1、高考资源网（） 您身边的高考专家提能专训(二十)圆锥曲线中的综合问题一、选择题1(2014吉林实验中学模拟)如图，F1，F2是双曲线C1：x21与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点若|F1F2|F1A|，则C2的离心率是()A. B.C.或 D.答案B解析由C1：x21知，c2，|F1F2|F1A|4，又|F1A|F2A|2，|F2A|2.又由椭圆的定义知2a|F1A|F2A|6，a3，e.2(2014北京朝阳区期末)已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且ODBE，设AD与OE交于点G，则点G
2、的轨迹方程是()Ayx(1x)(0x1) Bxy(1y)(0y1)Cyx2(0x1) Dy1x2(0x1)答案A解析设D(0，)，E(1,1)(01)，所以线段AD方程为yx(0x1)，线段OE方程为y(1)x(0x1)，联立方程组(为参数)，消去参数得点G的轨迹方程为yx(1x)(0x1)，故A正确3(2014石家庄质检)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为()Aa，a Ba， C.， D.，a答案A解析设|AF1|x，|
3、AF2|y，由双曲线定义得|PF1|PF2|2a，由三角形内切圆的性质得xy2a，又xy2c，xac，|OA|a.延长F2B交PF1于点C，PQ为F1PF2的角平分线，|PF2|PC|，再由双曲线定义得|CF1|2a，|OB|a，故选A.4(2014青岛一模)如图，从点M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y28x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：xy100上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于()A5 B6 C7 D8答案B解析由题意可知，p4，F(2,0)，P(2,4)，Q(2，4)，QN：y4，直线QN，MN
4、关于l：xy100对称，即直线l平分直线QN，MN的夹角，所以直线MN垂直于y轴解得N(6，4)，故x0等于6.故选B.5(2014石家庄质量检测二)已知两定点A(2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A. B. C. D.答案B解析由题意可知，c2，由e可知，e最大时需a最小，由椭圆的定义|PA|PB|2a，即使得|PA|PB|最小，设A(2,0)关于直线yx3的对称点D(x，y)，由可知D(3,1)所以|PA|PB|PD|PB|DB|，即2a，所以a，则e.故选B.6(2014武汉调研)椭圆C：1的左、
5、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析椭圆的左顶点为A1(2,0)、右顶点为A2(2,0)，设点P(x0，y0)，则1，得.而kPA2，kPA1，所以kPA2kPA1.又kPA22，1，所以kPA1.7(2014杭州二检)设F1，F2为椭圆C1：1(a1b10)与双曲线C2的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|2.若椭圆C1的离心率e，则双曲线C2的离心率的取值范围是()A. B.C(1,4 D.答案D解析设双曲线C2的方程为1(a20
6、，b20)，由已知|MF1|2，|F1F2|MF2|2c，又根据椭圆与双曲线的定义得到：a1a22c，其中2a1、2a2分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长，椭圆的离心率e，ca1c，而a2a12c，ca2c，4，故选D.8(2014湖南六校联考)已知双曲线T：1(a0，b0)的右焦点为F(2,0)，且经过点R，ABC的三个顶点都在双曲线T上，O为坐标原点，设ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，P，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，ki0，i1,2,3.若直线OM，ON，OP的斜率之和为1，则的值为()A1 B C1 D.答案B解析由已知可得c2，a，b，双曲线为1，令A
7、(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，P(xP，yP)，由点差法得k12，同理可得k22，k32，又kOMkONkOP12，所以.9(2014河南豫东、豫北联考一)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，若F1PF290，且F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是()A2 B3 C4 D5答案D解析设|PF1|m，|PF2|n，不妨设P在第一象限，则由已知得5a26acc20，方程两边同除a2得，即e26e50，解得e5或e1(舍去)，故选D.10(2014浙江名校联盟联考)过双曲线1(a0，b0)上任
8、意一点P，作与实轴平行的直线，交两渐近线于M，N两点，若2b2，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案C解析由条件知，双曲线两渐近线方程为yx，设P(x0，y0)，则1，xa2，由yy0与yx，得M，N，x0,0xa22b2，又b2c2a2，3a22c2，e.二、填空题11(2014唐山一模)过抛物线C：y24x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|_.答案解析y24x，抛物线的准线为x1，F(1,0)又A到抛物线准线的距离为4，xA14，xA3.xAxB1，xB.|AB|xAxBp32.12(2014绵阳诊断)已知P是以F1，F2为焦点的
9、椭圆1(ab0)上的任意一点，若PF1F2，PF2F1，且cos ，sin()，则此椭圆的离心率为_答案解析依题意，e.由已知得0cos()，即cos()0，b0)的离心率为，圆C是以坐标原点O为圆心，实轴为直径的圆过双曲线第一象限内的任一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，其切点分别为A，B.若直线AB与x轴、y轴分别相交于M，N两点，则的值为_答案解析由题知P、A、O、B四点共圆，其方程为22(xy)，又圆C的方程为x2y2a2，两式作差，得公共弦AB的方程为：x0xy0ya2，分别令x0，y0，得|ON|，|OM|.又点P(x0，y0)在双曲线上，故1，即b2xa2ya2b2.又e22，
10、所以.故.14(2014杭州二检)设抛物线C：y22px(p0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线C于P，Q两点若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|FQ|OA|OB|_.答案0解析设OA所在的直线的斜率为k，则由得到A，易知B，联立方程组，消去x得，y0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得，y1y2p2，根据弦长公式，|FP|FQ|y1|y2|y1y2|p2，而|OA|OB|p2，|FP|FQ|OA|OB|0.三、解答题15(2014贵阳适应性考试)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22p
11、y(p0)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q，以PQ为直径的圆是否恒过y轴上某定点M，若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)依题意，得|OB|8，根据对称性知，BOy30.设点B(x，y)，则x8sin 304，y8cos 3012，所以B(4，12)在抛物线上，所以(4)22p12，解得p2，抛物线E的方程为x24y.(2)设点P(x0，y0)(x00)，因为yx2，yx，直线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q.设满足条件的定点M存在，坐标为M(0，y1)，所以(x0，y0y1)，又0，所以y0y0y1y1
12、y0，又y0x(x00)，联立解得y11，故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M(0,1)16(2014新疆二次检测)在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点(1,0)的距离与到定直线x2的距离之比为，设动点P的轨迹为C.(1)求出轨迹C的方程；(2)设动直线l：ykx与曲线C交于A，B两点，问在y轴上是否存在定点G，使AGB为直角？若存在，求出G的坐标，并求AGB面积的最大值；若不存在，请说明理由解：(1)设P(x，y)，则依题意有，化简得y21.(2)由得(2k21)x2kx0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(0，m)，则x1x2，x1x2，x1x2(y1m)(y2m)(k21)x1x
13、2k(x1x2)m2m，若对任意kR，0恒成立，则需解得m1.因此，存在点G(0,1)，使得AGB为直角又点G到AB的距离d，所以，SAGB|AB|d，设t2k21，t1，)，则SAGB，当且仅当t1时，上式等号成立因此，AGB 面积的最大值是.17(2014云南统检)已知F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P是椭圆E上的点，以F1P为直径的圆经过F2，a2.直线l经过F1，与椭圆E交于A，B两点，F2与A，B两点构成ABF2.(1)求椭圆E的离心率；(2)设F1PF2的周长为2，求ABF2的面积S的最大值解：(1)F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P是椭圆E上的点，以F1P为
14、直径的圆经过F2，PF2x轴|PF2|.又a2，|PF2|2a2，即a.a24b2，即a24(a2c2)，化简得3a24c2，所以.椭圆E的离心率等于.(2)F1PF2的周长为2，2a2c2.解方程组得b2.椭圆E的方程为x24y21.当直线l斜率不存在时，ABF2的面积S2c.当直线l斜率存在时，设斜率为k，由F2与A，B两点构成ABF2，得k0.由已知得直线l的方程为yk，即2kx2yk0.F2到直线l的距离d.由得(14k2)x24k2x3k210.|AB|.S|AB|d.ABF2的面积S的最大值为.又，综上，ABF2的面积S的最大值为.18(2014南昌一模)已知点P在椭圆C：1(ab
15、0)上，过椭圆C的右焦点F2(1,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MNAB，W.试判断W是否为定值？若W为定值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由解：(1)椭圆C的右焦点坐标为(1,0)，c1，椭圆C的左焦点坐标为(1,0)，可得2a4，解得a2，b2a2c2413，椭圆C的标准方程为1.(2)当直线斜率不存在时，|AB|2(2b)24b2，|MN|，W2a4.当直线斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，|MN|x1x2|.设直线AB的方程为ykx(k0)，由消去y，并整理，得x2，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则|AB|x3x4|4，W4.综上，W为定值4.- 17 - 版权所有高考资源网
