1、 5.2 平面向量基本定理与坐标 一、学习目标 1. 理解平面向量基本定理；2. 掌握向量的坐标运算.二、知识回顾1. 平面向量基本定理： 如果、是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使，其中、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的坐标运算：（1） 平面向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设，则 ； ； （2） 向量坐标的求法 设，则，3. 平面向量共线的坐标表示： 设，则.三、典例分析例1. （1）已知平行四边形中，点，满足，则_（用，表示）.（2） 在中，点是上一点，且，是的中点，与的交点为，又，则实数的值为_. 【答案】（1）； （2
2、）.例2. 已知，. 设，且，.（1）求； （2）求满足的实数，；（3）求，的坐标及向量的坐标.【答案】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为3c，所以3c(3，24)(3，4)(0，20)所以M(0，20)又因为2b，所以2b(12，6)(3，4)(9，2)，所以N(9，2)所以(9，18)例3.（1）已知向量(k，12)，(4，5)，(k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是（ ）A B C D（2）已知O为坐标原点，
3、点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|2|，则向量的坐标是_【答案】（1）A； （2）(4，7)例4.（1）如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则的值为_. （2）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点在以为圆心，以1半径的圆弧上变动.若，其中，则的最大值是_.【答案】（1）6； （2）2.解析：以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，设AOC，则C(cos ，sin )，由xy，得解得xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以，所以sin，故xy的最大值为2.【课
4、外作业】1若向量=（1,2），=（3,4），则=（ ）A（4,6） B(-4，-6)C(-2，-2)D(2,2)【答案】A2若向量，则（ ）A BCD【答案】B3在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）A BC D【答案】B4已知向量（1，2），（1，0），（3，4）若为实数，则=（ ）A B C1 D2【答案】B5已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ）A2 B2 C3 D3【答案】选A6.如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分、（不包括边界）. 若，且点落在第部分，则实数、满足（ ）A.， B.， C.， D.，【答案】B7.在平行四边形中，与交于点
5、，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则（ ）A. B. C. D.【答案】B解析：如图，可知=.8.如图，在四边形中，.若向量，则（ ）A. B. C. D.【答案】选B解析：根据题意可得ABC为等腰直角三角形，由BCD135，得ACD1354590.以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，并作DEy轴于点E，则CDE也为等腰直角三角形由CD1，得CEED，则A(1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D，所以(1，0)，(1，1)，.令(，R)，则有得则ab9.已知向量，若点，能构成三角形，则实数满足的条件是_. 【答案】10.如图，在同一个平面内，向
6、量，的模分别为1，1，与的夹角为，且，与的夹角为.若，则_.【答案】311已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A、B、C三点共线，求m的值解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因为kab与a2b共线，所以2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，amb(1，0)m(2，1)(2m1，m)因为A、B、C三点共线，所以.所以8m3(2m1)0，即2m30，所以m.12.在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点，且|DM|1，|DN|2，MDN.(1)试用向量，表示向量，； (2)求|，|解：(1)如图所示，；.(2)由(1)知， 所以|，|.
