1、常用逻辑用语考试要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定知识梳理1充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示3全
2、称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记xM，p(x)xM，p(x)否定xM，綈p(x)xM，綈p(x)常用结论1充分、必要条件与对应集合之间的关系设Ax|p(x)，Bx|q(x)若p是q的充分条件，则AB；若p是q的充分不必要条件，则AB；若p是q的必要不充分条件，则BA；若p是q的充要条件，则AB.2含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”3命题p与p的否定的真假性相反思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件()(2)“三角形的内角
3、和为180”是全称量词命题()(3)已知集合A，B，ABAB的充要条件是AB.()(4)命题“xR，sin2cos2”是真命题()教材改编题1“ab”是“ac2bc2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析当ab时，若c20，则ac2bc2，所以abac2bc2，当ac2bc2时，c20，则ab，所以ac2bc2ab，即“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件2使2x2成立的一个充分条件是()Ax2B0x0答案B3“等边三角形都是等腰三角形”的否定是_答案存在一个等边三角形，它不是等腰三角形题型一充分、必要条件的判定例1(1)已知p：x1，q：log
4、2x0，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由x0，所以p对应的x的范围为(0，)，由log2x0知0x0，乙：Sn是递增数列，则()A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a11时，ana1qn10，若a10，则qn0(nN*)，即q0；若a10，则qn0，q：0log21，所以(a1)(b1)1，即ab1，b1，则ab0，所以1，所以p是q的充分条件；因为1，所以0，则abab，若abab，所以p是q的非必要条件，所以p是q的充分不必要条件思维升
5、华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题跟踪训练1(1)“a2，b2”是“ab4，ab4”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若a2，b2，则ab4，ab4.当a1，b5时，满足ab4，ab4，但不满足a2，b2，所以ab4，ab4a2，b2，故“a2，b2”是“ab4，ab4”的充分不必要条件(2)(2022太原模拟)若a，b为非零向量，则“ab”是“(ab)2a2b2”的()A充分不必要条件B必要
6、不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析因为ab，所以ab0，则(ab)2a22abb2a2b2，所以“ab”是“(ab)2a2b2”的充分条件；反之，由(ab)2a2b2得ab0，所以非零向量a，b垂直，“ab”是“(ab)2a2b2”的必要条件故“ab”是“(ab)2a2b2”的充要条件题型二充分、必要条件的应用例2已知集合Ax|x28x200，非空集合Bx|1mx1m若xA是xB的必要条件，求m的取值范围解由x28x200，得2x10，Ax|2x10由xA是xB的必要条件，知BA.则当0m3时，xA是xB的必要条件，即所求m的取值范围是0,3延伸探究本例中，若把“xA是xB的
7、必要条件”改为“xA是xB的充分不必要条件”，求m的取值范围解xA是xB的充分不必要条件，AB，则或解得m9，故m的取值范围是9，)教师备选(2022泰安模拟)已知p：xa，q：|x2a|3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，1)C1，) D(1，)答案A解析因为q：|x2a|3，所以q：2a3x2a3，记Ax|2a3x2a3，p：xa，记为Bx|xa因为p是q的必要不充分条件，所以AB，所以a2a3，解得a1.思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)
8、要注意区间端点值的检验跟踪训练2(1)(2022衡水中学模拟)若不等式(xa)21成立的充分不必要条件是1x2，则实数a的取值范围是_答案1,2解析由(xa)21得a1xa1，因为1x2是不等式(xa)21成立的充分不必要条件，所以满足且等号不能同时取得，即解得1a2.(2)已知p：实数m满足3am0)，q：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是_答案解析由2mm10，得1m，即q：1m.因为p是q的充分条件，所以解得a.题型三全称量词与存在量词命题点1含量词命题的否定例3(1)已知命题p：nN，n22n5，则綈p为()AnN，n22n5BnN，n22n5CnN，n
9、22n5DnN，n22n5答案C解析由存在量词命题的否定可知，綈p为nN，n22n5.所以C正确，A，B，D错误(2)命题：“奇数的立方是奇数”的否定是_答案存在一个奇数，它的立方不是奇数命题点2含量词命题的真假判定例4(多选)下列命题是真命题的是()AaR，使函数y2xa2x在R上为偶函数BxR，函数ysinxcosx的值恒为正数CxR，2x答案AC解析当a1时，y2x2x为偶函数，故A为真命题；ysinxcosxsin，当sin1时，y0，故B为假命题；当x(2,4)时，2xx2，故C为真命题；当x时，(0,1)，1，解析因为命题“xR，使ax2x20”是假命题，所以命题“xR，使得ax2
10、x20”是真命题，当a0时，得x0”是假命题，不符合题意；当a0时，得解得a.教师备选1(2022西安模拟)下列命题中假命题是()AxR，2x10BxN*，(x1)20CxR，lgx0成立，故A项为真命题；当xN*时，x1N，可得(x1)20，当且仅当x1时取等号，xN*，使(x1)20不成立，故B项为假命题；当x1时，lg101，xR，使得lgx1成立，故C项为真命题；正切函数ytanx的值域为R，存在锐角x，使得tanx2成立，故D项为真命题综上所述，只有B项是假命题2若命题“x1,4，x24xm0”是假命题，则m的取值范围是()A4m3Bm0，xsinx0，xsinx2x1Bx0，xsi
11、nx2x1Cx0，xsinx0，xsinx0，xsinx2x1.(2)(2022重庆模拟)下列命题为真命题的是()AxR，x2|x|10BxR，11CxR，(lnx)20DxR，sinx3答案C解析对于A，因为x2|x|120恒成立，所以xR，x2|x|10是假命题；对于B，当x时，2，所以xR，11是假命题；对于C，当x1时，lnx0，所以xR，(lnx)20是真命题；对于D，因为1sinx1，所以xR，sinx3是假命题(3)若命题“xR，x2mxm0，m0或m2答案B解析A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x0时，x20，满足x20，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中
12、因为()0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有2，所以D是假命题4(2022沈阳模拟)在空间中，设m，n是两条直线，表示两个平面，如果m，那么“mn”是“n”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析当mn时，m，则n与可能平行，充分性不成立；当n时，n，m，mn，必要性成立，“mn”是“n”的必要不充分条件5若命题“x(0，)，使得axx24成立”是假命题，则实数a的取值范围是()A(4，) B(，4)C4，) D(，4答案D解析若命题“x(0，)，使得axx24成立”是假命题，则有“x(0，)，使得axx24成立”是真命题即ax，则
13、amin，又x24，当且仅当x2时取等号，故a4.6(2022南京模拟)已知集合M1,1，那么“a”是“xM,4x2x1a0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件答案A解析xM,4x2x1a0，a(4x2x1)min，x1,1，设t2x，则f(t)t22t(t1)21，t，f(t)minf(1)1，a1，1，)，“a”是“xM,4x2x1a0”的充分不必要条件7(多选)(2022烟台调研)下列四个命题中是真命题的有()AxR，3x0BxR，x2x10CxR，sinxx2x1答案AD解析xR,3x0恒成立，A是真命题；x2x120，B是假命题；由sin1，知C是
14、假命题；取x，coscos，但x2x1y的充分不必要条件的是()Axc2yc2B.|y|Dlnxlny答案ABD解析对于A选项，若xc2yc2，则c20，则xy，反之xy，当c0时得不出xc2yc2，所以“xc2yc2”是“xy”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由0可得yxy；但xy不能推出0(因为x，y的正负不确定)，所以“y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由|x|y|可得x2y2，则(xy)(xy)0，不能推出xy；由xy也不能推出|x|y|(如x1，y2)，所以“|x|y|”是“xy”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若lnxlny，则xy，反之xy得不出l
15、nxlny，所以“lnxlny”是“xy”的充分不必要条件，故D正确9若命题p：x(0，)，x1，则命题p的否定为_答案x(0，)，x110(2022衡阳模拟)使得“2x4x”成立的一个充分条件是_答案x22x等价于x2x，解得x4x”成立的一个充分条件只需为集合x|x0)有公共点的充要条件是_答案a1，)解析直线ykx1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2y2a2内部(包含边界)，a21.又a0，a1.12已知命题p：“x1，)，x2a0”，命题q：“xR，x22ax2a0”，若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围为_答案a|a2或a1解析由题意可知p和q均为真命题，由命题p为
16、真命题，得x1，)，x2a恒成立，(x2)min1，得a1；由命题q为真命题，知4a24(2a)0成立，得a2或a1，所以实数a的取值范围为a|a2或a113(2022苏州中学月考)在ABC中，“AB”是“cosAB，所以0BA，因为ycosx在(0，)上单调递减，所以cosAcosB，故充分性成立；反之，ycosx在(0，)上单调递减，0A，0B，若cosAB，故必要性成立，所以在ABC中，“AB”是“cosAcosB”的充要条件14已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“x(a，b)，f(x)f(x)0”是假命题，则f(ab)_.答案0解析“x(a，b)，f(x)f(x)0”的否定是x(
17、a，b)，f(x)f(x)0，依题意得，命题x(a，b)，f(x)f(x)0为真命题，故函数yf(x)，x(a，b)为奇函数，ab0，f(ab)f(0)0.15(多选)已知aR，则使命题“x，x2sinxa0”为真命题的一个充分不必要条件是()Aa1Ba2Ca0，则函数f(x)x2sinx在上单调递增，x，f(x)f，所以原命题为真命题的充要条件为a，而12，则满足A选项、C选项的a均有a，a时a1和a都不一定成立，所以所求的一个充分不必要条件是选项A，C.16f(x)x26x3，记maxp，q表示p，q二者中较大的一个，函数g(x)max，若m2，且x1m，2，x20，)，使f(x1)g(x2)成立，则m的最小值为_答案5解析yx2为减函数，ylog2(x3)为增函数，观察尝试可知当且仅当x1时，x2log2(x3)由题意得，g(x)在0，)上，g(x)ming(1)2，g(x)的值域为2，)，f(x)(x3)266.“x1m，2，x20，)，使f(x1)g(x2)成立”等价于f(x)在m，2上的函数值域是g(x)在0，)上的值域的子集，作函数yf(x)，yg(x)的图象，如图所示，令f(x)x26x32，解得x5或x1，则m的最小值为5.
