1、第14讲函数与方程1函数零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)三个等价关系(3)存在性定理2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点x1，x2x1无 考点1 判断函数零点所在的区间名师点睛确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理法：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图像是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与
2、x轴在给定区间上是否有交点来判断典例1（2022天津红桥一模）函数的零点所在的区间是（）ABCD2（2022全国高三专题练习）设，则在下列区间中函数不存在零点的区间是（）ABCD举一反三1（2022全国高三专题练习）函数的零点所在的一个区间是（）ABCD2（2022江苏高三专题练习）函数的零点所在区间为（）ABCD3（2022浙江高三专题练习）函数的零点所在的一个区间是（）ABCD4（2022全国高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表：-3-2-1012346-4-6-6-46可以判断方程的两根所在的区间是（）A和B和C和D和 考点2 判断函数零点的个数名师点睛判断函数零点个数的方法(1)直
3、接求零点：令f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点(2)利用函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点(3)拆分成两个函数，画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，原函数就有几个不同的零点典例1.（2022全国模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（）A4B5C6D72.（2022湖南衡阳二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，已知，则函数在上的零点个数为（）A4个B5个C3个或4个D4个或5个3（2021北京高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
4、若，恰 有2个零点；存在负数，使得恰有个1零点；存在负数，使得恰有个3零点；存在正数，使得恰有个3零点其中所有正确结论的序号是_举一反三1（2022海南模拟预测）函数的零点个数为（）A0B1C2D32（2022重庆模拟预测）若函数满足，且当时，则函数与函数的图像的交点个数为（）.A18个B16个C14个D10个3（2022重庆西南大学附中模拟预测）函数满足，当时，则关于x的方程在上的解的个数是（）A1010B1011C1012D1013 考点3 函数零点的应用名师点睛1已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(或不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函
5、数的最值2已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图像的交点问题，需准确画出两个函数的图像，利用图像写出满足条件的参数范围典例1（2022天津滨海新高三阶段练习）已知函数若函数（）恰有个零点，分别为，且，则的取值范围是（）ABCD2（2022全国高三专题练习）已知函数，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为（）ABCD3（2022重庆模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（）ABCD举一反三1（2022全国高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）ABCD2（2022福建龙岩模拟预测）函数的两个不同的零点均大于的一个充
6、分不必要条件是（）ABCD3（2022浙江高三专题练习）已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是（）AB，C，D，4（多选）（2022湖南岳阳二模）已知函数（），则下列说法正确的是（）A当时，函数有个零点B当时，若函数有三个零点，则C若函数恰有个零点，则D若存在实数使得函数有个零点，则5（多选）（2022全国高三专题练习）已知函数，若方程有三个不同的实数根、，且，则（）ABCD的取值范围是6（多选）（2022辽宁鞍山一中模拟预测）已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（）ABCD7（2022福建南平三模）已知函数有零点，则实数_.8（2022浙江金华三模）设
7、函数，若，则_，若只有一个零点，则a取值范围是_9（2022河北石家庄二模）已知函数，若存在实数.满足，且，则_，的取值范围是_.10（2022全国高三专题练习）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是多少？第14讲函数与方程1函数零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)三个等价关系(3)存在性定理2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点x1，x2x1无 考点1 判断函数零点所在的区间名师点睛确定
8、函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理法：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图像是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断典例1（2022天津红桥一模）函数的零点所在的区间是（）ABCD【答案】C【解析】函数 是上的连续增函数,可得,所以函数 的零点所在的区间是.故选：C2（2022全国高三专题练习）设，则在下列区间中函数不存在零点的区间是（）ABCD【答案】D【解析】为连续函数，根据零点存在性定理可知，内存在零点；，同理可知：区间，区间上都存在零点，区间上
9、没有零点故选：D举一反三1（2022全国高三专题练习）函数的零点所在的一个区间是（）ABCD【答案】B【解析】函数是连续函数，由零点判定定理可知函数的零点在故选：B2（2022江苏高三专题练习）函数的零点所在区间为（）ABCD【答案】C【解析】在上是增函数，又，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在的大致区间是故选：C3（2022浙江高三专题练习）函数的零点所在的一个区间是（）ABCD【答案】B【解析】由题意，函数在R上单调递增，且，所以函数的零点所在的一个区间是.故选：B.4（2022全国高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表：-3-2-1012346-4-6-6-46可以判断方程的两根所
10、在的区间是（）A和B和C和D和【答案】A【解析】由表格可知：，所以，结合零点存在性定理可知：二次函数的零点所在区间为和，所以方程的两根所在的区间是和，故选：A. 考点2 判断函数零点的个数名师点睛判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点(2)利用函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点(3)拆分成两个函数，画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，原函数就有几个不同的零点典例1.（2022全国模拟预测）已知
11、函数，则函数的零点个数为（）A4B5C6D7【答案】D【解析】当时，则；以此类推，当时，；在平面直角坐标系中作出函数与的部分图象如图所示.由图可知，与的图象有7个不同的交点故选：D2.（2022湖南衡阳二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，已知，则函数在上的零点个数为（）A4个B5个C3个或4个D4个或5个【答案】D【解析】因为，所以的周期为2，又因为为奇函数，令，得，又，所以，当时，由单调递减得函数在上单调递增，所以，得，作出函数图象如图所示，由图象可知当过点时，此时在上只有3个零点.当经过点时，此时有5个零点.当时，有4个零点.当经过点时，此时有5个零点.当时，有4个零点.当经过点时，此时
12、在上只有3个零点.当时，有4个零点.所以当时，函数在上有4个或5个零点.故选：D3（2021北京高考真题）已知函数，给出下列四个结论：若，恰 有2个零点；存在负数，使得恰有个1零点；存在负数，使得恰有个3零点；存在正数，使得恰有个3零点其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】对于，当时，由，可得或，正确；对于，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，正确；对于，当直线过点时，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，错误；对于，考查
13、直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，正确.故答案为：.举一反三1（2022海南模拟预测）函数的零点个数为（）A0B1C2D3【答案】C【解析】解:函数的零点个数即函数与的图象交点的个数，作图如图所示，由图可知，两图象有两个交点，故原函数有2个零点故选：C2（2022重庆模拟预测）若函数满足，且当时，则函数与函数的图像的交点个数为（）.A18个B16个C14个D10个【答案】A【解析】因，于是得函数是以2为周期的周期函数，又当时，则有函数与函数都是偶函数，在同一坐标系内作出函数与函数的图像，如图，观察图象得，函数与函数的图像有9个交点，由偶函数的性质知
14、，两函数图象在时有9个交点，所以函数与函数的图像的交点个数为18.故选：A3（2022重庆西南大学附中模拟预测）函数满足，当时，则关于x的方程在上的解的个数是（）A1010B1011C1012D1013【答案】B【解析】解：因为函数满足，所以函数关于点对称，因为，即，所以函数关于直线对称，因为当时，所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：由图可知，函数为周期函数，周期为，由于函数一个周期内，与有2个交点，在上，与有1个交点，所以根据函数周期性可知，当时，与有个交点.所以关于x的方程在上的解的个数是个.故选：B 考点3 函数零点的应用名师点睛1已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方
15、程的根，构建方程(或不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值2已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图像的交点问题，需准确画出两个函数的图像，利用图像写出满足条件的参数范围典例1（2022天津滨海新高三阶段练习）已知函数若函数（）恰有个零点，分别为，且，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】的零点即为函数的图象与直线的交点的横坐标，作出的图象和直线，如图，区间正好是的一个周期，和时取得最大值，因此是它在上的对称轴，由得，所以，它在时是增函数，所以的取值范围是故选：D2（2022全国高三专题练习）已知函数，若关于的方程恰有个不同实数根，
16、则实数的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】设，可得，因为最多有两个实根，若恰有个不同实数根，则恰有三个实根，作出的图象，如图由或可得：或或，且，由即，由可得，由即，由可得，由即，由恒成立，综上所述：，实数的取值范围为，故选：A.3（2022重庆模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】二次函数，对称轴为，开口向上，在上单调递减，在上单调递增，要使二次函数的两个零点都在区间内，需，解得故实数a的取值范围是故选：C举一反三1（2022全国高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】和在上是增函数，在上是
17、增函数，只需即可，即，解得.故选：D.2（2022福建龙岩模拟预测）函数的两个不同的零点均大于的一个充分不必要条件是（）ABCD【答案】B【解析】解：因为函数的两个不同的零点均大于，所以，解得.所以选项A是函数的两个不同的零点均大于的既不充分也不必要条件；选项B是函数的两个不同的零点均大于的充分不必要条件；选项C是函数的两个不同的零点均大于的充要条件；选项D是函数的两个不同的零点均大于的必要不充分条件.故选：B.3（2022浙江高三专题练习）已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是（）AB，C，D，【答案】D【解析】解：函数的图象如图：方程有四个相异的实数根，必须有两个解，一个，
18、一个，或者，另一个，令，则可令，故，即,解得，故，即,解得，综上，故选：D 4（多选）（2022湖南岳阳二模）已知函数（），则下列说法正确的是（）A当时，函数有个零点B当时，若函数有三个零点，则C若函数恰有个零点，则D若存在实数使得函数有个零点，则【答案】ABD【解析】A：时，令，由可得，由可得或，满足题设，正确；B：时，若有三个零点，即与有三个交点，如下图示：，当趋向于0时恒有，当趋向于1时恒有，故B正确；C：同B项中分析的图象，在垂直于x轴的虚线移动过程中，当时恰有个零点，错误；D：同C项分析，要使有个零点，必有，正确；故选：ABD.5（多选）（2022全国高三专题练习）已知函数，若方程有
19、三个不同的实数根、，且，则（）ABCD的取值范围是【答案】ABD【解析】作出函数与函数的图象如下图所示：对于A选项，由图可知，当当时，方程有三个不同的实数根，A正确；对于B选项，由图可知，解得，此时，B正确；对于C选项，当时，；当时，.由图可知，由可得，即，所以，C错误；对于D选项，因为，所以，且，记，则，令，得（舍去），所以当时，当时，所以的极小值也是最小值，所以的取值范围是，D正确.故选：ABD.6（多选）（2022辽宁鞍山一中模拟预测）已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（）ABCD【答案】BCD【解析】令，记的两个零点为，则由的图象可知：方程有5个不同的实根与的
20、图象共有5个交点，且（不妨设）.则解得.故选：BCD7（2022福建南平三模）已知函数有零点，则实数_.【答案】【解析】由可得，当且仅当时取等，又，当且仅当时取等，故，当且仅当，时取等.要使函数有零点，则且，化简得，解得.故答案为：.8（2022浙江金华三模）设函数，若，则_，若只有一个零点，则a取值范围是_【答案】 或 【解析】由题意得所以，解得或.当时，有一个零点，所以只需时，无零点，即方程无实根，即和的图象没有交点，易得，令，得，则，即，解得，又，时，综上：故答案为：或；9（2022河北石家庄二模）已知函数，若存在实数.满足，且，则_，的取值范围是_.【答案】 1 【解析】作出函数的图象，如图，因为，所以由图可知，即，且，在上单调递增，即的取值范围是.故答案为：1；10（2022全国高三专题练习）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是多少？【解】解：关于的方程有4个不同的实数根，令，则，或，故关于的一元二次方程有两个实数根，且这2个实数根大于2或小于.令，若这两个根都大于2，则由，求得.若这两个根都小于，则由，求得若这两个根一个大于2，另一个小于，则由，可得.综上可得，的范围为，.
