1、综合测试卷(二)时间:120分钟分值:150分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021湖北黄冈中学三模,3)已知复数z满足z2+4i=0,则|z|=()A.4B.2C.2D.1答案B设z=a+bi(a,bR),则z2+4i=(a+bi)2+4i=a2-b2+(2ab+4)i=0,所以a2-b2=0且2ab+4=0,解得a=2,b=-2或a=-2,b=2,则|z|=a2+b2=2.故选B.2.(2021海淀一模,1)已知集合A=1,B=x|xa.若AB=B,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,1C.(1,+)
2、D.1,+)答案B由AB=B,得AB,从而有a1,所以实数a的取值范围是(-,1,故选B.3.(2020湖南衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学研究成果,周髀算经九章算术海岛算经孙子算经缉古算经等10部专著是了解我国古代数学的重要文献,这10部专著中5部产生于魏晋南北朝时期,某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为()A.79B.29C.49D.59答案A设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A,所以P(A)=C52C102=29,因此P(A)=1-P(A)=1-29=79.故选A.4.(2022届广州10
3、月调研,5)双曲线C:x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为x+2y=0,则C的离心率为()A.52B.3C.2D.5答案A由题意得12=ba,即a=2b,又b2=c2-a2,5a2=4c2,e=ca=52,故选A.5.(2021广州模拟,5)某学校组织学生参加数学测试,某班成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为20,40),40,60),60,80),80,100.若不低于60分的人数是35,则该班的学生人数是()A.45B.50C.55D.60答案B由频率分布直方图得不低于60分的频率为(0.02+0.015)20=0.70,不低于60分的人数是35,该班的学生人数是350.70=5
4、0.故选B.6.(2021百校大联考(六),9)已知向量a=(3,100),若a=(3,2)(,R),则=()A.50B.3C.150D.13答案C根据题意得a=(3,100)=(3,2),所以2=100,所以=150,故选C.7.(2022届江苏省天一中学月考,6)若函数f(x)=sin(4x-)02在区间0,6上单调递增,则实数的取值范围是()A.6,4B.4,3C.3,2D.6,2答案D当x0,6时,-4x-23-.因为函数y=sinx在-2,2上单调递增,且函数f(x)=sin(4x-)02在区间0,6上单调递增,所以得-2,23-2,解得62,所以实数的取值范围是6,2.8.(202
5、2届重庆巴蜀中学11月月考,8)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G,H分别为棱AB,BC,C1D1,A1D1的中点,若平面平面EFGH,且平面与棱A1B1,B1C1,B1B分别交于点P,Q,S,其中点Q是棱B1C1的中点,则三棱锥B1-PQS的体积为()A.1B.12C.13D.16答案D如图所示,取AA1,CC1的中点N,M,连接NH,NE,MG,MF,由正方体的性质可知,NEGM,HGEF,HNMF,所以H,G,M,F,E,N六点共面,又因为平面平面EFGH,所以平面PQS平面HGMFEN,又平面BB1C1C平面PQS=QS,平面BB1C1C平面HGMFEN=MF
6、,所以QSMF,由M,F,Q为所在棱中点可知S为BB1的中点,同理可知,P为A1B1的中点,所以B1P=B1Q=B1S=1,且B1P,B1Q,B1S两两垂直,所以三棱锥B1-PQS的体积为V=1311211=16,故选D.9.(2021八省联考,8)已知a5且ae5=5ea,b4且be4=4eb,c3且ce3=3ec,则()A.cbaB.bcaC.acbD.abc答案D因为ae5=5ea,a0,同理b0,c0,令f(x)=exx,x0,则f(x)=ex(x-1)x2,当0x1时,f(x)1时,f(x)0,故f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+)上为增函数,因为ae5=5ea,故e55=e
7、aa,即f(5)=f(a),又0a5,故0a1,同理可得 f(4)=f(b),f(3)=f(c),则0b1,0cf(4)f(3),所以f(a)f(b)f(c),所以0abc1.故选D.10.(2022届宁夏期末,7)“a4”是“二次函数f(x)=x2-ax+a有零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A若a4,则=a2-4a=a(a-4)0,故方程x2-ax+a=0有解,即二次函数f(x)=x2-ax+a有零点.若二次函数f(x)=x2-ax+a有零点,则方程x2-ax+a=0有解,则=a2-4a0,解得a4或a0.故“a4”是“二次函数f(
8、x)=x2-ax+a有零点”的充分不必要条件,故选A.11.(2022届黑龙江模拟,11)关于函数f(x)=cos2x-23sinxcosx,有下列命题:对任意x1,x2R,当x1-x2=时,f(x1)=f(x2)成立;f(x)在区间-6,3上单调递增;函数f(x)的图象关于点12,0对称;将函数f(x)的图象向左平移512个单位长度后所得图象与函数y=2sin2x的图象重合.其中正确的命题是()A.B.C.D.答案Cf(x)=cos2x-23sinxcosx=cos2x-3sin2x=2cos2x+3.因为x1-x2=,所以f(x1)=2cos2x1+3=2cos2(x2+)+3=2cos2
9、x2+3=f(x2),故正确;当x-6,3时,2x+30,所以函数f(x)在区间-6,3上单调递减,故错误;f12=2cos212+3=2cos2=0,故正确;将函数f(x)的图象向左平移512个单位长度后得到y=2cos2x+512+3=-2cos2x+6的图象,易知该图象与函数y=2sin2x的图象不重合,故错误.故选C.12.(2022届北京四中10月月考,10)对于函数y=f(x),若存在x0,使得f(x0)=-f(-x0),则称点(x0,f(x0)与点(-x0,f(-x0)是函数f(x)的一对“隐对称点”.若函数f(x)=x2+2x,x0,mx+2,x0的图象存在“隐对称点”,则实数
10、m的取值范围是()A.2-22,0)B.(-,2-22C.(-,2+22D.(0,2+22答案B由“隐对称点”的定义可知,f(x)=x2+2x,x0,mx+2,x0的图象上存在关于原点对称的点,设函数g(x)的图象与函数y=x2+2x,x0,则-x0),故原问题等价于关于x的方程mx+2=-x2+2x有正根,故m=-x-2x+2,而-x-2x+2=-x+2x+2-2x2x+2=2-22,当且仅当x=2时,取得等号,所以m2-22,故实数m的取值范围是(-,2-22,故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021海淀一模,11)已知函数f(x)=x3+ax.若曲线y=f
11、(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为2,则实数a的值是.答案-1解析由题意得f(x)=3x2+a,所以f(1)=3+a=2,从而得a=-1.14.(2022届广西北海模拟,15)函数f(x)=(1+3tanx)cosx的最小值为.答案-2解析f(x)=(1+3tanx)cosx=cosx+3sinx=2sinx+6x2+k,kZ,sinx+6-1,1,f(x)=2sinx+6-2,2,函数f(x)=(1+3tanx)cosx的最小值为-2.15.(2018北京文,14,5分)若ABC的面积为34(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;ca的取值范围是.答案3;(2,+)解析依题意有12a
12、csinB=34(a2+c2-b2)=342accosB,则tanB=3,0B2,又A0,0A6,则0tanA3,故ca12+323=2.故ca的取值范围为(2,+).16.(2021四川南充二模,16)设函数f(x)=x+e|x|e|x|的最大值为M,最小值为N,下述四个结论:M+N=4;M-N=2e;MN=1-1e2;MN=e-1e+1.其中所有正确结论的序号是.答案解析f(x)=1+xe|x|,设g(x)=xe|x|,可知g(x)为奇函数,其最大值和最小值互为相反数,当x0时,g(x)=xex,g(x)=1-xex,当0x1时,g(x)单调递减,可知x=1时,g(x)取得极大值1e,也为
13、最大值,由g(x)为奇函数可知,当x0时,g(x)的最小值为-1e,则M=1+1e,N=1-1e,则M-N=2e,M+N=2,MN=1-1e2,MN=e+1e-1.故答案为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(一)必做题17.(2021湘豫名校联盟4月联考,17)在ABC中,已知内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsinA=acosB-6.(1)求B;(2)若c=5,b=7,求ABC的周长.解析(1)由bsinA=acosB-6及正弦定理,得sinBsinA=sinAcosB-6,因为sinA0,所以sinB=cosB-6,即sinB=32cosB+12si
14、nB,即sinB-3=0,由于0B,所以-3B-36.635,所以有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关.(2)用分层随机抽样的方法随机抽取10人,有2人不适应寄宿生活,8人适应寄宿生活,所以随机变量X的可能取值是0,1,2,P(X=0)=C82C102=2845,P(X=1)=C81C21C102=1645,P(X=2)=C22C102=145,所以随机变量X的分布列为X012P28451645145数学期望E(X)=02845+11645+2145=25.20.(2021河南尖子生诊断性考试,21)已知函数f(x)=ex-ax2(其中e为自然对数的底数,a为常数).(1)若f(x
15、)在(0,+)上有极小值0,求实数a的值;(2)若f(x)在(0,+)上有极大值M,求证:Ma.解析(1)f(x)=ex-2ax.设f(x0)=0(x0(0,+),则f(x0)=0.由ex0-ax02=0,ex0-2ax0=0,解得x0=2,a=e24.经检验,a=e24满足f(x)在(0,+)上有极小值,且极小值为0.故a=e24.(2)证明:设f(x)在(0,+)上的极大值点为x1,则f(x1)=0,即ex1-2ax1=0,则有a=ex12x1.此时M=f(x1)=ex1-ax12.故M-a=ex1-ax12-a=ex1-a(x12+1)=ex1-(x12+1)ex12x1=ex11-12
16、x1+1x10(当且仅当x1=1时取等号).而当x1=1时,a=e2,f(x)=ex-ex,f(x)=ex-e,x(0,1)时,f(x)0.则f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,且f(1)=0.则f(x)f(1)=0,故f(x)在(0,+)上单调递增,此时f(x)在(0,+)上无极值.与已知条件矛盾,故x11,则M-a0,即M3)的左,右顶点,Q为椭圆E的上顶点,AQQB=1.(1)求椭圆E的方程;(2)已知动点P在椭圆E上,定点M-1,32,N1,-32.求PMN的面积的最大值;若直线MP与NP分别与直线x=3交于C,D两点,问:是否存在点P,使得PMN与PCD的面积相等
17、?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.解析(1)由题意得A(-a,0),B(a,0),Q(0,3),则AQ=(a,3),QB=(a,-3),由AQQB=1,得a2-3=1,解得a=2,所以椭圆E的方程为x24+y23=1.(2)设P(2cos,3sin),易知直线MN:y=-32x,即3x+2y=0,点P到直线MN的距离d=|6cos+23sin|13=43sin+31343913,又|MN|=13,则SPMN=12|MN|d23,即(SPMN)max=23.设P(x0,y0),由知|MN|=13,点P到直线MN的距离d1=|3x0+2y0|13,则SPMN=12|MN|d1=12|3
18、x0+2y0|.直线MP:y=y0-32x0+1(x+1)+32,令x=3,可得C3,4y0-6x0+1+32;直线PN:y=y0+32x0-1(x-1)-32,令x=3,可得D3,2y0+3x0-1-32,则|CD|=(3x0+2y0)(x0-3)x02-1,又P到直线CD的距离d2=|3-x0|,则SPCD=12|CD|d2=123x0+2y0x02-1(3-x0)2,PMN与PCD的面积相等,12|3x0+2y0|=123x0+2y0x02-1(3-x0)2,故3x0+2y0=0(舍)或|x02-1|=(3-x0)2,解得x0=53,代入椭圆方程得y0=336,故存在点P满足题意,点P的
19、坐标为53,336或53,-336.(二)选做题(从下面两道题中选一题做答)22.(2021郑州一中周练(二),22)已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为3,3,曲线C的极坐标方程为=2cos-3.(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;(2)若Q为曲线C上的动点,求PQ的中点M到直线l:cos+2sin=23的距离的最小值.解析(1)点P的直角坐标为32,332.由=2cos-3得2=cos+3sin,将2=x2+y2,cos=x,sin=y代入,整理可得曲线C的直角坐标方程为x-122+y-322=1.(2)直线l:cos+2sin=
20、23的直角坐标方程为x+2y-23=0.设点Q的直角坐标为12+cos,32+sin,则M1+cos2,3+sin2,所以点M到直线l的距离d=1+cos2+23+sin2-2312+22=|2+cos+2sin|25=|2+5sin(+)|25,其中tan=12.所以点M到直线l:cos+2sin=23的距离的最小值为0.23.(2021山西运城月考,23)已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)解不等式f(x)6;(2)记函数g(x)=f(x)+|x+1|的最小值为m,若a,b,cR,且a+2b+3c-m=0,求a2+b2+c2的最小值.解析(1)f(x)=-3x,x-1,-x+
21、2,-1x12,3x,x12.当x-1时,令f(x)6,解得x-2,则-2x-1;当-1x12时,令f(x)6,解得x-4,则-1x12;当x12时,令f(x)6,解得x2,则12x2.所以-2x2.故f(x)6的解集为-2,2.(2)g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+2|x+1|=|2x-1|+|2x+2|2x-1-(2x+2)|=3,当且仅当(2x-1)(2x+2)0时取“=”,m=3,a+2b+3c=3.由柯西不等式得(a2+b2+c2)(12+22+32)(a+2b+3c)2=9,整理得a2+b2+c2914,当且仅当a1=b2=c3,即a=314,b=37,c=914时“=”成立,故a2+b2+c2的最小值是914.11
