1、考点突破练19利用导数求参数的值或范围1.(2022北京东城一模)已知函数f(x)=x-ax2-1.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为-1,求a的值;(2)若f(x)在(1,+)上有最大值,求实数a的取值范围.2.(2021陕西榆林三模)已知函数f(x)=aex+1,g(x)=ln x.(1)讨论h(x)=g(x)+xf(x)-xex的单调性;(2)若xf(x)0)恒成立,求实数a的取值范围.4.(2022陕西安康二模)已知函数f(x)=(a2+1)ln x+ax-ax.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)若f(x)-54时,f(x)0;(2)若
2、g(x)2+ax,求a.考点突破练19利用导数求参数的值或范围1.解 (1)函数f(x)=x-ax2-1的定义域为x|x1,f(x)=x2-1-2x(x-a)(x2-1)2=-x2+2ax-1(x2-1)2.由已知可得f(2)=4a-59=-1,解得a=-1.(2)(方法一)由(1)得f(x)=-x2+2ax-1(x2-1)2,令g(x)=-x2+2ax-1(x1),g(x)图象的对称轴为直线x=a.当a0时,对任意的x1,g(x)=-x2+2ax-10恒成立,则f(x)0,此时函数f(x)在(1,+)上单调递减,没有最大值;当0a1时,g(x)=-x2+2ax-1在(1,+)上单调递减,则g
3、(x)g(1)0,则f(x)1时,方程-x2+2ax-1=0的两根分别为x1=a-a2-1,x2=a+a2-1,且x1x2=1,由a1可知0x11a1),=4(a2-1).当a0或0时,a1,f(x)0,此时函数f(x)在(1,+)上单调递减,无最大值,舍去.当0时,a1时,方程x2-2ax+1=0有两个不相等的实数根x1,x2,则x1+x2=2a,x1x2=1,不妨设0x110,函数f(x)单调递增;当x(x2,+)时,f(x)0),所以h(x)=g(x)+xf(x)-xex=ln x+ax(x0),h(x)=1x+a=1+axx.当a0时,h(x)0,h(x)在(0,+)上单调递增;当a0
4、;当x-1a,+时,h(x)0,所以h(x)在0,-1a上单调递增,在-1a,+上单调递减.(2)因为xf(x)-g(x)+1,所以axex-(ln x+x)+1,即aex+ln x-(ln x+x)+1.令ln x+x=t,则aet1-t,tR,所以a1-tet.令(t)=1-tet,则(t)=t-2et.因为(t)在(-,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以(t)(2)=-1e2,a-1e2,故实数a的取值范围为-,-1e2.3.解 (1)由f(x)=ln(x+1)-ax,得f(x)=1x+1-a.f(x)在0,+)上单调递减,f(x)0在0,+)上恒成立,即1x+1-a0,a1x
5、+1对x0,+)恒成立.x0,0-1,f(x)a2ex-a-ax(a0)ln(x+1)+aa2ex恒成立.x=0时,aa2,且a0,a1.下面证明当a1时,不等式ln(x+1)+aa2ex恒成立,要证明ln(x+1)+aa2ex,由结论ln xx-1,得只需证明对x(-1,+),x+aa2ex,即a2ex-x-a0恒成立.令g(x)=a2ex-x-a,则g(x)=a2ex-1.令g(x)=0,得x=-2ln a,g(x)的图象如右图所示,当x=-2ln a-1,即ae时,在(-1,+)上,g(x)0,则g(x)单调递增,g(x)g(-1)=a2e+1-a.令h(a)=a2e+1-a=1ea-e
6、22-e4+1-e4+10.当-1-2ln a0,即1ae时,在(-1,-2ln a)上,g(x)0,g(x)单调递增,g(x)g(-2ln a)=2ln a-a+1.令h(a)=2ln a-a+1,则h(a)=2a-12e-10,即h(a)在1,e)上单调递增,则h(a)h(1)=0,当1a0),则h(x)=1x-1=1-xx,在(0,1)上,h(x)0,h(x)单调递增;在(1,+)上,h(x)0恒成立,所以f(x)在(0,+)上单调递增,故当x(1,+)时,f(x)f(1)=0.若-1a0,则0-a1-1a,所以当x(0,-a)-1a,+时,f(x)0.则f(x)的单调递减区间为(0,-
7、a)和-1a,+,单调递增区间为-a,-1a.故当x1,-1a时,f(x)f(1)=0.若a=-1,则f(x)=-(x-1)2x20,所以f(x)在(0,+)上单调递减,故当x(1,+)时,f(x)f(1)=0.若a-1,则0-1a1-a,所以当x0,-1a(-a,+)时,f(x)0,则f(x)的单调递减区间为0,-1a和(-a,+),单调递增区间为-1a,-a.故当x(1,-a)时,f(x)f(1)=0.综上所述,a=-1.5.解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+).当a=1时,f(x)=x+2x+ln x,f(x)=1-2x2+1x.所以f(1)=3,f(1)=0.所以曲线y=f(x)
8、在点(1,f(1)处的切线方程为y=3.(2)当a0时,由xe,+),得f(x)0,故曲线y=f(x)在x轴的上方.当a0时,f(x)=1-2a2x2+ax=(x-a)(x+2a)x2.令f(x)=0,得x=-2a或a(舍去).当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下.x(0,-2a)-2a(-2a,+)f(x)-0+f(x)极小值当-2ae,即-e2a0,即曲线y=f(x)在x轴的上方.当-2ae,即a0,解得a-e32,所以-e32a-e2.综上,实数a的取值范围为-e32,+.6.(1)证明 因为f(x)=ex-sin x-cos x=ex-2sinx+4,所以f(x)=ex-cos
9、 x+sin x=ex+2sinx-4.令h(x)=f(x),则h(x)=g(x)=ex+sin x+cos x=ex+2sinx+4.考虑到f(0)=0,f(0)=0,所以,当x-54,-4时,2sinx+40.当x-4,0时,f(x)0,所以f(x)单调递增,所以f(x)f(0)=0,所以函数f(x)单调递减,f(x)f(0)=0.当x0,34时,f(x)0,所以f(x)单调递增,所以f(x)f(0)=0,所以函数f(x)单调递增,f(x)f(0)=0,当x34,+时,f(x)=ex-2sinx+4e1-20.综上所述,当x-54时,f(x)0.(2)解 令F(x)=g(x)-2-ax=e
10、x+sin x+cos x-2-ax,则F(x)=ex+cos x-sin x-a.令G(x)=F(x),则G(x)=ex-sin x-cos x=f(x),由(1)知x-54时,G(x)=f(x)0,F(x)在-54,+上单调递增,当a=2时,F(2)=0,当x-54,0时,F(x)0,即F(x)在-54,0上单调递减,在(0,+)上单调递增,F(x)F(0)=0.当x-54时,g(x)=ex+sin x+cos x=ex+2sinx+2-2,2+2x2-520,故a=2满足题意.当a2时,(方法一)F(0)=2-a0,若F(x0)0,则x(0,x0),F(x)0,即F(x)在(0,x0)上
11、单调递减,F(x)0,若F(x0)0,则x1(0,x0),x(0,x1)都有F(x)0,即F(x)在(0,x0)上单调递减,F(x)0与题意不符.(方法二)F(0)=2-a0,得xln(2+a),即F(ln(2+a)=2-2sinln(2+a)-40,所以必存在x0(0,ln(2+a),使得F(x0)=0,此时满足x(0,x0)时,F(x0)0,F(x)单调递减,所以F(x)F(0)=0,矛盾,舍去.当a0.因为当x0时,F(x)=ex-2sinx-4-aex+2-a1+2-a,所以当2a2时,ex+2-a1,即xln(1+a-2),取x=ln(a-2),所以当2a2时,F(ln(a-2)0,F(x)单调递增,所以F(x)ex+cos x-sin x-2,
