，单调递减区间为0,2【小问 2 详解】令 sint xxx，则 1 cos0t xx，所以 t x 在 R上单调递增，又 00t，所以当0 x 时，0t x，即sinxx
18、，当0 x 时，0t x，即sinxx；因为 326cos6sin236cos6sing xf xxaxxxaxxaxx，令 0g x，则3211cossin032xaxxaxx，令 3211cossin32h xxaxxaxx，则 sinh xxxxa，令 0h x，解得0 x 或 xa 若0a，则 sin0h xx xx，此时 h x 在R上单调递增又 00h，所以 h x 有且仅有 1 个零点，即 g x 有且仅有 1 个零点若0a，0a，则当,xa 时，0h x，当,0 xa 时，0h x，当0,x 时，0h x，故 h x 在,a 上单调递增，在,0a上单调递减，在0,上单调递增，则
19、()(0)0haha，故 h x 在,a 上没有零点，下证3302ha当 xa 时，0 xa因为cos1x ，所以cosxaxxa 因为sinxx，所以 sinxx ，所以 32323211111122323232h xxaxxaxxaxxaxaxx213632x xax，所以3913310222haaa 从而 h x 在33,2 aa上有唯一零点，所以 h x 在,a 上有唯一零点，在,a 上没有零点，综上所述，当0a 时，h x 有且仅有 1 个零点，故 g x 有且仅有 1 个零点【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理
