1、课时作业梯级练四十九立体几何的综合应用1.(2020新高考全国卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD底面ABCD,设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.【命题意图】本题主要考查空间线面垂直关系及线面角的求解,考查空间想象力与基本计算能力,体现了直观想象与逻辑推理的核心素养.【解析】(1)因为PD底面ABCD,AD平面ABCD,所以PDAD.又底面ABCD为正方形,所以ADDC,又DCPD=D,DC,PD平面PDC,所以AD平面PDC.因为ADBC,AD平面PBC,BC平面PBC,
2、所以AD平面PBC,由平面PAD与平面PBC的交线为l,可得lAD.因此l平面PDC.(2)以D为坐标原点, 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1), =(0,1,0), =(1,1,-1).由(1)可设Q(a,0,1),则 =(a,0,1),设n=(x,y,z)是平面QCD的一个法向量,则 即 可取n=(-1,0,a).所以cosn, = = .设PB与平面QCD所成角为,则sin = = .因为 ,当且仅当a=1时等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为
3、 .2.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,ADBC,ABBC,AB= ,BC=2AD=2,E为CD的中点,PBAE.(1)证明:平面PBD平面ABCD;(2)若PB=PD,PC与平面ABCD所成的角为 ,试问“在侧面PCD内是否存在一点N,使得BN平面PCD?”若存在,求出点N到平面ABCD的距离;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由四边形ABCD是直角梯形,AB= ,BC=2AD=2,ABBC,可得DC=2,BCD= ,从而BCD是等边三角形,BD=2,BD平分ADC.因为E为CD的中点,所以DE=AD=1,所以BDAE,又因为PBAE,PBBD=B,所以AE平面PBD.又因
4、为AE平面ABCD,所以平面PBD平面ABCD.(2)在平面PBD内作POBD于O,连接OC,又因为平面PBD平面ABCD,平面PBD平面ABCD=BD,所以PO平面ABCD.所以PCO为PC与平面ABCD所成的角,则PCO= ,所以由题意得OP=OC= ,因为PB=PD,POBD,所以O为BD的中点,所以OCBD.以O为原点,分别以OB,OC,OP所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0, ,0),D(-1,0,0),P(0,0, ),假设在侧面PCD内存在点N,使得BN平面PCD成立,设 = + (,0,+1),由题意得N(-, ,- (+-1), =(-
5、1, ,- (+-1), =(0, ,- ), =(-1,0,- ),由 ,得 解得= ,= ,满足题意,即存在点N,使得BN平面PCD,所以点N到平面ABCD的距离为- (+-1)= .3.等边ABC的边长为3,点D,E分别是AB,AC上的点,且满足 = = (如图(1),将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使二面角A1-DE-B成直二面角,连接A1B,A1C(如图(2).(1)求证:A1D平面BCED;(2)在线段BC上是否存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为60?若存在,求出PB的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)题图(1)中,由已知可得:AE=2,AD=1,A=60.从
6、而DE= = .故得AD2+DE2=AE2,所以ADDE,BDDE.所以题图(2)中,A1DDE,BDDE,所以A1DB为二面角A1-DE-B的平面角,又二面角A1-DE-B为直二面角,所以A1DB=90,即A1DDB,因为DEDB=D且DE,DB平面BCED,所以A1D平面BCED.(2)存在.由(1)知EDDB,A1D平面BCED.以D为坐标原点,分别以射线DB,DE,DA1为x轴,y轴,z轴的正半轴建立空间直角坐标系,如图, 过P作PHDE交BD于点H,设PB=2a(02a3),则BH=a,PH= a,DH=2-a,易知A1(0,0,1),P(2-a, a,0),E(0, ,0),所以
7、=(a-2,- a,1).因为ED平面A1BD,所以平面A1BD的一个法向量为 =(0, ,0).因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60,所以sin 60= = = ,解得a= .所以PB=2a= ,满足02a3,符合题意.所以在线段BC上存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为60,此时PB= .4.如图,在等腰梯形ABCD中,ABC=60,CD=2,AB=4,点E为AB的中点,现将该梯形中的三角形EBC沿线段EC折起,形成四棱锥B-AECD.(1)在四棱锥B-AECD中,求证:ADBD;(2)若平面BEC与平面AECD所成二面角的平面角为120,求直线AE与平面ABD所成角的正弦
8、值.【解析】(1)由三角形BEC沿线段EC折起前,ABC=60,CD=2,AB=4,点E为AB的中点,得三角形BEC沿线段EC折起后,四边形AECD为菱形,边长为2,DAE=60,如图, 取EC的中点F,连接DF,BF,DE,因为BEC和DEC均为正三角形,所以ECBF,ECDF,又BFDF=F,所以EC平面BFD,因为ADEC,所以AD平面BFD,因为BD平面BFD,所以ADBD.(2)以F为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 由EC平面BFD,知z轴在平面BFD内,因为BFEC,DFEC,所以BFD为平面BEC与平面AECD所成二面角的平面角,所以BFD=120,所以BFz=30,又因为BF= ,所以点B的横坐标为- ,点B的竖坐标为 .因为D( ,0,0),E(0,1,0),A( ,2,0),B ,故 =(- ,-1,0), = , =(0,-2,0).设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),所以 得 令x=1,得y=0,z= ,所以平面ABD的一个法向量为n=(1,0, ),所以cos= = =- .因为直线AE与平面ABD所成角为锐角,所以直线AE与平面ABD所成角的正弦值为 .
