1、3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离问题引航1.怎样求两条直线的交点坐标?两条直线的位置关系与相应的方程组的解的个数之间有什么关系?2.平面上两点间的距离公式是什么?1.两条直线的交点坐标已知直线l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.点A(a,b).(1)若点A在直线l:Ax+By+C=0上,则有Aa+Bb+C=0.(2)若点A是直线l1与l2的交点,则有2.两直线的位置关系方程组的解一组无数组_直线l1与l2的公共点的个数一个_零个直线l1与l2的位置关系_重合_无解无数个相交平行3.两点间的距离公式(1)条件:点P
2、1(x1,y1),P2(x2,y2).(2)结论:|P1P2|=_.(3)特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=_.1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)若点A(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则点A的坐标一定适合直线l的方程.()(2)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.()(3)当A,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公式不适用.()【解析】(1)正确.若点A(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则一定有Aa+Bb+C=0.(2)正确.交点在两条直线上,所以交点坐标同时满足两条直线的方程,故一定是这两条直线方程
3、组成的二元一次方程组的解,这种说法正确.(3)错误.两点间距离公式对求任意两点间的距离都适用.答案:(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A(1,b)是直线2x+3y+1=0上一点,则b=.(2)若直线2x+y+1=0与直线x-y-4=0的交点为(a,b),则a-b=.(3)点M(-3,4)到坐标原点的距离|OM|=.【解析】(1)由于点A(1,b)是直线2x+3y+1=0上一点,将(1,b)代入直线方程,可得b=-1.答案:-1(2)解方程组则两条直线的交点为(1,-3),故a-b=1-(-3)=4.答案:4(3)根据两点间的距离公式可得答案:5【要点探究】知识点
4、1 两条直线的交点坐标1.两条直线的交点坐标设两条直线的方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如果两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是方程组的解;反之,如果这两个二元一次方程只有一组公共解,那么以这组解为坐标的点必是直线l1和l2的交点.2.两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组,依据解的个数判断两直线是否相交.当方程组只有一解时,两直线相交.(2)设l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.则l1与l2相交的条件是A1B2-A2B10或(A2,B20).(3)设两条直线l1:y=k1x+b1;l2:y=k
5、2x+b2,则l1与l2相交k1k2.【知识拓展】共点直线系方程(1)经过定点的直线系方程经过定点P(x0,y0)的直线y-y0=k(x-x0)(k为参数)是一束直线(方程中不包括与y轴平行或重合的那一条),所以y-y0=k(x-x0)是经过点P(x0,y0)的直线系方程.直线方程y=kx+b(其中k为参数,b为常数)表示过定点(0,b)的直线系方程(不含直线x=0).(2)过两条直线交点的直线系方程经过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)的交点的直线为(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0(其中
6、为参数),此方程表示的直线不包括直线l2.这个参数形式的方程在解题中很有用处,但在解题中要注意验证l2是否符合题意,否则会出现漏解情况.【微思考】(1)若两直线的方程组成的二元一次方程组有解,则两直线是否相交于一点?提示:不一定.两条直线是否相交,取决于联立两直线方程所得的方程组是否有惟一解.若方程组有无穷多组解,则两直线重合.(2)若两条直线中有一条斜率存在,另一条斜率不存在,则这两条直线相交吗?提示:相交,因为两直线仅有三种位置关系:平行、相交、重合,而此处一条斜率存在,另一条不存在,显然不能平行或重合,故一定相交.【即时练】1.下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为()A.x+3
7、y=0 B.y=-x-12C.y=-x+4 D.2x=3y2.若直线x-y-a=0与x轴相交于点M的横坐标为3,则a=.【解析】1.选D.A,B,C选项中的三条直线的斜率和题干中直线的斜率都是从而它们不会与直线x+3y-4=0相交,只有D选项的斜率为故它们相交.2.由于直线x-y-a=0与x轴相交于点M的横坐标为3,即M(3,0),将(3,0)代入直线方程x-y-a=0中,解得a=3.答案:3知识点2 两点间的距离公式1.对两点间距离公式的两点说明(1)点P1,P2的位置没有先后之分,即距离公式也可以写为(2)使用此公式时,注意公式几何意义的逆向思维,如可理解为点(x,y)到原点的距离,也可理
8、解为(-x,y)到原点的距离,可根据实际需要而定.2.距离公式的几个特例(1)当P1P2x轴时,|P1P2|=|y2y1|.(2)当P1P2y轴时,|P1P2|=|x2x1|.(3)当点P1,P2中有一个是原点时,【微思考】当A,B两点在坐标轴上时,利用两点间的距离公式求|AB|距离还适用吗?提示:适用,因为两点间的距离公式适用于平面内任意两点.【即时练】求下列两点间的距离.(1)A(-2,5),B(-2,-5).(2)A(3,4),B(2,-1).(3)A(0,0),B(3,4).【解析】(1)方法一:|AB|=方法二:易知直线AB平行于y轴,所以|AB|=|5-(-5)|=10.知识点3解
9、析法(或坐标法)1.解析法的意义所谓解析法(或坐标法),就是通过建立平面直角坐标系,将几何元素及其关系用坐标描述,将几何问题转化为代数问题,通过分析、处理代数问题最终解决几何问题的方法.这种方法把点与坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.这种思想贯穿平面解析几何的始终.2.解析法应用的注意点一些平面几何问题用解析法解决时更简单,但要把坐标建立在适当的位置上,注意利用图形的集合性质.(1)要使尽可能多的已知点落在坐标轴上,这样便于计算.(2)如果图形中有互相垂直的两条线,可以考虑将其作为坐标轴;如果图形具有中心对称性,可以考虑将图形中心作为坐标原点;如果图形具有轴对称性,可以将
10、图形的对称轴作为坐标轴.【微思考】解析法的实质是什么?提示:就是通过平面直角坐标系,利用代数的方法来解决几何问题.【即时练】已知ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的直角坐标系,证明|AM|=|BC|.【证明】如图,以AB边所在的直线为x轴,AC边所在的直线为y轴,建立直角坐标系,设B(b,0),C(0,c),由中点坐标公式知所以|AM|=|OM|又因为所以|AM|=|BC|.【题型示范】类型一 与两条直线交点有关的问题【典例1】(1)若直线y=x+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是()(2)过l1:3x-5y-10=0和l2:x+y+1=0的交点,
11、且平行于l3:x+2y-5=0的直线方程为.(3)求经过点(2,3)且经过l1:x+3y-4=0与l2:5x+2y+6=0的交点的直线方程.【解题探究】1.题(1)中的交点在第一象限,其坐标应满足什么条件?2.题(2)中与直线l3:x+2y-5=0平行的直线应设成什么形式?3.题(3)中可否用两点式求直线方程?若用过某一交点的直线系方程又如何求解?【探究提示】1.该点的横坐标、纵坐标都应大于零.2.可设所求直线方程为x+2y+c=0.3.可由已知方程联立解方程组,求得交点坐标,由两点式写出所求的直线方程.或设所求直线方程为:x+3y-4+(5x+2y+6)=0,将点(2,3)代入求得的值.【自
12、主解答】(1)选C.由又交点在第一象限,故解得(2)设所求直线方程为x+2y+c=0,由得交点为所以解得所以所求直线方程为答案:(3)方法一:联立得所以l1,l2的交点为(-2,2).由两点式可得:所求直线方程为即x-4y+10=0.方法二:设所求直线方程为:x+3y-4+(5x+2y+6)=0.因为点(2,3)在直线上,所以2+33-4+(52+23+6)=0,所以所求方程为x+3y-4-(5x+2y+6)=0,即为x-4y+10=0.【方法技巧】1.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)特殊解法(直线系法)
13、:先设出过两直线交点的直线方程,再结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.2.与直线的交点有关的求参数的策略已知三条直线相交于一点,求直线方程中的参数,只需求出其中两条直线的交点,利用该点也在第三条直线上即可求解.已知三条直线有三个不同的交点,需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上和三条直线的斜率不同.【变式训练】求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.【解题指南】解答本题可由所求直线与已知直线l3垂直,得所求直线的斜率,再由l1,l2两直线方程联立可求得交点坐标,利用点斜式写出所求直线的方程.另外也可根
14、据所求直线经过两直线l1和l2的交点P,可设直线方程为x-2y+4+(x+y-2)=0,又与直线l3垂直,可得斜率为求出参数的值即可.【解析】方法一:解方程组的交点P(0,2),因为直线l3的斜率为所以直线l的斜率为所以直线l的方程为y-2=-(x-0),即4x+3y-6=0.方法二:设所求直线l的方程为x-2y+4+(x+y-2)=0.由该直线的斜率为-,求得的值为11,即可以得到l的方程为4x+3y-6=0.【补偿训练】求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线l的方程.【解析】由方程组得因为直线l和直线3x+y-1=0平行,所以直线l的斜率k=
15、-3.所以根据点斜式有即所求直线方程为15x+5y+16=0.类型二 平面上两点间距离公式的应用【典例2】(1)已知点M(x,-4)与点N(2,3)间的距离为7 ,则x的值为.(2)(2013吉林高一检测)已知点(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点O的距离是.(3)已知A(-3,4),B(2,),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.【解题探究】1.题(1)中可建立怎样的等式求出参数x?2.题(2)中若A,C关于B对称,则A,B,C三点的关系是什么?3.题(3)中点P的坐标有何特点?怎样求得|PA|的值.【探究提示】1.由于利用两点间的
16、距离公式可得2.关系是B为A,C的中点,可借助中点坐标公式解决有关问题.3.P点的纵坐标为0,设出横坐标,利用|PA|=|PB|建立方程求出x,利用两点间的距离公式求出|PA|.【自主解答】(1)由解得x2-4x-45=0,解得x1=9或x2=-5.答案:9或-5(2)因为点(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则则答案:(3)设点P的坐标为(x,0),则有由|PA|=|PB|得x2+6x+25=x2-4x+7,解得即所求点P的坐标为且【延伸探究】题(3)中若将条件改为“已知A(-3,4),B(2,3),若在y轴上找一点P”,其余条件不变,又如何求解呢?【解题指南】设P(0,y)
17、,利用|PA|=|PB|建立方程求出y,利用两点间的距离公式求出|PA|.【解析】设点P的坐标为(0,y),则有由|PA|=|PB|,得y2-8y+25=y2-6y+13,解得y=6.故点P的坐标为(0,6),故【方法技巧】利用两点间的距离公式求参数的值的方法及技巧(1)方法:常用方法是待定系数法,即先设出所求点的坐标,利用两点间的距离公式建立方程,然后利用方程的思想求解参数.(2)技巧:解决此类问题时,常常需要结合图形,来直观地找出点与点、点与线、线与线的位置关系,然后利用相关性质转化成我们熟悉的问题.【变式训练】在平面直角坐标系中,已知ABC的三个顶点分别为A(1,4),B(4,0),C(
18、-3,1),试判断三角形的形状.【解题指南】利用两点间的距离公式分别求得三角形的三边的长度,比较三边关系进行判断.【解析】由两点间距离公式得,所以故三角形为等腰直角三角形.【补偿训练】若P(-1,-6),Q(3,0),延长QP到A,使|AP|=|PQ|,那么A的坐标为()【解析】选A.因为|AP|=|PQ|,所以xP-xA=(xQ-xP),即-1-xA=3-(-1),解得故选A.类型三 解析法证明平面几何问题【典例3】(1)ABC中,D是BC边上的任意一点(D与B,C不重合),且求证:ABC为等腰三角形.(2)已知等腰梯形ABCD中,ABCD,试建立适当的直角坐标系,证明:|AC|=|BD|.
19、【解题探究】1.题(1)中可以以ABC的哪边作为x轴建立直角坐标系?2.题(2)中可以梯形ABCD中的哪点作为坐标原点建立直角坐标系?【探究提示】1.作AOBC,垂足为O,以BC边所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.2.以下底AB所在的直线为x轴,以AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系.【自主解答】(1)作AOBC,垂足为O,以BC边所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设A(0,h),B(b,0),C(c,0),D(d,0).已知|AB|2=|AD|2+|BD|DC|，则由两点间距离公式得b2+h2=d2+h2+(d-b)(c-d),
20、化简得-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).因为点D与B,C不重合,所以d-b0,故-b-d=c-d,即-b=c.所以|OB|=|OC|,于是|AB|=|AC|,即ABC为等腰三角形.(2)以下底AB所在的直线为x轴,以AB的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.设A(-a,0),C(b,c),由等腰梯形的性质可知:B(a,0),D(-b,c),则【方法技巧】解析法证明几何问题的步骤【变式训练】ABD和BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,用解析法证明:|AE|=|CD|.【解题指南】建立适当的平面直角坐标系,写出各个点的坐标,再利用两点间的距离公式求解即可.【解析】如图所示,
21、以B为坐标原点,取AC所在的直线为x轴,以垂直于AC且经过B点的直线为y轴,建立平面直角坐标系.设ABD和BCE的边长分别为a和c,则则所以|AE|=|CD|.【补偿训练】某地东西有一条河,南北有一条路,A村在路西3km、河北岸4km处;B村在路东2km、河北岸km处.两村拟在河边建一座水力发电站,要求发电站到两村距离相等,问发电站建在何处?到两村的距离为多远?【解题指南】可以以小河向东的方向为x轴的正方向,以路向北的方向为y轴的正方向,建立平面直角坐标系.【解析】以小河向东的方向为x轴正方向,以路向北的方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,则A(-3,4),B(2,),问题转化为在x轴上找一
22、点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.可设点P为(x,0),则有由|PA|=|PB|得x2+6x+25=x2-4x+7,解得即所求点P为且故发电站应建在小路以西km处的河边,它距两村的距离为km.【拓展类型】关于对称问题【备选例题】(1)入射光线在直线l1:2x-y-3=0上,经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上,则直线l3的方程为()A.x-2y+3=0 B.2x-y+3=0C.2x+y-3=0 D.2x-y+6=0(2)试求直线l1:x-y-2=0关于直线l2:3x-y+3=0对称的直线l的方程.【解析】(1)选B.2x-y-3=0与x轴的交点为故l2的方程为y=-
23、2x+3,而y=-2x+3与y轴的交点为(0,3),故l3的方程为y=2x+3,即2x-y+3=0.(2)由方程组所以直线l1,l2的交点为在x-y-2=0上取一点(2,0),则(2,0)关于3x-y+3=0的对称点在所求直线上,设此对称点为(a,b),则所以所求直线的斜率k=-7,即所求直线l的方程为7x+y+22=0.【方法技巧】1.点关于直线对称的点的求法点N(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点M(x,y)可由方程组求得.2.直线关于直线对称的直线方程求法求直线l1:A1x+B1y+C1=0关于直线l:Ax+By+C=0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称,在
24、l1上任取两点P1和P2,求出P1,P2关于直线l的对称点,再用两点式求出l2的方程.3.常见的点关于直线的对称点(1)点P(a,b)关于x轴的对称点P(a,-b).(2)点P(a,b)关于y轴的对称点P(-a,b).(3)点P(a,b)关于y=x的对称点P(b,a).(4)点P(a,b)关于y=-x的对称点P(-b,-a).(5)点P(a,b)关于x=m(m0)的对称点P(2m-a,b).(6)点P(a,b)关于y=n(n0)的对称点P(a,2n-b).【变式训练】如果直线y=ax+2与直线y=3x+b关于直线y=x对称,那么a,b的值分别是()A.,6 B.,-6 C.3,-2 D.3,6
25、【解析】选B.y=ax+2过点(0,2),(0,2)关于y=x的对称点为(2,0)在y=3x+b上,故b=-6,又y=3x-6上的点(0,-6)关于y=x的对称点(-6,0)在y=ax+2上,解得a=.【易错误区】两条直线相交求参数中的误区【典例】若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0能构成三角形,则a应满足的条件是()A.a=1或a=-2 B.a1C.a1且a-2 D.a1且a-2【解析】选D.三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不共点.由条件不易直接求参数,可从反面着手求解.(1)若三条直线重合,据三条直线的方程可知a=1.(2)若三条直线交于
26、一点,由将l2,l3的交点(-a-1,1)代入l1的方程解得a=1(舍去)或a=-2.(3)若l1l2，由aa-11=0，得a=1，当a=1时,l1与l2重合.(4)若l2l3，由11-a1=0，得a=1，当a=1时,l2与l3重合.(5)若l1l3，由a1-11=0，得a=1，当a=1时,l1与l3重合.综上,当a=1时,三条直线重合;当a=-1时,l1l2;当a=-2时,三条直线交于一点,所以要使三条直线能构成三角形,需a1且a-2.【常见误区】错解错因剖析选C在处由于考虑问题不全面,只考虑三条直线相交于一点和重合的情况而忽视了其他情况导致错选C.选B在处只考虑直线平行或重合的情况,却忽视
27、了三条直线相交于一点的情况而错选B.【防范措施】1.正难则反的转化意识对于正面求解有困难的题目,求解时可考虑从问题的反面着手,迂回转化求解,如本例中三条直线有三个不同的交点,需三条直线两两相交且不共点,由条件不易直接求参数,可考虑从反面着手求解.2.分析问题的全面性考虑问题时必须要全面,根据已知条件各种情况要分析细致,既不重复,也不遗漏,更不能以偏概全.如本例中只考虑三线交于一点或只考虑三条直线平行或重合的情况,都会导致漏解.【类题试解】(2014银川高一检测)直线y=2x+10,y=x+1,y=ax-2交于三点,则a的值为()【解析】选C.由即直线y=2x+10与y=x+1相交于点(-9,-8),故实数a满足即实数a应满足的条件为aR且a1,a2.
