1、5.5复数【考试要求】1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义【知识梳理】1复数的有关概念(1)复数的定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位(2)复数的分类：复数zabi(a，bR)(3)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数：abi与cdi互为共轭复数ac，bd(a，b，c，dR)(5)复数的模：向量的模叫做复数zabi的模或绝对值，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR)2复数的几何意义(1)复数zabi(a，b
2、R)复平面内的点Z(a，b)(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即，.【常用结论】1(1i)22i；i；i.2baii(abi)(a，bR)3i4n1，i4n1i，i4n
3、21，i4n3i(nN)4i4ni4n1i4n2i4n30(nN)5复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a|z|b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z(abi)|r(r0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)复数zabi(a，bR)中，虚部为b.()(2)复数可以比较大小()(3)已知zabi(a，bR)，当a0时，复数z为纯虚数()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()【教材题改编】1已知复数z满足(2i)z1i，其中i是虚数单位，则z在复平面内对应的点
4、位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D2复数z(3i)(14i)，则复数z的实部与虚部之和是_答案4解析z(3i)(14i)312ii4711i，故实部和虚部之和为7114.3若z(m2m6)(m2)i为纯虚数，则实数m的值为_答案3题型一复数的概念例1(1)(2021浙江)已知aR，(1ai)i3i(i为虚数单位)，则a等于()A1 B1 C3 D3答案C解析方法一因为(1ai)iai3i，所以a3，解得a3.方法二因为(1ai)i3i，所以1ai13i，所以a3.(2)(2022新余模拟)若复数z满足1i，则复数的虚部为()Ai Bi C1 D1答案C解析1i，z(1i
5、)(i)(2i)(1i)，z(1i)(2i)(1i)，z2i，2i，的虚部为1.【备选】1(2020全国)若(1i)1i，则z等于()A1i B1i Ci Di答案D解析因为i，所以zi.2(2020全国)若z1i，则|z22z|等于()A0 B1 C. D2答案D解析方法一z22z(1i)22(1i)2，|z22z|2|2.方法二|z22z|(1i)22(1i)|(1i)(1i)|1i|1i|2.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时
6、一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部跟踪训练1(1)(2022衡水中学模拟)已知1yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则xyi的共轭复数为()A2i B2iC12i D12i答案B解析由1yi，得1yi，即i1yi，解得x2，y1，xyi2i，其共轭复数为2i.(2)已知z13i，则|i|_.答案解析z13i，13i，i13ii12i，|i|.题型二复数的四则运算例2(1)(2021新高考全国)已知z2i，则z(i)等于()A62i B42iC62i D42i答案C解析因为z2i，所以z(i)(2i)(22i)62i.(2)设z1，z2，z3为复数，z10.给出下列
7、命题：若|z2|z3|，则z2z3；若z1z2z1z3，则z2z3；若2z3，则|z1z2|z1z3|；若z1z2|z1|2，则z1z2.其中所有正确命题的序号是()A B C D答案B解析由|i|1|，知错误；z1z2z1z3，则z1(z2z3)0，又z10，所以z2z3，故正确；|z1z2|z1|z2|，|z1z3|z1|z3|，又2z3，所以|z2|2|z3|，故正确，令z1i，z2i，满足z1z2|z1|2，不满足z1z2，故错误教师备选1(2020新高考全国)等于()A1 B1 Ci Di答案D解析i.2在数学中，记表达式adbc为由所确定的二阶行列式若在复数域内，z11i，z2，z
8、32，则当i时，z4的虚部为_答案2解析依题意知，z1z4z2z3，因为z32，且z2，所以z2z3|z2|2，因此有(1i)z4i，即(1i)z43i，故z412i.所以z4的虚部是2.思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数跟踪训练2(1)(2021全国乙卷)设iz43i，则z等于()A34i B34i C34i D34i答案C解析方法一(转化为复数除法运算)因为iz43i，所以z34i.方法二(利用复数的代数形式)设zabi(a，bR)，则由iz43i，可得i(abi)43i，即bai43i，所以即所以z34i.方
9、法三(巧用同乘技巧)因为iz43i，所以izi(43i)i，所以z4i3，所以z34i.(2)若z，则|z|_；z_.答案1解析z，|z|，zii1.题型三复数的几何意义例3(1)(2021新高考全国)复数在复平面内对应的点所在的象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第一象限(2)(2020全国)设复数z1，z2满足|z1|z2|2，z1z2i，则|z1z2|_.答案2解析方法一设z1z2abi，a，bR，因为z1z2i，所以2z1(a)(1b)i，2z2(a)(1b)i.因为|z1|z2|2，所以|2z1|2z2|4，所以4，
10、4，22，得a2b212.所以|z1z2|2.方法二设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，则z1z2对应向量.由题意知|2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1z2对应向量，且|2，可得|2|sin 602.故|z1z2|2.【备选】1(2020北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则iz等于()A12i B2i C12i D2i答案B解析由题意知，z12i，izi(12i)2i.2(2019全国)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21答案C解析z在复平面内
11、对应的点为(x，y)，zxyi(x，yR)|zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21.思维升华由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观跟踪训练3(1)如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为()A13i B3iC3i D3i答案D解析由题图可得Z(1，1)，即z1i，所以z1i1i1i1i22i3i.(2)设复数z满足条件|z|1，那么|z2i|的最大值是()A3 B2C12 D4答案D解析|z|1表示单位圆上的点，那么|z2i|表示单位圆上的点到点(2，1)的距离，求最大值转化为点(2，1)
12、到原点的距离加上圆的半径因为点(2，1)到原点的距离为3，所以所求最大值为4.复数的三角形式在如图的复平面中，r，cos ，sin ，tan (a0)任何一个复数zabi都可以表示成zr(cos isin )的形式其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数zabi的辐角我们把r(cos isin )叫做复数的三角形式对应于复数的三角形式，把zabi叫做复数的代数形式复数乘、除运算的三角表示：已知复数z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin 2)，则z1z2r1r2cos(12)isin(12)cos(12)isin(12
13、)例1(1)3等于()A.i B.iCi Di答案C解析333i.(2)复数cosisin经过n次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n的值等于()A3 B12C6k1(kZ) D6k1(kZ)答案C解析由题意，得ncosisincosisin，由复数相等的定义，得解得2k(kZ)，n6k1(kZ)(3)复数zcos isin 是方程x50的一个根，那么的值等于()A.i B.iC.i Di答案B解析由题意得，5cos isin i.例2已知i为虚数单位，z1(cos 60isin 60)，z22(sin 30icos 30)，则z1z2的三角形式是()A4(cos 90isin 90)B4(
14、cos 30isin 30)C4(cos 30isin 30)D4(cos 0isin 0)答案D解析z22(sin 30icos 30)2(cos 300isin 300)，z1z2(cos 60isin 60)2(cos 300isin 300)4(cos 360isin 360)4(cos 0isin 0)课时精练1(2022福州模拟)已知i是虚数单位，则“ai”是“a21”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析i是虚数单位，则i21，“ai”是“a21”的充分条件；由a21，得ai，故“ai”是“a21”的不必要条件；故“ai”是“a21”的充
15、分不必要条件2设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z13i，则z1z2等于()A10 B10 C8 D8答案A解析z13i，z1，z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，z23i，z1z29110.3(2022长春实验中学模拟)若复数z的共轭复数为且满足(12i)1i，则复数z的虚部为()A. BiC.i D答案A解析(12i)1i，i，zi，复数z的虚部为.4已知i是虚数单位，则复数zi2 023i(i1)在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析因为zi2 023i(i1)i1i12i，所以复数z在复平面内对应的点是(1，2)，位于第三象限5
16、(2022潍坊模拟)在复数范围内，已知p，q为实数，1i是关于x的方程x2pxq0的一个根，则pq等于()A2 B1 C0 D1答案C解析因为1i是关于x的方程x2pxq0的一个根，则1i是方程x2pxq0的另一根，由根与系数的关系可得解得p2，q2，所以pq0.6(2022苏州模拟)若复数z满足(1i)z53i(其中i是虚数单位)，则下列结论正确的是()Az的虚部为iBz的模为Cz的共轭复数为4iDz在复平面内对应的点位于第二象限答案B解析由(1i)z53i得z4i，所以z的虚部为1，A错误；z的模为，B正确；z的共轭复数为4i，C错误；z在复平面内对应的点为(4，1)，位于第四象限，D错误
17、7若z(a)ai为纯虚数，其中aR，则_.答案i解析z为纯虚数，a，i.8(2022温州模拟)已知复数zabi(a，bR，i为虚数单位)，且32i，则a_，b_.答案51解析由zabi(a，bR，i为虚数单位)，则abi，所以(abi)i32i，故3，2，所以a5，b1.9当实数m为何值时，复数z(m22m)i为实数；虚数；纯虚数解当即m2时，复数z是实数当m22m0，且m0，即m0且m2时，复数z是虚数当即m3时，复数z是纯虚数10. 如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,32i，24i，试求：(1)，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)B点对应的复数解(1)
18、，所表示的复数为32i，所表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，所表示的复数为(32i)(24i)16i，B所对应的复数为16i.11欧拉公式exicos xisin x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项不正确的是()A复数e2i对应的点位于第二象限B为纯虚数C复数的模长等于D的共轭复数为i答案D解析对于A，e2icos 2isin 2，因为2，即cos 20，复数e2i对应的点位于第二象限，A正确；对于B，cosi
19、sin i，为纯虚数，B正确；对于C，i，于是得，C正确；对于D，cosisin i，其共轭复数为i，D不正确12(2022武汉模拟)下列说法中，正确的个数有()若|z|2，则z4；若复数z1，z2满足|z1z2|z1z2|，则z1z20；若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等；“a1”是“复数z(a1)(a21)i(aR)是虚数”的必要不充分条件A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析若|z|2，则z|z|24，故正确；设z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)，由|z1z2|z1z2|，可得|z1z2|2(a1a2)2(b1b2)2|z1z2|2(a1a2)
20、2(b1b2)2则a1a2b1b20，而z1z2(a1b1i)(a2b2i)a1a2b1b2a1b2ib1a2i2a1a2a1b2ib1a2i不一定为0，故错误；当z1i时，z22i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故错误；若复数z(a1)(a21)i(aR)是虚数，则a210，即a1，所以“a1”是“复数z(a1)(a21)i(aR)是虚数”的必要不充分条件，故正确13(2022上外浦东附中模拟)若0(a，bR)，则a2b2_.答案1解析(ai)(1i)(b2i)aaii1b2i(a1b)(a1)i，由已知可得解得a2b21.14(2022上海市静安区模拟)投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的
21、均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数为虚数的概率为_答案解析复数，故复数为虚数需满足n2m20，即mn，故有66630(种)情况，复数为虚数的概率为.15(2022青岛模拟)已知复数z满足|z1i|1，则|z|的最小值为()A1 B.1 C. D.1答案B解析令zxyi(x，yR)，则由题意有(x1)2(y1)21，|z|的最小值即为圆(x1)2(y1)21上的动点到原点的最小距离，|z|的最小值为1.16(2022张家口调研)已知复数z满足z234i，且z在复平面内对应的点位于第三象限(1)求复数z；(2)设aR，且2，求实数a的值解(1)设zcdi(c0，d0)，则z2(cdi)2c2d22cdi34i，解得或(舍去)z2i.(2)2i，i，2 023i2 023i2 0203i50543i，|ai|2，a.
