1、专题六解析几何第一讲直线和圆小题备考微专题1直线的方程及应用常考常用结论1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2直线方程常用的三种形式(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为yy0k(xx0)(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为ykxb.(3)一般式：AxByC0(A2B20)3两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离dC1-C2A2+B2.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离公式dAx0+By
2、0+CA2+B2.保分题1.2022山东潍坊二模已知直线l1：x3y0，l2：xay20，若l1l2，则a()A13 B13C3 D322022湖南常德一模已知直线l1：ax4y30，l2：xay10，则“a2”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件32022山东济南二模过xy2与xy0的交点，且平行于向量v(3，2)的直线方程为()A3x2y10 B3x2y50C2x3y10 D2x3y10提分题例1 2022江苏海安二模(多选)已知直线l过点(3，4)，点A(2，2)，B(4，2)到l的距离相等，则l的方程可能是()Ax2y20 B2xy20C
3、2x3y180 D2x3y60听课笔记：技法领悟1设直线的方程时要注意其使用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况2已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况巩固训练12022山东临沂三模数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线已知ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(4，0)，则其欧拉线方程为_微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆 常考常用结论1圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa
4、)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.(r0)(2)圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以-D2，-E2为圆心，D2+E2-4F2为半径的圆2直线与圆的位置关系直线l：AxByC0(A2B20)与圆：(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系如表方法几何法代数法位置关系根据dAa+Bb+CA2+B2与r的大小关系判断Ax+Bx+C=0x-a2+y-b2=r2r0消元得一元二次方程，根据判别式的符号判断相交d0相切dr0相离dr0)，圆C2：(xa2)2(yb2)2r22(r20)，位置关系方法几何法：圆心距d与r1、r2的关系代数法：两圆方程联立
5、组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程；(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求保分题1.2022河北石家庄一模与直线x2y10垂直，且与圆x2y21相切的直线方程是()A2xy50或2xy50B2xy50或2xy50C2xy50或2xy50D2xy50或2xy5022022北京卷若直线2xy10是圆(xa)2y21的一条对称轴，则a()
6、A12B12C1 D132022湖北十堰三模当圆C：x2y24x2ky2k0的面积最小时，圆C与圆D：x2y21的位置关系是_提分题例2 (1)2022新高考卷设点A(2，3)，B(0，a)，若直线AB关于ya对称的直线与圆(x3)2(y2)21有公共点，则a的取值范围是_(2)2022山东临沂二模若圆C1：x2y21与圆C2：(xa)2(yb)21的公共弦AB的长为1，则直线a2x2b2y30恒过定点M的坐标为_听课笔记：【技法领悟】1圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以
7、先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程2与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理3两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程巩固训练21.2022福建德化模拟已知点A(2，0)，直线AP与圆C：x2y26x0相切于点P，则ACCP的值为()A15 B9C9 D1522022广东梅州二模已知直线l：ykx与圆C：x2y26x50交于A、B两点，若ABC为等边
8、三角形，则k的值为()A33B22C33D22微专题3有关圆的最值问题 常考常用结论1与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离2与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如y-bx-a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题3与距离最值有关的常见的结论(1)圆外一点A到
9、圆上距离最近为|AO|r，最远为|AO|r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；(3)直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离dr，最小为dr；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积(5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离4与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解
10、保分题1.圆x2y22x80截直线ykx1(kR)所得的最短弦长为()A27 B22C43 D222022辽宁抚顺一模经过直线y2x1上的点作圆x2y24x30的切线，则切线长的最小值为()A2 B3C1 D532022辽宁辽阳二模若点P，Q分别为圆C：x2y21与圆D：(x7)2y24上一点，则|PQ|的最小值为_提分题例3 (1)2022广东汕头一模点G在圆(x2)2y22上运动，直线xy30分别与x轴、y轴交于M、N两点，则MNG面积的最大值是()A10 B232C92D212(2)2022山东泰安三模(多选)已知实数x，y满足方程x2y24x2y40，则下列说法正确的是()Ayx的最大
11、值为43Byx的最小值为0Cx2y2的最大值为51Dxy的最大值为32听课笔记：技法领悟1要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误2要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误巩固训练31.2022北京昌平二模已知直线l：axy10与圆C：(x1)2y24相交于两点A，B，当a变化时，ABC的面积的最大值为()A1 B2C2 D2222022辽宁鞍山二模(多选)已知M为圆C：(x1)2y22上的动点，P为直线l：xy40上的动点，则下列结论正确的是()A直线l与圆C相切B直线l与圆C相离C|PM|的最大值为322D|PM|的最小值为22专题六解析几何第一讲直线和圆微专题1直线的
12、方程及应用保分题1解析：l1l2，13(1a)1a13.答案：A2解析：若l1l2，则有a240，解得a2，当a2时，l1：2x4y30，l2：x2y10，l1l2，当a2时，l1：2x4y30，l2：x2y10，l1l2，所以若l1l2，a2，则“a2”是“l1l2”的充分不必要条件答案：A3解析：由x-y=0x+y=2，得x1，y1，所以交点坐标为(1，1)，又因为直线平行于向量v(3，2)，所以所求直线方程为y123(x1)，即2x3y10.答案：C提分题例1解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x3，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，此时不成立；当直线l的斜率存
13、在时，设直线l的方程为y4k(x3)，即kxy43k0，点A(2，2)，B(4，2)到直线的距离相等，-2k-2+4-3kk2+14k+2+4-3kk2+1，解得k23，或k2，当k23时，直线l的方程为y423(x3)，整理得2x3y180，当k2时，直线l的方程为y42(x3)，整理得2xy20.综上，直线l的方程可能为2x3y180或2xy20.答案：BC巩固训练1解析：设ABC的重心为G，垂心为H，由重心坐标公式得x0+2+-4323，y0+4+0343，所以G(23，43)由题，ABC的边AC上的高线所在直线方程为x0，直线BC：yx4，A(2，0)，所以ABC的边BC上的高线所在直
14、线方程为yx2，所以x=0y=-x+2H(0，2)，所以欧拉线GH的方程为y22-430-23x，即xy20.答案：xy20微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆保分题1解析：由题得直线x2y10的斜率为12，所以所求的直线的斜率为2，设所求的直线方程为y2xb，2xyb0.因为所求直线与圆相切，所以1b4+1，b5.所以所求的直线方程为2xy50或2xy50.答案：C2解析：因为直线2xy10是圆(xa)2y21的一条对称轴，所以直线2xy10经过圆心由圆的标准方程，知圆心坐标为(a，0)，所以2a010，解得a12.故选A.答案：A3解析：由x2y24x2ky2k0，得(x2)2(yk)2k2
15、2k4(k1)23，当k1时，(k1)23取得最小值，此时，圆心坐标为(2，1)，半径为3.因为|CD|22+-125，31531，所以两圆相交答案：相交提分题例2解析：(1)因为kABa-32，所以直线AB关于直线ya对称的直线方程为(3a)x2y2a0.由题意可知圆心为(3，2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以3a-3+4+2a4+3-a21，整理，得6a211a30，解得13a32.(2) 解析：由C1：x2y21和C2：(xa)2(yb)21可得公共弦所在直线方程为x2y2x-a2+y-b20，即2ax2bya2b20，由公共弦AB的长为1可得直线2ax2bya2b20与圆C
16、1：x2y21相交弦长即为1，又圆心到直线的距离-a2-b24a2+4b2a2+b22，故21-a2+b2221，即a2b23，故直线a2x2b2y30，可化为a2x(62a2)y30，整理得a2(x2y)6y30，由x-2y=06y+3=0，解得x=-1y=-12，故定点M的坐标为-1，-12.答案：(1)13，32(2)-1，-12巩固训练21解析：圆C的标准方程为(x3)2y29，圆心为C(3，0)，半径为3，即|CP|3，由圆的几何性质可知APCP，所以，ACCP(AP+PC)CPAPCP-CP2-|CP|29.答案：B2解析：圆C的标准方程为(x3)2y24，圆心为C(3，0)，半径
17、为2，由题意可知，圆心C到直线l的距离为d2sin 33，由点到直线的距离公式可得d3kk2+13，解得k22.答案：D微专题3有关圆的最值问题保分题1解析：直线ykx1过定点(0，1)，圆x2y22x80可化为(x1)2y232，故圆心为(1，0)，半径为r3.(01)212212，所以两圆相离，所以|PQ|的最小值为7124.答案：4提分题例3解析：(1)易知点M(3，0)、N(0，3)，则|MN|32+3232，圆(x2)2y22的圆心坐标为(2，0)，半径为2，圆心到直线xy30的距离为-2-0-32522，所以，点G到直线xy30的距离的最大值为522+2722，所以，MNG面积的最
18、大值是1232722212.(2)由实数x，y满足方程x2y24x2y40可得点(x，y)在圆(x2)2(y1)21上，作其图象如下，因为yx表示点(x，y)与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线OB方程为ykx，则圆心(2，1)到直线OB的距离d2k-1k2+11，解得：k0或k43，yx0，43，(yx)max43，(yx)min0，A，B正确；x2y2表示圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|1，所以x2y2的最大值为(|OC|1)2，又|OC|22+12，所以x2y2的最大值为625，C错，因为x2y24x2y40可化为(x
19、2)2(y1)21，故可设x2cos ，y1sin ，所以xy2cos 1sin 32sin (4)，所以当4时，即x222，y122时xy取最大值，最大值为32，D对答案：(1)D(2)ABD巩固训练31解析：因为直线l：axy10恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C：(x1)2y24的圆心C(1，0)，r2，所以ABC的面积的最大值为：S12|CA|CB|sin ACB12r2sin ACB12r21242.2解析：圆C：(x1)2y22的圆心C(1，0)，半径r2，圆心C(1，0)到直线l：xy40的距离d-1-0+412+-12322r，直线l与圆C相离，A不正确，B正确；|PM|PC|rdr22，C不正确，D正确答案：BD
