1、专题能力训练11等差数列与等比数列一、能力突破训练1.在等差数列an中,a4+a10+a16=30,则a18-2a14的值为()A.20B.-20C.10D.-102.在各项均为正数的等比数列an中,若log2(a2a3a5a7a8)=5,则a1a9=()A.4B.5C.2D.253.设an是等比数列,Sn是an的前n项和.对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,则S101的值为()A.2B.200C.-2D.04.已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d05.已
2、知数列an满足,且a2=2,则a4等于()A.-B.23C.12D.116.已知各项均为正数的等差数列an的前n项和为Sn,S10=40,则a3a8的最大值为.7.设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且成等差数列,则=.9.已知Sn为数列an的前n项和,且a2+S2=31,an+1=3an-2n(nN*).(1)求证:an-2n为等比数列;(2)求数列an的前n项和Sn.10.(2018全国,理17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求S
3、n,并求Sn的最小值.11.已知数列an是等比数列.设a2=2,a5=16.(1)若a1+a2+a2n=t(+),nN*,求实数t的值;(2)若在之间插入k个数b1,b2,bk,使得,b1,b2,bk,成等差数列,求k的值.二、思维提升训练12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且
4、该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.11013.若数列an为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=+等于()A.1-B.C.1-D.14.已知等比数列an的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,若ASn-B对nN*恒成立,则B-A的最小值为.15.无穷数列an由k个不同的数组成,Sn为an的前n项和,若对任意nN*,Sn2,3,则k的最大值为.16.等比数列an的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列的前n项和.17.若数列an是公差为正数的
5、等差数列,且对任意nN*有anSn=2n3-n2.(1)求数列an的通项公式.(2)是否存在数列bn,使得数列anbn的前n项和为An=5+(2n-3)2n-1(nN*)?若存在,求出数列bn的通项公式及其前n项和Tn;若不存在,请说明理由.专题能力训练11等差数列与等比数列一、能力突破训练1.D解析 因为a4+a10+a16=30,所以3a10=30,即a10=10,所以a18-2a14=-a10=-10.故选D.2.A解析 由题意得log2(a2a3a5a7a8)=log2=5log2a5=5,所以a5=2.所以a1a9=4.故选A.3.A解析 设公比为q,an+2an+1+an+2=0,
6、a1+2a2+a3=0,a1+2a1q+a1q2=0,q2+2q+1=0,q=-1.又a1=2,S101=2.4.B解析 设an的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.a3,a4,a8成等比数列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.d0,a1d=-d20,且a1=-d.dS4=2d(2a1+3d)=-d20,a80,所以a3a8=16,当且仅当a3=a8=4时取等号.7.64解析 由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得,解得q=,a1=8,所以a1a2an=8n,抛物线f(n)=-n2+n的
7、对称轴为n=-=3.5,又nN*,所以当n=3或4时,a1a2an取最大值为=26=64.8解析 由题意知解得xz=y2=y2,x+z=y,从而-2=-2=9.(1)证明 由an+1=3an-2n可得an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-32n=3(an-2n).又a2=3a1-2,则S2=a1+a2=4a1-2,得a2+S2=7a1-4=31,得a1=5,则a1-21=30.故an-2n为等比数列.(2)解 由(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n,an=2n+3n,Sn=2n+1+10.解 (1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.
8、所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.11.解 设等比数列an的公比为q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.(1)a1+a2+a2n=t(+),=t,即=t对nN*都成立,t=3.(2)=1,且,b1,b2,bk,成等差数列,公差d=-,且=(k+1)d,即-1=(k+1),解得k=13.二、思维提升训练12.A解析 设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为第n组的和为=2n-1,前n组总共的和为-n=2n+1-2
9、-n.由题意,N100,令100,得n14且nN*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N100且前N项和为2的整数幂,则SN-应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(kN*,n14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=+5=440,故选A.13.B解析 因为an=12n-1=2n-1,所以anan+1=2n-12n=22n-1=24n-1,所以所以是等比数列.故Tn=+14解析 易得Sn=1-,因为y=Sn-上单调递增(y0),所以yA,B,因此B-A的最小值为15.4解析 要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为2,1,-1,0,0,0,所以最多由
10、4个不同的数组成.16.解 (1)设数列an的公比为q.由=9a2a6得=9,所以q2=由条件可知q0,故q=由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=故数列an的通项公式为an=(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-故=-=-2,+=-2+=-所以数列的前n项和为-17.解 (1)设等差数列an的公差为d,则d0,an=dn+(a1-d),Sn=dn2+n.对任意nN*,恒有anSn=2n3-n2,则dn+(a1-d)=2n3-n2,即dn+(a1-d)=2n2-n.d0,an=2n-1.(2)数列anbn的前n项和为An=5+(2n-3)2n-1(nN*),当n=1时,a1b1=A1=4,b1=4,当n2时,anbn=An-An-1=5+(2n-3)2n-1-5+(2n-5)2n-2=(2n-1)2n-2.bn=2n-2.假设存在数列bn满足题设,且数列bn的通项公式bn=T1=4,当n2时,Tn=4+=2n-1+3,当n=1时也适合,数列bn的前n项和为Tn=2n-1+3.
