1、第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解不等式的性质(重点)2能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系(难点)通过学习用不等式表示不等关系、比较两数(式)的大小及不等式的性质，培养学生的逻辑推理素养自 主 预 习 探 新 知 1不等符号与不等关系的表示(1)不等符号有 ；(2)不等关系用 来表示2不等式中的文字语言与符号语言之间的转换大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于 ，不等式思考：不等式 ab 和 ab 有怎样的含义？提示 不等式 ab 应读作：“a 大于或等于 b”，其含义是ab 或 ab，等价于“a 不小于 b”，即若 ab 或 ab 中
2、有一个正确，则 ab 正确不等式 ab 应读作：“a 小于或等于 b”，其含义是 ab 或 ab，等价于“a 不大于 b”，即若 abbb，bcac性质 3(可加性)abacbc推论abcacb ab，c0acbc性质 4(可乘性)ab，c0acb，cdacbd性质 6(不等式同向正数可乘性)ab0，cd0acbd性质 7(乘方性)ab0anbn(nN，n1)性质 8(开方性)ab0n an b(nN，n2)思考：关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？(1)ab 且 cd，则 acbd.(2)ab，则 acbc.(3)ab0，且 cd0 则acbd.(4)ab0，则 anbn.(5)ab，
3、则ac2bc2.提示 对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质，(1)中例如 53 且 41 时，则 5431 是错的，故(1)错(2)中当 c0 时，不成立(3)中例如 53 且 41，则5431是错的，故(3)错(4)中对 n0 均不成立，例如 a3，b2，n1，则 3121显然错，故(4)错(5)因为1c20，所以 a 1c2b1c2，故(5)正确因此正确的结论有(5).C 限重就是不超过，可以直接建立不等式 T40.1大桥头竖立的“限重 40 吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量 T 不超过 40 吨，用不等式表示为()AT40 CT40 DT40D a，b，
4、c，d 的符号未确定，排除 A、B 两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除 C 项，故选 D 项2已知 ab，cd，且 cd0，则()A.adbcBacbcCacbdDacbdC 法一：A、B、C、D 四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，可用特殊值法令 a2，b1，则有 2(1)12，即 abba.法二：ab0，bb0，abb0ba，即 abba.3已知 ab0，bbba BababCabbaDababmn mn2a22a1(a1)2a20.4设 m2a22a1，n(a1)2，则 m，n 的大小关系是 合 作 探 究 释 疑 难【例 1】用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠
5、墙的矩形菜园，墙长 18 m，要求菜园的面积不小于 110 m2，靠墙的一边长为 x m试用不等式表示其中的不等关系用不等式表示不等关系解 由于矩形菜园靠墙的一边长为 x m，而墙长为 18 m，所以0 x18，这时菜园的另一条边长为30 x215x2(m).因此菜园面积 Sx15x2，依题意有 S110，即x15x2 110，故该题中的不等关系可用不等式组表示为00，ab0，(a b)20，（a b）2（a b）ab0，当且仅当 ab 时等号成立 ab ba a b(当且仅当 ab 时取等号).法 二：(作 商 法)ba aba b （b）3（a）3ab（a b）（a b）（ab ab）ab
6、（a b）ab abab（a b）2 abab1（a b）2ab1，当且仅当 ab 时取等号 ba ab0，a b0，ba ab a b(当且仅当 ab 时取等号).法三：(平方后作差)ab ba2a2b b2a 2 ab，(a b)2ab2 ab，ab ba2(a b)2（ab）（ab）2ab.a0，b0，（ab）（ab）2ab0，又 ab ba0，a b0，故 ab ba a b(当且仅当 ab时取等号).1作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差变形定号结论(2)变形的方法：因式分解；配方；通分；对数与指数的运算性质；分母或分子有理化；分类讨论2如果两实数同号，亦
7、可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于 1，等于 1，还是小于 1.跟进训练2(1)已知|a|1，比较 11a与 1a 的大小(2)若 m2，比较 mm 与 2m 的大小解(1)由|a|1，得1a1.1a0，1a0.即11a1a11a2，01a21，11a21，11a1a.(2)因为mm2mm2m，又因为 m2，所以m21，所以m2mm201，所以 mm2m.探究问题1小明同学做题时进行如下变形：2b3，131b12，又6a8，2ab4.你认为正确吗？为什么？不等式性质的应用提示 不正确因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道6a8.
8、不明确 a 值的正负故不能将131b12与6a8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘2由6a8，4b2，两边分别相减得2ab6，你认为正确吗？提示 不正确因为同向不等式具有可加性，但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质3你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？2ab4，4ba2.又2ab2，0a3，3b0，3ab3.这怎么与2ab2 矛盾了呢？提示 利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形本题中将2ab4 与2ab2 两边相加得 0a3，又将4ba2 与2ab2 两边相加得
9、出3b0，又将该式与 0a3 两边相加得出3abab0，求证：aca bcb.思路探究：如何证明cacb？由cacb怎样得到caa ab0，ca0，cb0.由 ab01a0cacb，caa 0cb0a0b0 aca bcb.1(变条件，变结论)将例题中的条件“cab0”变为“ab0，ccb.证明 因为 ab0，所以 ab0，1ab0.于是 a 1abb 1ab，即1b1a.由 ccb.2(变条件，变结论)将例题中的条件“cab0”变为“已知6a8，2b3”如何求出 2ab，ab 及ab的取值范围解 因为6a8，2b3，所以122a16，所以102ab19.又因为3b2，所以9ab6.又131b
10、12，(1)当 0a8 时，0ab4；(2)当6a0 时，3ab0.由(1)(2)得3abb 及 cd，推不出 acbd；由 ab，推不出 a2b2 等(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误课 堂 小 结 提 素 养 1比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了ab0ab；ab0ab；ab0ab.2作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于 0，等于 0，还是小于 0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键3不等式
11、的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备1判断正误(1)不等式 x2 的含义是指 x 不小于 2.()(2)若 ab，则 acbc 一定成立()(4)若 acbd，则 ab，cd.()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)正确不等式 x2 表示 x2 或 x2，即 x 不小于 2.(2)正确不等式 ab 表示 ab 或 ab.故若 ab，则 acbc 不一定成立(4)错误取 a4，c5，b6，d2.满足 acbd，但不满足ab.C 因为 a0，所以 1a2b 1ab2baa2b2 0，故 1a2b 1ab2.2设 a，b 是非零实数，若 ab，则下列不等式成立的是()Aa2b2 Bab2a2bC 1ab2 1a2bDba380z45“不低于”即“”，“高于”即“”，“超过”即“”，所以x95，y380，z45.3某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文化课总分 y 高于 380 分，体育成绩 z 超过 45 分，用不等式组表示为 4若 bcad0，bd0.求证：abb cdd.证明 因为 bcad0，所以 adbc，因为 bd0，所以abcd，所以ab1cd1，所以abb cdd.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
