1、期末高分必刷解答题20题1（2021福建省长乐华侨中学高一期末）设全集为R，集合Px|3x13，非空集合Qx|a1x2a5，（1）若a10，求PQ； ；（2）若，求实数a的取值范围2（2021全国高一期末）设全集，集合，非空集合，其中（1）当时，求；（2）若命题“，”是真命题，求实数a的取值范围3（2021安徽池州市江南中学高一期末）已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，成立，求实数的取值范围.4（2021江苏省镇江中学高一期末）化简：（1）（2）；519佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器生产这种机器的月固定成
2、本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足台时，（万元）；当月产量不小于台时，（万元）若每台机器售价万元，且当月生产的机器能全部卖完（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润6（2021上海徐汇高一期末）设函数（）.（1）指出在上的单调性，并证明你的结论；（2）若在上有解，求的取值范围.7（2021河北邯郸高一期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）若对所有，恒成立，求实数的取值范围.8（2021江西九江高一期末）定义在上的函数满足：；当时，；对任意实数，都有.（1）证明：当时，；
3、（2）判断在上的单调性；（3）解不等式.9（2021湖南新邵高一期末）已知函数，其中.（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；（2）若函数的最小值为，求的值.10（2021内蒙古赤峰高一期末（文）甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产百台的生产成本为万元（总成本固定成本生产成本），销售收入，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数的解析式（利润销售收入总成本）；（2）甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？11（2021江苏如皋高一期末）已知函数是定
4、义在R上的奇函数.（1）求a的值；（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；（3）是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.12（2021江苏西安交大苏州附中高一期末）已知函数，是偶函数.（1）求的值；（2）若对于任意恒成立，求的取值范围；（3）若函数，是否存在实数使得的最小值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.13（2021广东揭西高一期末）已知函数.（）求的最小正周期； （）若在区间上的最大值为，求的最小值.14（2021黑龙江哈尔滨市呼兰区第一中学校高一期末）已知.（1）化简；（2）若，且，求的值15（2021浙江
5、省杭州第二中学高一期末）已知函数（I）求函数最小正周期和最小值；（）将函数的图象向左平移个单位长度，得到图象若对任意，当时，都有成立，求实数的最大值16（2021浙江高一期末）已知函数（1）若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将向左平移个单位，得到函数图象，求函数的解析式；（2）设，则是否存在实数，满足对于任意，都存在，使得成立？17（2021浙江高一期末）已知函数，.（1）若函数在上有零点，求的取值范围；（2）若对任意的，总存在，使得，求的取值范围.（3）设，记为函数在上的最大值，求的最小值.18（2021浙江浙江高一期末）定义在R上的函数，当时，；，且对任意的，有（
6、1）求证：；（2）求证：对任意的，恒有；（3）当，不等式恒成立，求a的取值范围19（2021上海上外浦东附中高一期末）已知函数（1）当，时，解关于的方程；（2）若函数是定义在上的奇函数，求函数解析式；（3）在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值20（2021江西南昌市八一中学高一期末）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象上每一点的横坐标伸长原来的两倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若方程在上有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围，并求的值.5原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考
7、答案1（1），；（2） .【分析】（1）把的值代入求出集合，再由交集、补集的运算求出，；（2）由得，再由子集的定义列出不等式组，求出的范围【详解】（1）当时，又集合，所以，或，则；（2）由得， 因为，则，解得，综上所述：实数的取值范围是.2（1）（2）【分析】（1）首先求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得；（2）首先求出，依题意可得，即可得到不等式，解得即可；（1）解：不等式，化简得当时，集合，（2）解：由（1）知，命题“，”是真命题，解得：实数a的取值范围是3（1）；（2）.【分析】（1）结合一元二次不等式的解集、一元二次方程的根的关系列方程，由此求得的值.（2）对分成可两种情况进行分类
8、讨论，结合判别式求得的取值范围.【详解】（1）关于的不等式的解集为，和1是方程的两个实数根，代入得，解得；（2）当时，不等式为，满足题意；当时，应满足，解得；综上知，实数的取值范围是.4（1）（2）2【分析】（1）利用分数指数幂进行计算；（2）利用对数运算公式和换底公式进行计算.（1）（2）5（1）；（2）当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元【分析】（1）由给定函数模型结合即可得解；（2）分段讨论，结合二次函数的性质及基本不等式即可得解.【详解】解：（1）当时，；当时，；（2）当时，当时，取最大值1200万元；当时，当且仅当时取等号；又，所以当月产量为80台时，该企
9、业能获得最大月利润，其利润为1500万元答：当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元6（1）单调递减，证明见解析（2）【分析】（1）利用单调性的定义法进行证明即可（2）利用参变分离法，使得问题转化为有解，进而利用的单调性求解即可（1）在上单调递减，证明如下：，取，则，则，得，所以，在上单调递减（2）若在上有解，则有有解，整理得，又在上单调递减，在上必有，在上必有，由在上有解，可得【点睛】关键点睛：本题的难点在于利用参变分离法进行化简求解，参变分离后，利用函数的单调性求解不等式的有解问题即可，属于基础题7（1）（2）【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；（2）由
10、二次函数的性质可得函数的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数的取值范围（1）因为函数为定义域上的奇函数，所以，当时，所以，因为是奇函数，所以，所以，所以（2）作出在区间上的图象，如图：可得函数在上为减函数，所以的最小值为，要使对所有，恒成立，即对所有恒成立，令，则，即，可得：，所以实数的取值范围是.8（1）证明见解析；（2）在上是增函数；（3）.【分析】（1）赋值法可直接求出结果；（2）利用单调性得定义即可判断；（3）根据题意原不等式等价于，然后利用函数得单调性解不等式即可.【详解】（1）令，则，又，所以.当时，在中，令，则，所以，又因为时，故.（2）设，且，则，所以
11、且.于是，故在上是增函数.（3）由题意知，所以原不等式等价于.由（2），在上是增函数得到，故此不等式的解集是.9（1）定义域为，为偶函数；（2）.【分析】（1）根据对数的真数为正数求得的定义域.利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性.（2）由时取得最小值列方程，从而求得的值.【详解】（1）且，函数的定义域为，所以为偶函数.（2），（），取得最大时取得最小值.时，取得最大值，.10（1）；（2）当甲厂生产百台时，可使盈利最多.【分析】（1）分、两种情况，根据利润销售收入总成本可得出利润函数的解析式；（2）分、两种情况求的最大值和取值范围，即可得出结论.【详解】（1）当时，当时，故；（2）当时，此时（万
12、元），当时，函数单调递减，则.综上所述，当甲厂生产百台时，可使盈利最多.11（1）；（2）是R上的增函数，证明见解析；（3）存在；实数k的取值范围是.【分析】（1）根据奇函数的性质，求出a的值，再利用奇函数的定义进行验证即可；（2）运用函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断函数的单调性，最后根据单调性的性质，通过解一元二次不等式进行求解即可；（3）根据（2），通过函数的单调性的性质，结合换元法，一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】解：（1）是定义在R上的奇函数，从而得出，时，； （2）是R上的增函数，证明如下：设任意，且，是在上是单调增函数.，又是定义在R上的奇函数且在上单
13、调递增，；（3）假设存在实数k，使之满足题意，由（2）可得函数在上单调递增，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，令，即方程有两个不等的正根， 于是有且且，解得：.存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.【点睛】本题考查了函数单调性的判断和性质应用，考查了奇函数的性质，考查了数学运算能力.12（1）；（2）；（3）存在，.【分析】（1）由，化简可得，对任意恒成立，从而可得；（2）对任意的成立，即，求出的最小值即可得结果；（3）化简得，令，则，分类讨论，利用二次函数的单调性，分别求出最小值，令其为零，解方程即可的结果.【详解】（1）函数，是偶函数则满足所以即所以 解得（
14、2）由（1）可知，对于任意恒成立代入可得所以对于任意恒成立令因为所以由对数的图像与性质可得所以（3），且代入化简可得令，因为，所以则当，即时，在上为增函数，所以，解得，不合题意，舍去当，即时，在上为减函数，在上为增函数，所以，解得，所以当，即时， 在上为减函数，所以解得不合题意，舍去，综上可知，.【点睛】方法点睛：本题主要考查利用奇偶性求函数解析式、考查指数函数、对数函数以及二次函数的性质，考查了转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求
15、解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.13（） ；（）.【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.【详解】（），所以的最小正周期为.（）由（）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.14（1）；（2）.【分析】（1）由诱导公式运算即可得解；（2）由平方关系可得，再由即可得解.【详解】（1）由诱导公式；（2）由可知，
16、又，即，.15（I）.（） .【分析】（I）先将函数解析式整理，得到，根据正弦函数的周期，即可求出函数 的最小正周期；再由正弦函数的取值范围，即可求出函数的最小值；（）记，根据题中条件，先判断 在上是增函数；再由题中条件，得到函数的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求出结果.【详解】（I），所以的最小正周期为，当时，函数 的最小值为.（）因为对任意，当时，都有，即，记，即，所以在上是增函数.又.所以，令，求得.故的单调增区间为， ，所以实数的最大值为.【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，涉及到函数的平移，利用构造函数的思想，求正弦型函数的单调区间，以及利用单调性求
17、参数是解决本题的关键.16（1）；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）利用两角和与差的三角恒等变换公式化简函数的解析式，再通过图像变换得到函数的解析式；（2）通过对任意，存在，分别求出两个函数的值域，利用的值域是值域的子集，列出不等式求解即可【详解】（1）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再向左平移个单位，得到函数所以函数的解析式为：（2），即；又，即假设存在实数，满足对任意，都存在，使得成立，则的值域是值域的子集，即则，此方程组无解，故满足题意得实数不存在.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成
18、立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集 17（1）；（2）；（3）.【分析】（1）令，则可得在上为减函数，所以由零点存在性定理可知，从而可求出的取值范围；（2）将问题转化为函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集，所以先求出在上的函数值的取值集合为，再分，和三种情况求出函数的值域，然后列不等式组可得结果；（3）的对称轴为，所以当或时，在上单调递增，则，当时，即，从而可求出的最小值.【详解】解：（1）因为函数的图象的对称轴是直线，所以在上为减函数.又在上存在零点，所以，解得故的取值范围为（2）若对任意的，总存在，使得，则函数在上
19、的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.函数图象的对称轴是直线，所以在上的函数值的取值集合为当时，不符合题意，舍去.当时，在上的值域，只需，解得当时，在上的值域为，只需，无解.综上，的取值范围为（3）当或时，在上单调递增，则；当时，解，得，故当，综上，于是的最小值为【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，考查二次函数的性质的应用，考查不等式恒成立问题，考查数学转化思想和分类讨论思想，第2问解题的关键是将问题转化为函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集，然后求两函数的值域即可，第3问解题的关键是由于的对称轴为，所以分或，求出函数的最值即可，属于较难题18
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）令，可证得；（2）只需证当时，即可；（3）先用定义证明函数在上是增函数，结合单调性把不等式转化之后再分离变量求最值.【详解】（1）证明： 令，由得，又，所以.（2）由题设知：时，；由（1）知：，所以，要证时，只需证当时，.令，由得，当时，则，从而.综上可知，对任意时，恒有.（3）先用定义证明函数在上是增函数. 任取，且，则，所以，又， 所以， 从而，在上是增函数. 由可得， 所以， 又，所以，上式又等价于. 令，则. ， 令，得，或（舍）. 当时，递增；当时，递减. 所以，故 即的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键点在
21、于：先用定义证明函数在上是增函数.19（1）；（2）；（3）.【分析】（1）将，代入，可转化为关于的二次方程，解方程进而可得的值；（2）利用奇函数的性质直接求解；（3）化简可得，代入不等式分离参数，转化为函数求最值，利用换元法及基本不等式直接求最值.【详解】（1）当，时，即，解得：或（舍去），；（2）若函数是定义在上的奇函数，则，即即恒成立，解得：，或，经检验，满足函数的定义域为，（3）当时，函数满足，则不等式恒成立，即恒成立即恒成立，设，则，即，恒成立，由平均值不等式可得：当时，取最小值故，即实数m的最大值为【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误20（1），（2），【分析】(1)利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得的单调增区间；(2)由函数的图像伸缩变换求得的解析式，再利用正弦函数化简，求出m的取值范围，再利用对称性求出的值.【详解】（1）因此的最小正周期为，由，解得的单调递增区间为：，.（2）由题意得，则方程可化简为即由图像可知，方程在上要有两个不相等的实数解，即，并且，25原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
