1、课时规范练31数列求和基础巩固组1.已知函数f(n)=n2,n为奇数,-n2,n为偶数,且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+a100等于()A.0B.100C.-100D.10 2002.在数列an中,若an+1+(-1)nan=2n-1,则数列an的前12项和等于()A.76B.78C.80D.823.(多选)公差为d的等差数列an满足a2=5,a6+a8=30,则下面结论正确的有()A.d=2B.an=2n+1C.1an2-1=141n+1n+1D.1an2-1的前n项和为n4(n+1)4.(多选)数列an满足a1=1,且对任意的nN*都有an+1=an+n+1,则()A.
2、an=n(n+1)2B.数列1an的前100项和为200101C.数列1an的前100项和为99100D.数列an的第100项为50 0505.已知Tn为数列2n+12n的前n项和,若mT10+1 013恒成立,则整数m的最小值为()A.1 026B.1 025C.1 024D.1 0236.若f(x)+f(1-x)=4,an=f(0)+f1n+fn-1n+f(1)(nN*),则数列an的通项公式为.7.设Sn是数列an的前n项和,且a1=1,an+1+SnSn+1=0,则Sn=,数列SnSn+1的前n项和Tn为.8.已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=2,S5=20.(1)求数列an的通
3、项公式;(2)若等比数列bn满足a4+b4=9,且公比为q,从q=2;q=12;q=-1这三个条件中任选一个作为题目的已知条件,求数列an-bn的前n项和Tn.9.已知各项均不相等的等差数列an的前4项和为10,且a1,a2,a4是等比数列bn的前3项.(1)求an,bn;(2)设cn=bn+1an(an+1),求cn的前n项和Sn.10.已知等比数列an满足a1,a2,a3-a1成等差数列,且a1a3=a4.等差数列bn的前n项和Sn=(n+1)log2an2.(1)求an,bn;(2)求数列anbn的前n项和Tn.综合提升组11.数列an满足a1=1,且对任意的m,nN*,都有am+n=a
4、m+an+mn,则1a1+1a2+1a3+1a2018=()A.20172018B.20182019C.40342018D.4036201912.(多选)已知曲线C:y2=2x+a在点Pn(n,2n+a)(a0,nN)处的切线ln的斜率为kn,直线ln交x轴、y轴分别于点An(xn,0),Bn(0,yn),且|x0|=|y0|.以下结论中,正确的结论有()A.a=1B.当nN+时,yn的最小值为233C.当nN+时,kn2sin 12n+1D.当nN+时,记数列kn的前n项和为Sn,则Sn2(n+1-1)13.各项均为正数的数列an满足a1=1,a2=12,1an+1=1an1an+2(nN*
5、),那么a1a3+a2a4+a3a5+anan+2=.14.已知在数列an中,a1=12,其前n项和Sn满足Sn2-anSn+an=0(n2),则a2=,S2 019=.15.已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.创新应用组16.(多选)已知函数f(x)=12(x2+a)的图像在点Pn(n,f(n)(nN*)处的切线ln的斜率为kn,直线ln交x轴,y轴分别于点An(xn,0),Bn(0,yn),且y1=-1.以下结论中,正确的结论有()A.a=-1B.记函数
6、g(n)=xn(nN*),则函数g(n)先减后增,且最小值为1C.当nN*时,yn+kn+12ln(1+kn)D.当nN*时,记数列1|yn|kn的前n项和为Sn,则SnSk+1且Sk+1T10+1013恒成立,整数m的最小值为1024.6.an=2(n+1)由f(x)+f(1-x)=4,可得f(0)+f(1)=4,f1n+fn-1n=4,所以2an=f(0)+f(1)+f1n+fn-1n+fn-1n+f1n+f(1)+f(0)=4(n+1),即an=2(n+1).7.1nnn+1an+1=Sn+1-Sn,an+1+SnSn+1=0,Sn+1-Sn+SnSn+1=0,1Sn+1-1Sn=1.又
7、1S1=1a1=1,1Sn是以1为首项,1为公差的等差数列,1Sn=n,Sn=1n.SnSn+1=1n(n+1)=1n-1n+1,Tn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.8.解(1)设等差数列an的公差为d,又因为Sn=na1+n(n-1)2d,且a1=2,所以S5=10+10d=20,故d=1,所以an=n+1;(2)由(1)可知,a4=5,又a4+b4=9,所以b4=4.若选择条件q=2,可得b1=b4q3=12,Tn=(a1-b1)+(a2-b2)+(an-bn)=(a1+a2+an)-(b1+b2+bn)=n(a1+an)2-b1(1-qn)1-q=n(n+
8、3)2-2n-1+12;若选择条件q=12,可得b1=b4q3=32,Tn=(a1-b1)+(a2-b2)+(an-bn)=(a1+a2+an)-(b1+b2+bn)=n(a1+an)2-b1(1-qn)1-q=n(n+3)2-26-n-64;若选择条件q=-1,可得b1=b4q3=-4,Tn=(a1-b1)+(a2-b2)+(an-bn)=(a1+a2+an)-(b1+b2+bn)=n(a1+an)2-b1(1-qn)1-q=n(n+3)2+21-(-1)n.9.解(1)设数列an的公差为d,由题意知a1+a2+a3+a4=4a1+4(4-1)2d=4a1+6d=10.又因为a1,a2,a4
9、成等比数列,所以a22=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),化简得d2=a1d,又因为d0,所以a1=d.由得a1=1,d=1,所以an=n.b1=a1=1,b2=a2=2,q=b2b1=2,所以bn=2n-1.(2)由(1)及cn=bn+1an(an+1)可得,cn=2n-1+1n(n+1)=2n-1+1n-1n+1,所以Sn=20+21+2n-1+1-12+12-13+1n-1n+1=1-2n1-2+1-1n+1=2n-1n+1,所以数列cn的前n项和Sn=2n-1n+1.10.解(1)设an的公比为q,bn的公差为d.因为a1,a2,a3-a1成等差数列,所以2a2=a1+(
10、a3-a1),即2a2=a3.因为a20,所以q=a3a2=2.因为a1a3=a4,所以a1=a4a3=q=2.因此an=a1qn-1=2n.由题意,Sn=(n+1)log2an2=(n+1)n2.所以b1=S1=1,b1+b2=S2=3,从而b2=2.所以bn的公差d=b2-b1=2-1=1.所以bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)1=n.(2)令cn=anbn,则cn=n2n.因此Tn=c1+c2+cn-1+cn=121+222+323+(n-1)2n-1+n2n.又因为2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1,两式相减得-Tn=2+22+23+2n-n2n+1=2-
11、2n21-2-n2n+1=2n+1-2-n2n+1=(1-n)2n+1-2.所以Tn=(n-1)2n+1+2.11.D因为a1=1,且对任意的m,nN*都有am+n=am+an+mn,令m=1,则有an+1=an+n+1,即an+1-an=n+1,用累加法可得an=a1+(n-1)(n+2)2=n(n+1)2,所以1an=2n(n+1)=21n-1n+1,所以1a1+1a2+1a3+1a2018=21-12+12-13+12018-12019=21-12019=40362019.12.ABD由y2=2x+a,当x0时,y=2x+a,y=12x+a,则kn=12n+a,切线方程为y-2n+a=1
12、2n+a(x-n),令x=0,则y=n+a2n+a,令y=0,则x=n-(2n+a)=-n-a,即有xn=-n-a,yn=n+a2n+a,由于|x0|=|y0|,则|a|=aa,解得a=1,故A正确;由于yn=n+12n+1,令2n+1=t(t3),则yn=1+t2-12t=12t+1t在t3上递增,则有t=3取得最小值,且为123+13=233,故B正确;当nN+时,kn=12n+1,令u=12n+10u13,设y=2sinu-u,则y=2cosu-1.由于0u134,则12cosu0,y在00,即有kn2sin12n+1,故C错误;当nN+时,记数列kn的前n项和为Sn,kn=12n+1,
13、由于a+b22a2+b22(当且仅当a=b时取等号),则a+b2(a2+b2),则有n+n+12n+n+1,则有12n+12n+n+1=2(n+1-n),则Sn=13+15+12n+12(2-1)+(3-2)+(n+1-n)=2n+1-1),故D正确.13.131-14n由1an+1=1an1an+2(nN*),可得an+12=anan+2,数列an为等比数列.a1=1,a2=12,q=12,an=12n-1,anan+2=12n-112n+1=14n,a1a3=14,a1a3+a2a4+a3a5+anan+2=14+142+14n=14(1-14n)1-14=131-14n.14.-1612
14、020由题意,知Sn2-anSn+an=0(n2),令n=2,则S22-a2S2+a2=0,即(a2+12)2-a2a2+12+a2=0,化简得32a2+14=0,所以a2=-16.因为Sn2-anSn+an=0(n2),an=Sn-Sn-1(n2),所以SnSn-1+Sn-Sn-1=0(n2),整理得1Sn-1Sn-1=1(n2),又因为1S1=1a1=2,所以1Sn是一个以2为首项,1为公差的等差数列,所以1Sn=n+1,所以Sn=1n+1,所以S2019=12020.15.解(1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2.因为a1q2=
15、8,所以a1=2.所以an的通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2nm1时,xn0,函数g(n)为增函数,当n=1时,函数取最小值,且最小值为1.函数g(n)是单调递增的,且最小值为1,故B不正确.在ln中,令x=0,得yn=-n2+12(n2-1)=-12(n2+1),yn+kn+12=-12n2+n,当n=1时,y1+k1+12=12=lneln1=0,故C正确.1|yn|kn=2n2+1n2n2,Sn2112+122+132+1n2.当n=1时,S1=11时,1n21n(n-1)=1n-1-1n,SnSk+1,即SkSk+ak+1,则ak+10;同理,若使Sk+1Sk+2,即Sk+10.若选b1+b3=a2,则a2=-10,a5=-1,d=3,a1=-13,ak=3k-16,ak+1=3k-13,ak+2=3k-10,要使Sk+1Sk,且Sk+1Sk+2,只要3k-130.103k133,存在k=4符合题意.若选a4=b4,则a5=-1,a4=b4=27,数列an为递减数列,故不存在k使ak+10.若选S5=-25,则a5=-1,d=2,a1=-9,ak=2k-11,ak+1=2k-9,ak+2=2k-7,同理求得2k-90.72k92,存在k=4符合题意.
