1、2.复数、平面向量考向1复数的概念、运算及几何意义1.(2022河南开封一模)设(1+i3)z=i,则在复平面内,复数z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2022全国甲文3)若z=1+i,则|iz+3z|=()A.45B.42C.25D.223.(2022全国乙文2)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则()A.a=1,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-14.(2022山东潍坊一模)已知复数z满足z+3=4z+5i,则在复平面内复数z对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.(2022新高考2
2、)若i(1-z)=1,则z+z=()A.-2B.-1C.1D.2考向2平面向量的概念及线性运算6.(2022河南名校联盟一模)如图,在ABC中,点M是AB上的点且满足AM=3MB,P是CM上的点,且MP=15MC,设AB=a,AC=b,则AP=()A.12a+14bB.35a+15bC.14a+12bD.310a+35b7.(2022河南名校联盟一模)下列关于平面向量的说法正确的是()A.若AB,CD共线,则点A,B,C,D必在同一直线上B.若ab且bc,则acC.若G为ABC的外心,则GA+GB+GC=0D.若O为ABC的垂心,则OAOB=OBOC=OCOA8.(2022新高考3)在ABC中
3、,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=()A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n9.(2022河南许昌质检)正方形ABCD中,P,Q分别是边BC,CD的中点,AP=xAC+yBQ,则x=()A.1113B.65C.56D.3210.(2022河南名校联盟一模)如图,在同一个平面内,向量OA与OC的夹角为,且tan =7,向量OB与OC的夹角为45,且|OA|=|OB|=1,|OC|=2.若OC=mOA+nOB(mR,nR),则n-m=.考向3平面向量的数量积11.(2022新高考4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则实数t
4、=()A.-6B.-5C.5D.612.(2022新高考八省第二次T8联考)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB,AD向外分别作正方形ABEF,正方形ADMN,其中AB=2,AD=1,BAD=4,则ACFN=()A.-22B.22C.0D.-113.(2022山东威海期末)已知向量a,b满足|a|=|b|=2,且a-b在a上的投影为2+3,则=()A.6B.3C.23D.5614.(2022山东潍坊期末)已知正方形ABCD的边长为2,MN是它的内切圆的一条弦,点P为正方形四条边上的动点,当弦MN的长度最大时,PMPN的取值范围是()A.0,1B.0,2C.1,2D.-1,115.(2
5、022山东济宁一模)等边三角形ABC的外接圆的半径为2,点P是该圆上的动点,则PAPB+PBPC的最大值为()A.4B.7C.8D.1116.(2022全国甲文13)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若ab,则m=.2.复数、平面向量1.B解析: (1+i3)z=i,(1-i)z=i,z=i1-i=i(1+i)(1-i)(1+i)=-12+12i,复数z在复平面内对应的点为-12,12,位于第二象限.故选B.2.D解析: iz+3z=i(1+i)+3(1-i)=2-2i,则|iz+3z|=|2-2i|=22,故选D.3.A解析: 由(1+2i)a+b=2i,得a+b+2ai=2i.a
6、,bR,a+b=0,2a=2,解得a=1,b=-1.故选A.4.A解析: 设z=x+yi,x,yR,则z=x-yi,由z+3=4z+5i得(x+yi)+3=4(x-yi)+5i,即(x+3)+yi=4x+(5-4y)i,于是得x+3=4x,y=5-4y,解得x=y=1,则有z=1+i对应的点为(1,1),所以在复平面内复数z对应的点在第一象限.故选A.5.D解析: i(1-z)=1,z=i-1i=1+i,z=1-i.z+z=2.故选D.6.B解析: AP=AM+MP=AM+15MC=AM+15(AC-AM)=45AM+15AC=4534AB+15AC=35a+15b.7.D解析: 若AB,CD
7、共线,则直线AB与CD平行或重合,点A,B,C,D不一定在同一直线上,A错;当b=0时,满足ab且bc,不能得出ac,B错;当G为ABC的重心,则GA+GB+GC=0,C错;若O为ABC的垂心,则OBAC,OBAC=0,即OB(OC-OA)=0,OAOB=OBOC,同理OBOC=OCOA,D正确,故选D.8.B解析: 如图.BD=2DA,AB=3AD,CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD.又CA=m,CD=n,所以CB=-2m+3n.故选B.9.C解析: P,Q分别是正方形边BC,CD的中点,AC=AB+AD,AP=AB+12AD,BQ=-12AB+AD,A
8、P=xAC+yBQ=x(AB+AD)+y-12AB+AD=x-12yAB+(x+y)AD=AB+12AD,x-12y=1,x+y=12,x=56,y=-13,故选C.10.12解析: 在题图中,以O为原点,OA方向为x轴的非负半轴,以过O与OA垂直向上为y轴非负半轴建立平面直角坐标系(图略).由题意得A(1,0),向量OA与OC的夹角为,tan =7,cos =210,sin =7210,又|OC|=2,C15,75,cos(+45)=-35,sin(+45)=45,B-35,45,OC=mOA+nOB,15,75=m(1,0)+n-35,45,m-35n=15,45n=75,解得m=54,n
9、=74,n-m=12.11.C解析: 由题意得c=(3+t,4),cos=cos,故9+3t+16|c|5=3+t|c|1,解得t=5.故选C.12.C解析: ACFN=(AB+AD)(FA+AN)=ABFA+ADFA+ABAN+ADAN=0+|AD|FA|cos4+|AB|AN|cos34+0=2-2=0.选C.13.D解析: (a-b)a=|a-b|a|cos=(2+3)2,即a2-ab=4+23,ab=-23.所以|a|b|cos=-23,cos=-32,=56.14.A解析: 由题当弦MN长度最大时,即MN为直径,设弦MN的中点为O,由题意,PMPN=(PO+OM)(PO+ON)=PO2-14MN2=PO2-1=|PO2|-1,由1|PO|2,得PMPN的取值范围是0,1.15.C解析: 如图所示,建立平面直角坐标系,设ABC的边长为a,则asinA=2R=4(R为ABC外接圆半径),所以a=23,A(0,3),B(-3,0),C(3,0),ABC的外接圆的方程为x2+(y-1)2=4,设P点坐标为(2cos ,1+2sin ),R,PAPB+PBPC=PB(PA+PC)=4+23cos +2sin =4+4cos-68,当cos-6=1时,等号成立.故选C.
