1、第11讲 指数与指数函数1根式(1)根式的概念若 ，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数a的n次方根的表示：xna(2)根式的性质()na(nN*，且n1)2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 (2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；ars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yax(a0且a1)a10a0时，y1；当x
2、0时，0y0时，0y1；当x1在R上是增函数在R上是减函数 考点1 指数幂的运算名师点睛1对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序2当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数3运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数典例1（2022全国高三专题练习）（1）计算；（2）若，求的值2（2022全国高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)（1）； （2）；（3）； （4）.举一反三1（2022全国高三专题练习）计算：.2（2022全国高三专题练习）（1）计算：；（
3、2）化简：.3（2022全国高三专题练习）已知，求下列各式的值（1）；（2）；（3）.4（2022全国高三专题练习）已知，求的值5（2022全国高三专题练习）分别计算下列数值：（1）；（2）已知，求.6（2022全国高三专题练习）化简：（1） （2）(a0，b0).（3）. 考点2 指数函数的图象及应用名师点睛1对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论2有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解典例1（2022浙江宁波诺丁汉附中模拟预测）函数（且）的图象如图
4、所示，则（）ABCD2（2022北京高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（）ABCD举一反三1（2022全国高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（）ABCD2（多选）（2022全国高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（）ABCD 考点3 指数函数的性质及其应用名师点睛1比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小2指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化3涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的
5、构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断典例1（2022天津河西一模）设，则a，b，c的大小关系为（）ABCD2（多选）（2022全国高三专题练习）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（）ABCD3（2022辽宁建平县实验中学模拟预测）已知函数，则不等式的解集为_.4（2022北京高三专题练习）设是定义在上的偶函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（）ABCD5（2022重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数是奇函数，是偶函数.（1）求和的值；（2）设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.举一反三1（2022天津一模）
6、设，则的大小关系为（）ABCD2（2022山西吕梁二模）已知，则（）ABCD3（2022全国高三专题练习）已知函数在处取得最小值，且，则实数的取值范围（）ABCD4（2022上海市进才中学高三期中）设函数，若存在使不等式成立，则实数a的取值范围为_.5（2022全国高三专题练习）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是_6（2022全国高三专题练习）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_7（2022全国高三专题练习）已知函数（且）是定义在R上的偶函数，且.（1）求的解析式；（2）若函数在上的最小值是1，求m的值.8（2022全国高三专题练习）已知函数且（1）求的值；（2）若函数有零点，求
7、实数的取值范围（3）当时，恒成立，求实数的取值范围9（2022北京高三专题练习）定义在上的函数，如果满足:对任意存在常数都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数请说明理由（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围第12讲 指数与指数函数1根式(1)根式的概念若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示：xna(2)根式的性质()na(nN*，且n1)2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：
8、a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；ars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yax(a0且a1)a10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1在R上是增函数在R上是减函数 考点1 指数幂的运算名师点睛1对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序2当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数3运算结果不
9、能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数典例1（2022全国高三专题练习）（1）计算；（2）若，求的值【解】（1）0.3136+33+136+27+15（2）若，x26，x4，x2+x2+216，x2+x2142（2022全国高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)（1）； （2）；（3）； （4）.【解】（1）原式 ；（2）原式；（3）原式；（4）原式.举一反三1（2022全国高三专题练习）计算：.【解】，.2（2022全国高三专题练习）（1）计算：；（2）化简：.【解】（1）原式；（2）原式.3（2022全国高三专题练习）已知，求下列各式的值（1）；（2）；（3）.【解
10、】（1）将两边平方得，所以（2）将两边平方得，所以（3）由（1）（2）可得4（2022全国高三专题练习）已知，求的值【解】设，则，所以，于是，而，将平方得，于是，所以原式.5（2022全国高三专题练习）分别计算下列数值：（1）；（2）已知，求.【解】（1）原式，（2），又，.6（2022全国高三专题练习）化简：（1） （2）(a0，b0).（3）.【解】（1）原式 （2）原式.（3）原式. 考点2 指数函数的图象及应用名师点睛1对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论2有关指数方程、不等式
11、问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解典例1（2022浙江宁波诺丁汉附中模拟预测）函数（且）的图象如图所示，则（）ABCD【答案】D【解析】因为，由图得，所以，所以排除AB，因为由图象可知当时，所以，所以排除C，故选：D2（2022北京高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（）ABCD【答案】B【解析】因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.另解：因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点.故选：B举一反三1（2022全国高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【解析
12、】当时，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.故选：D2（多选）（2022全国高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（）ABCD【答案】AC【解析】解：令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；故选：AC 考点3 指数函数的性质及其应用名师点睛1比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小2指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的
13、单调性进行转化3涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断典例1（2022天津河西一模）设，则a，b，c的大小关系为（）ABCD【答案】D【解析】由指数函数的性质，可得，所以，根据对数的运算性质，可得，所以，由，所以，即，所以.故选：D2（多选）（2022全国高三专题练习）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（）ABCD【答案】BC【解析】当时，函数在区间上为单调递增函数，当时，当时，所以，即，解得或，因为，所以；当时，函数在区间上为单调递减函数，当时，当时，所以，即，
14、解得或，因为，所以.综上可得，实数的值为或.故选：BC3（2022辽宁建平县实验中学模拟预测）已知函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】当时，在上单调递增，又，恒成立；当时，又，恒成立；当时，；恒成立；当时，解得：，；综上所述：不等式的解集为.故答案为：.4（2022北京高三专题练习）设是定义在上的偶函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且当时，则当时，故对任意的，对任意的，不等式恒成立，即，即对任意的恒成立，且为正数，则，可得，所以，可得.故选：A.5（2022重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数是奇函数，是偶
15、函数.（1）求和的值；（2）设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【解】解：（1）因为函数是奇函数，所以得，则，经检验是奇函数. 又是偶函数，所以得，则，经检验是偶函数，.（2），则由已知得，存在，使不等式成立，因为，易知单调递增，.所以，又，解得，所以.举一反三1（2022天津一模）设，则的大小关系为（）ABCD【答案】C【解析】，；，；.故选：C.2（2022山西吕梁二模）已知，则（）ABCD【答案】B【解析】因为函数单调递减，故.因为，所以.又，所以.综上，故选B.3（2022全国高三专题练习）已知函数在处取得最小值，且，则实数的取值范围（）ABCD【答案】C【解析】由函数在处取得
16、最小值得，则且当时，又，所以，得又，所以，即，整理得，解得综上，.故选：C4（2022上海市进才中学高三期中）设函数，若存在使不等式成立，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】解：由，得，两边同除，即，又，当且仅当，即时取等号,所以，所以.故答案为：5（2022全国高三专题练习）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是_【答案】【解析】函数的定义域为，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数，原不等式可化为，所以，解得，故的取值范围是故答案为：6（2022全国高三专题练习）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意得：有解令有解，即有解，显然无意义,当且仅当，即时
17、取等，故答案为：.7（2022全国高三专题练习）已知函数（且）是定义在R上的偶函数，且.（1）求的解析式；（2）若函数在上的最小值是1，求m的值.【解】（1）因为函数是定义在R上的偶函数，所以，整理得，所以，又因为，可得，所以或，所以.（2）由（1）可知令，则.因为函数在上是增函数，所以，因为函数上的最小值是1，所以函数在上的最小值是1.当时，解得或（舍去）；当时，不合题意，舍去.综上，.8（2022全国高三专题练习）已知函数且（1）求的值；（2）若函数有零点，求实数的取值范围（3）当时，恒成立，求实数的取值范围【解】解：（1）对于函数，由，解得，故（2）若函数 有零点，则函数的图象和直线有交点，解得（3）当时，恒成立，即恒成立令，则，且由于 在上单调递减，即9（2022北京高三专题练习）定义在上的函数，如果满足:对任意存在常数都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数请说明理由（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.【解】（1）当时， 令由，可得，令，有，可得函数的值域为故函数在上不是有界函数;（2）由题意有，当时，可化为必有且，令，由，可得，由恒成立，可得， 令，可知函数为减函数，有，由恒成立，可得故若函数在上是以为上界的有界函数，则实数的取值范围为
