1、专题06 函数与导数中的恒成立问题函数与导数中的恒成立问题一直是历年高考、模考中的一个热点，是考察学生综合素质的一个好的题型。它主要涉及到基本初等函数的图像及性质，结合不等式，渗透着分类讨论、转化化归、数形结合、推理论证等数学思想。恒成立问题常见的处理方法是分离参变量，利用转化的数学思想将其转化为最值问题，再利用导数判断单调性求出最值，进而得出参数的范围。比如对于含有参数的函数对于上恒成立，利用参变分离转化为或者，即或，只需要运用导数求解的最值就能解决。这种常见题型资料比较多，这里笔者不在累赘。用此方法解题需要满足两个条件，一是分离参数是可行的，二是分离完后形成的新的函数用导数可以判断单调性求
2、出最值。但是往往出题者想考察学生分类讨论，推理论证等数学思想，在题型的设置上就会让分离后的新函数无法简单的用导数判断单调性。就算可以判断出单调性，最值点也是在开区间的地方取到，那也要借助与高等数学中的洛必达法则求极限。笔者看到很多论文着重写洛必达法则在解决函数与导数中的恒成立问题的妙用，觉得并不太妥当，一是学生根本就不知道洛必达法则是什么，用来解决什么问题，就生搬硬套，记住遇到或者就分子分母分别求导，直到能算出具体的值，二是现在很多的题目设置已经开始让分离后的新函数无法简单的通过导数求出单调性，也就不能说明为什么最值会在开区间那个点处取到，也许记住洛必达法则能够得到答案，但大题中解题过程非常的
3、重要，洛必达法则真的能保证得满分吗？这貌似也不符合学生的认知规律，我们需要通过这样的题培养分类讨论，推理论证的数学思想，提高综合能力，为我们进入大学学习高等数学奠定良好的数学基础。下面我们通过几个模考例题来谈谈这类题目的解题过程及规律。例1、(2017南京三模)已知，函数的导函数为（1） 求曲线在处的切线方程；（2）若函数存在极值，求的取值范围；（3）若时，恒成立，求的最大值解：（1）因为， 所以曲线在处的切线的斜率为， 又切点为，所以切线方程为 （2）， 当时，恒成立，从而在上单调递增， 故此时无极值 当时，设，则恒成立， 所以在上单调递增 当时，且)是上的连续函数，因此存在唯一的，使得 当
4、时，且)是上的连续函数，因此存在唯一的，使得 故当时，存在唯一的，使得 且当时，即，当时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此在处有极小值 所以当函数存在极值时，的取值范围是.（3）， 设，则 当时，在上单调递增， 此时，即，从而在上单调递增 所以恒成立 当时，存在，使得在上单调递减，即在上单调递减所以当时，于是在上单调递减，所以，不符合题意综上所述：，即的最大值为 点评：本题第三问如果用参变分离得到的新函数是个非常复杂的函数，单调性难以判断，最值也就难以求解。故此题需要整体求导，讨论单调性，来求解满足题意的的范围，综合性很强。 例2、（2017苏北六市高三二模）已知函数，其中e为自然
5、对数的底数（1）求函数在x1处的切线方程；（2）若存在，使得成立，其中为常数，求证：；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围若，则，所以在上为单调增函数又，所以，与矛盾 若，记，则 令，解得当时，在上为单调增函数；当时，在上为单调减函数所以，所以，所以在上为单调增函数又，所以，与矛盾综合， （3）由得记，则当时，因为，所以，所以在上为单调增函数，所以，故原不等式恒成立 法二：当时，一方面另一方面，所以，使，又在上为单调减函数，所以当时，故在上为单调减函数，所以，不合题意综上所述，点评：同上一题一样的思路，分离参变量求解会遇到同样的麻烦，故也需要整体求导讨论单调性， 来寻找满足题意的
6、的范围。 例3、（2017苏锡常镇高三一模）已知函数（为常数，且为正实数）.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若不等式恒成立，求的取值范围.解：（1）因为在上单调递增，则恒成立，即恒成立令，则解得当时，单调递减当时，单调递增因此，所以综上所述： 例4、（2017扬州高三模拟）已知函数，其中为参数.（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.解：，对称轴方程为，当时，故在单调递增，所以，满足题意。当时，所以，使得，当时，即，故在单调递减，所以，不满足题意。当时，（用是在点处的切线说明），当时，不满足题意综上所述：通过上面四个例题我们不难发现这类题目有共同点，一是每一道题在定义域的端点处函数
7、值都是零。二是在讨论单调性时都会遇到恒增、恒减、有增有减的情况，最后的答案都出现在恒增或者是恒减的范围里，而有增有减的讨论中都会出现与题意矛盾，故而舍去，不同点在于函数形式不一样，某些题目需要进行二次求导，由二阶导的单调性推理得到一阶导的零点，进而得到原函数的单调性，检验是否满足题意。巩固练习：1、（原创）已知函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围。2、（原创）已知函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围。3、（原创）已知函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围。4、（原创）已知函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围。5、（2017常州高三上期末20）已知函数.若，当时，关于的不等
8、式恒成立，求实数的取值范围（其中是自然对数的底数）6、（2017盐城高三第三次模拟19）设函数.（2）若对任意的实数，函数（为实常数）的图象与函数的图象总相切于一个定点. 求与的值； 对上的任意实数，都有，求实数的取值范围.7、（2017镇江高三期末20）已知函数，（为常数）（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围巩固练习答案解析：1、分析：此题若用分参解先要单独讨论当时，满足题意。当时，得到，即求新函数的最小值。而求导后单调性是比较难判断的，所以此题是要考察学生讨论的单调性，要满足。当时，在有一解，设为在上，在上，因此在上是单调递减函数，在区间上恒有，不满足题意。综上所述： 2、分析：
9、先考虑分参的方法能否解决此题。当时单独讨论，满足题意。当时，得到，即求新函数的最大值。利用导数判断函数单调性就有一定难度，更何况求出最大值。所以此题是要考察学生讨论的单调性，要满足。解：观察可以发现，即。令，当时，当时，所以在是单调减函数，在是单调增函数。，当时，恒成立。当时，在上恒成立，在单调递减，所以满足题意。当时，有且只有一个零点，设为，当时，在是单调增函数，因此在上，不满足题意。注：当时，无需判断、的单调性，因为当时已经不满足题意。3、分析：先考虑分参的方法能否解决此题。当时单独讨论，满足题意。当时，先判断，故分参可以得到，即求新函数的最小值。同样利用导数判断函数单调性就有一定难度，更
10、何况求出最小值。所以此题是要考察学生讨论的单调性，要满足。解：观察可以发现，令，即，可以看出在是单调减函数且，当时，在上恒成立，在单调递减，即在单调递减，所以恒成立，不满足题意。综上所述：4、分析：先考虑分参的方法能否解决此题。当时单独讨论，满足题意。当时，先判断，故分参可以得到，即求新函数的最小值。同样利用导数判断函数单调性就有一定难度，更何况求出最小值。所以此题是要考察学生讨论的单调性，要满足。解：观察可以发现，令，则，令，则当时，在恒成立，即在上是单调增函数，即在单调递增，即，所以在上是单调增函数，所以恒成立，满足题意。当时，使得有零点，设为，当时，在是单调减函数，因此在上，在上是单调减
11、函数，在是单调减函数，因此在上，不满足题意。 综上所述：5、解：恒成立令则令，则易知是单调递增函数，当时，所以在是单调减函数，则，即，所以在是单调减函数，即当，恒成立，不满足题意综上所述：6、解：（2） ，设切点为，则切线的斜率为，据题意是与无关的常数，故，切点为，由点斜式得切线的方程为，即，故. 当时，对任意的，都有;当时，对任意的，都有;故对恒成立，或对恒成立.而，设函数.则对恒成立，或对恒成立， ，当时, ,恒成立,所以在上递增, ,故在上恒成立，符合题意. 7、解：（2）设函数， 又， 当，即恒成立时，函数单调递减. 设，则在上恒成立所以，即，符合题意； 当时，恒成立，此时函数单调递增. 所以对任意恒成立，不符合题意；
