1、课时达标检测(六十六) 不等式的证明1已知函数f(x)|x3|x1|,其最小值为t.(1)求t的值;(2)若正实数a,b满足abt,求证:.解:(1)因为|x3|x1|x3|1x|x31x|4,所以f(x)min4,即t4.(2)证明:由(1)得ab4,故1,121,当且仅当b2a,即a,b时取等号,故.2设不等式2|x1|x2|0的解集为M,a,bM.(1)证明:;(2)比较|14ab|与2|ab|的大小,并说明理由解:(1)证明:记f(x)|x1|x2|由22x10解得x,则M.所以|a|b|.(2)由(1)得a2,b20.所以|14ab|24|ab|2,故|14ab|2|ab|.3(20
2、17广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)|xm|x|,mN*,存在实数x使f(x)2成立(1)求实数m的值;(2)若,1,f()f()4,求证:3.解:(1)因为|xm|x|(xm)x|m|.要使不等式|xm|x|2有解,则|m|2,解得2ma2bab2;(2)已知a,b,c都是正数,求证:abc.证明:(1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因为a,b都是正数,所以ab0.又因为ab,所以(ab)20.于是(ab)(ab)20,即(a3b3)(a2bab2)0,所以a3b3a2bab2.(2)因为b2c22bc,a20,所以a2(b2c2)2a2bc.同理,b2(a2c2)2
3、ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2,从而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a,b,c都是正数,得abc0,因此abc(当且仅当abc时取等号)5已知x,yR,且|x|1,|y|1.求证:.证明:1|xy|,原不等式成立6(2017长沙模拟)设,均为实数(1)证明:|cos()|cos |sin |,|sin()|cos |cos |;(2)若0,证明:|cos |cos |cos |1.证明:(1)|cos()|cos cos sin sin |cos cos |sin sin |cos |sin |;|sin()|
4、sin cos cos sin |sin cos |cos sin |cos |cos |.(2)由(1)知,|cos|cos |sin()|cos |cos |cos |,而0,故|cos |cos |cos |cos 01.7(2017重庆模拟)设a,b,cR且abc1.求证:(1)2abbcca;(2)2.证明:(1)因为1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2,当且仅当ab时等号成立,所以2abbcca(4ab2bc2cac2).(2)因为,当且仅当abc时等号成立所以abc2a2b2c2,当且仅当abc时等号成立8(2017贵阳模拟)已知函数f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m;(2)若a,b,c均为正实数,且满足abcm,求证:3.解:(1)当x1时,f(x)2(x1)(x2)3x(3,);当1x2时,f(x)2(x1)(x2)x43,6);当x2时,f(x)2(x1)(x2)3x6,)综上,f(x)的最小值m3.(2)证明:a,b,c均为正实数,且满足abc3,因为(abc)22(abc)(当且仅当abc1时,取等号)所以abc,即3.