1、12集合间的基本关系1理解子集、真子集、空集的概念2能用符号和Venn图表示集合间的关系3掌握列举有限集的所有子集的方法1子集的概念温馨提示：“A是B的子集”的含义是：对任意xA都能推出xB.2集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作AB.也就是说，若AB且BA，则AB.3真子集的概念温馨提示：在真子集的定义中，AB首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA.4.空集的概念1给出下列集合：Aa，b，c，Ba，b，c，d，e(1)集合A与集合B有什么关系？(2)集合B中的元素与集合A有什么关系？答案(1)AB(
2、2)a，b，cA；d，eA2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素()(2)任何一个集合都有子集()(3)若AB，则AB.()(4)方程x220的解集为空集.()答案(1)(2)(3)(4)题型一 集合间关系的判断【典例1】判断下列两个集合之间的关系： (1)A1,1，Bx|x21；(2)Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形；(3)Ax|1x4，Bx|x50；(4)Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*思路导引集合间基本关系的刻画均是由元素的从属关系决定的解(1)用列举法表示集合B1,1，故AB.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是
3、两边相等的三角形，故AB.(3)集合Bx|x2，则下列选项正确的是()A0M B0MCM D0M解析选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误答案A2下列正确表示集合M1,0,1和Nx|x2x0关系的Venn图是()解析M1,0,1，N0，1，NM.答案B题型二 有限集合子集、真子集的确定【典例2】(1)填写下表，并回答问题原集合子集子集的个数_a_a，b_a，b，c_由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？(2)求满足1,2M1,2,3,4,5的集合M.解(1)原集合子集子集的个数1a，a2a，b，a，b，a，
4、b4a，b，c，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c8猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n1个，非空真子集有2n2个(2)由题意可得1,2M1,2,3,4,5，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：1,2,31,2,41,2,5；含有四个元素：1,2,3,41,2,3,51,2,4,5；含有五个元素：1,2,3,4,5故满足题意的集合M为1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5，1,2,3,4,5(1)求解有限集合子集问题的3个关键点确定所求集合，是子
5、集还是真子集合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出注意两个特殊的集合，即空集和集合本身空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集(2)与子集、真子集个数有关的3个结论假设集合A中含有n个元素，则有：A的子集的个数为2n个；A的真子集的个数为2n1个；A的非空真子集的个数为2n2个针对训练3已知集合MxZ|1xm，若集合M有4个子集，则实数m ()A1B2C3D4解析根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由MxZ|1xm，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m2.答案B4已知集合Ba，b，c，Ca，b，d，集合A满足AB，AC，则满足条件的集合A的个数是_解析若集合A，满足
6、AB，AC；若集合A，集合A可能是a，b，a，b故集合A共4个答案4题型三 利用集合间的关系求参数值(或范围)【典例3】已知集合Ax|3x4，Bx|1mx2m1，且AB，求实数m的取值范围思路导引AB，即集合A中的数在集合B中，特别注意A的情况解由AB，将集合A，B分别表示在数轴上，如图所示，则解得m4.故m的取值范围是m|m4变式(1)本例中若将“AB”改为“BA”，其他条件不变，求m的取值范围(2)本例若将集合A，B分别改为A3，m2，B1,3,2m1，其他条件不变，求实数m的值解(1)由BA，将集合A，B分别表示在数轴上，如图所示BA，当B时，1m2m1，解得m；当B时，有解得m.综上可
7、知，m的取值范围是.(2)由AB，按m21和m22m1两种情况分类讨论若m21，则m1或m1.当m1时，B中元素为1,3，3，适合题意；当m1时，B中元素为1,3,1，与元素的互异性矛盾若m22m1，则m1，由知不合题意综上所述，m1.由集合间的关系求参数的2种方法(1)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点(2)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用针对训练5已知集合Ax|1x4，Bx|xa，若AB，求实数a的取值集合解结合数轴，AB，a4，故实数a的取值集合为a|a46设集合Mx|2x25x30，
8、Nx|mx1，若NM，求m的取值集合解集合M.若NM，则N3或或.于是当N3时，m；当N时，m2；当N时，m0.所以m的取值集合为.课堂归纳小结1对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由xA能推出xB，这是判断AB的常用方法(2)不能简单地把“AB”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A时，则A中不含任何元素；若AB，则A中含有B中的所有元素(3)在真子集的定义中，AB首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA.2集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集
9、合有2n个子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉3由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：不能忽视集合为的情形；当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.1下列四个关系式：a，bb，a；0；00其中正确的个数是()A4 B3 C2 D1解析对于，任何集合是其本身的子集，正确；对于，相对于集合来说，也可以理解为，错误；对于，空集是非空集合的真子集，故0正确；对于，0是集合0的元素，故00正确答案B2集合Ax|1x2m1，即
10、m8且x4解析选项A、C、D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.答案B3设集合Ax|1x2，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围为()Aa|a2 Ba|a1Ca|a1 Da|a2解析在数轴上表示出两个集合(图略)，因为AB，所以a2.答案A4若集合A满足AB，AC，B0,1,2,3，C0,2,4,8，则满足上述条件的集合A的个数为()A0 B1 C2 D4解析AB，AC，A中最多能含有0,2两个元素，A，0，2，0,2共4个答案D5若集合M，N，则()AMN BMNCMN DM与N没有相同元素解析M，N.kZ,2k1为奇数，k2为整数，MN.故选C.答案C二、填空题6集合A2n1|nZ，集
11、合B4k1|kZ，则A与B间的关系是_解析因为整数包括奇数与偶数，所以n2k或2k1(kZ)，当n2k时，2n14k1，当n2k1时，2n14k1，故AB.答案AB7已知非空集合A满足：A1,2,3,4；若xA，则5xA，则满足上述要求的集合A的个数为_解析由题意知，满足题中要求的集合A可以是1,4，2,3，1,2,3,4，共3个答案38定义集合A*Bx|xA且xB，若A1,2,3,4,5，B2,4,5，则A*B的子集个数是_解析在A*B中，xA，x可能取1,2,3,4,5.又xB，x又不能取2,4,5.因此x可能取值只有1和3，A*B1,3，其子集个数为4.答案4三、解答题9设集合A1,3，
12、a，B1，a2a1，且BA，求a的值解BA，a2a13或a2a1a.当a2a13时，解得a1或a2.经检验，满足题意当a2a1a时，解得a1，此时集合A中的元素1重复，与元素互异性矛盾，故a1不合题意综上所述，a1或a2为所求10已知集合Mx|x22xa0(1)若M，求实数a的取值范围；(2)若Nx|x2x0且MN，求实数a的取值范围解(1)由题意得，方程x22xa0有实数解，224(a)0，得a1.(2)Nx|x2x00，1，又MN，当M时，即224(a)0得a0时，即a1时，M中有两个元素，若MN则MN，从而无解综上，a的取值范围为a|a1综合运用11已知集合A，B，若A不是B的子集，则下
13、列说法中正确的是()A对任意的aA，都有aBB对任意的bB，都有bAC存在a0，满足a0A，a0BD不存在a0，满足a0A，a0B解析A不是B的子集，也就是说A中存在某个元素不属于B，显然正是C选项要表达的对于A和B选项，取A1,2，B2,3可否定，对于D选项，可存在a0A，a0B，但A不是B的子集，如A1,3，B2,3答案C12若B1,2，Ax|xB，则A与B的关系是()AAB BBACAB DBA解析因为B的子集为1，2，1,2，所以Ax|xB1，2，1,2，所以BA.答案B13已知My|yx22x1，xR，Nx|2x4，则集合M与N之间的关系是_解析y(x1)222，My|y2，NM.答
14、案NM14已知AxR|x3，BxR|ax2a1，若BA，则实数a的取值范围是_解析BA，B的可能情况有B和B两种当B时，BA，或成立，解得a3；当B时，由a2a1，得a1.综上可知，实数a的取值范围是a|a3答案a|a315已知集合Ax|xa|4，B1,2，b(1)是否存在实数a，使得对于任意的实数b，都有AB？若存在，求出对应的a的值；若不存在，请说明理由(2)若AB成立，求出对应的实数对(a，b)解(1)由题意知，当且仅当集合A中的元素为1,2时，对于任意的实数b，都有AB.因为Aa4，a4，所以或方程组均无解，所以不存在实数a，使得对于任意的实数b，都有AB.(2)由(1)知，若AB，则或或或解得或或或所以所求实数对(a，b)为(5,9)，(6,10)，(3，7)，(2，6)
