1、4.2.1对数运算(教师独具内容)课程标准：1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.理解对数的底数和真数的范围.3.掌握对数的基本性质，并能运用基本性质解决相关问题.4.了解常用对数和自然对数的概念教学重点：对数的概念及对数的基本性质教学难点：对数概念的理解及对数基本性质的运用.知识点一对数的定义及相关概念在表达式abN(a0且a1，N(0，)中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作blogaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数知识点二对数的基本性质由对数的概念可得到如下性质：(1)负数和零没有对数(2)以a(a0且a1)为底
2、1的对数为0，即loga10(a0且a1)(3)底的对数为1，即logaa1(a0且a1)(4)对数恒等式alogaNN(a0且a1，N0)因为由blogaN，得abN，所以将blogaN代入上式，可得alogaNN.(5)logaabb(a0且a1)因为abNlogaNb，所以logaabb(a0且a1)知识点三常用对数与自然对数的概念1常用对数(1)定义：以10为底的对数称为常用对数(2)符号表示：常用对数log10N通常简写为lg_N.2自然对数(1)定义：以e为底的对数称为自然对数(2)符号表示：自然对数logeN通常简写为ln_N.在对数logaN中规定a0且a1的原因(1)若a0，
3、知N恒大于0.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)因为(2)416，所以log(2)164.()(2)对数式log32与log23的意义一样()(3)对数运算的实质是求幂指数()(4)等式loga10对于任意实数a恒成立()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)将log3a2化为指数式为_(2)若5x2020，则x_.(3)lg 10_；ln e_.(4)计算：2log233log32lg 0.0001_.答案(1)32a(2)log52020(3)11(4)1题型一 对数的定义例1在对数式blog(a2)(5a)中，实数a的取值范围是()Aa5或a2
4、B2a5C2a3或3a5 D3a4解析由题意得解得2a3或3a且x1.即x的取值范围是.题型二 指数式与对数式的互化例2(1)将下列指数式改写成对数式：2416；25；3481；mn；(2)将下列对数式改写成指数式：log51253；log164；ln ab；lg 10003.解(1)log2164；log25；log3814；lognm.(2)53125；416；eba；1031000.点睛指数式与对数式互化的思路指数式abN可以写成logaNb(a0且a1)，这是指数式与对数式互化的依据对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式具体对应如下：(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真
5、数，指数作为对数，底数不变，写出对数式(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式(1)若alog23，则2a2a_.(2)将下列指数式与对数式互化：log2164；logx6；4364.答案(1)(2)见解析解析(1)因为alog23，所以2a3，则2a2a331.(2)2416；()6x；log4643.题型三 对数恒等式的应用例3求下列各式的值：(1)5log54；(2)3log342；(3)24log25；(4)2；(5)4log23.解(1)设5log54x，则log54log5x，x4.(2)3log344，3log3423log34324.(3
6、)2log255，24log25242log2516580.(4)2log255，2(2log25).(5)2log233，4log2322log23(2log23)29.点睛运用对数恒等式时的注意事项(1)对于对数恒等式alogaNN(a0且a1，N0)要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为对数的真数(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用求31log3624log23103lg 3log34的值解原式313log36242log23(10lg 3)332log343616333(3log34)2184827.题型四 对数性质的应用例4(1)已知lo
7、gx162，则x等于()A4B4C256D2(2)求下列各式中x的值：log2(log5x)0；log3(lg x)1；logx；33log3x2. 解析(1)x216且x0，x1，x4.故选B.(2)log2(log5x)0.log5x201，x515.log3(lg x)1，lg x313，x1031000.logx，(1)x1，x1.33log3x333 log3x27x2，x.答案(1)B(2)见解析点睛对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：logaa1，loga10(a0且a1).(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把
8、内层视为整体，逐层使用对数的性质.(1)若log3(2x1)1，则x_；(2)已知log2log3(log4x)0，求x的值；(3)若log(x2)(x27x13)0，求x的值答案(1)2(2)见解析(3)见解析解析(1)由已知可得2x13，x2.(2)log2log3(log4x)0，log3(log4x)1，log4x3.x4364.(3)因为log(x2)(x27x13)0，所以即解得x4.故所求x的值为4.1有下列说法：零和负数没有对数；任何一个指数式都可以化成对数式；以e为底的对数称为常用对数其中正确命题的个数为()A1B2C3D0答案A解析正确；对于，(2)38不能化为对数式，故错
9、误；对于，以e为底的对数称为自然对数，故错误，故选A.2若log8x，则x的值为()A.B4C2 D.答案A解析x8.故选A.3(多选)下列各式计算正确的是()Alg (lg 10)0Blg (ln e)0C若10lg x，则x10D由log25x，得x5答案AB解析lg 101，lg (lg 10)lg 10，A正确；ln e1，lg (ln e)lg 10，B正确；若10lg x，则x1010，C错误；由log25x，得x255，D错误故选AB.4式子2log25log1的值为_答案5解析由对数性质知，2log255，log10，故原式5.5(1)若log31，求x的值；(2)若log20
10、20(x21)0，求x的值；(3)计算：3log34lg 2. 解(1)log31，3，12x9，x4.(2)log2020(x21)0，x211，即x22.x.(3)原式43()4334. 一、选择题1若log(x1)(x1)1，则x的取值范围是()Ax1Bx1Cx2Dx1且x2答案D解析使log(x1)(x1)1有意义，需x10且x11，即x1且x2，故选D.2方程2log3x的解是()AxBxCxDx9答案A解析2log3x22，log3x2，x32.3设alog310，blog37，则3ab()A. B. C. D.答案C解析alog310，blog37，3a10,3b7，3ab.4(
11、多选)下列指数式与对数式的互化中，正确的是()Ae01与ln 10B27与log27Clog392与93Dlog551与515答案ABD解析A，B，D正确log392变成指数式应为329，C不正确故选ABD.5如果f(10x)x，则f(3)等于()Alog310Blg 3C103D310答案B解析解法一：令10xt，则xlg t，f(t)lg tf(3)lg 3.解法二：令10x3，得xlg 3，f(3)lg 3，故选B.二、填空题6已知logx3，则x_.答案解析logx3，x3，x.7若a0，a2，则loga_， loga_.答案12解析由a0，a22，可知a，logalog1, loga
12、loglog22.82lg (1)lg 1的值是_答案3解析原式lg 102(1)0213.三、解答题9计算：(1)log84；(2)log81；(3)log(2)解(1)设log84x，则8x4，即23x22,3x2，x，故log84.(2)设log81x，则()x81，即334，4，x16，故log8116.(3)设log(2)x，则(2)x2，(2)x(2)1，x1，故log(2)1.10求下列各式中的x的值：(1)logx27；(2)log2x；(3)logx(32)2；(4)log5(log2x)0；(5)lg (ln x)1；(6)lg (ln x)0.解(1)由logx27，得x
13、27，x27329.(2)由log2x，得2x，x.(3)由logx(32)2，得32x2，即x(32)1.(4)由log5(log2x)0，得log2x1.x212.(5)lg (ln x)1，ln x10，xe10.(6)lg (ln x)0，ln x1，xe.1(1)计算：(2)已知loga2m，loga3n，求a2mn的值解(2)loga2m，loga3n，am2，an3，则a2mn(am)2an22312.2已知二次函数f(x)(lg a)x22x4lg a的最大值为3，求a的值解原函数式可化为f(x)lg a24lg a.f(x)有最大值3，lg a0，且4lg a3，整理，得4(lg a)23lg a10，解得lg a1或lg a.又lg a0，lg a.a10.
