1、专题检测一三角函数与解三角形一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022福建龙岩一模)已知sin(+)cos=-12,则tan 2=()A.34B.43C.43或34D.122.(2021全国乙文4)函数f(x)=sinx3+cosx3的最小正周期和最大值分别是()A.3和2B.3和2C.6和2D.6和23.(2022山西吕梁模拟)若点Msin2 0213,cos2 0233在角的终边上,则cos 2=()A.2B.-2C.12D.-124.(2022山东泰安模拟)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,cos2A2
2、=b+c2c,则ABC的形状一定是()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形5.(2022湖南湘潭三模)若函数f(x)=cos 2x+sin2x+6在(0,)上恰有2个零点,则的取值范围为()A.56,43B.56,43C.53,83D.53,836.(2022山东青岛一模)已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x+1(00,0,|1)的部分图象如图所示,下列结论正确的是()A.=-4B.将f(x)的图象向右平移4个单位长度,得到函数y=2sin4x的图象C.f(x)的图象关于直线x=-1对称D.若|x1-x2|4,则|f(x1)-f(x2)|0)的零点依次构成一个公差
3、为2的等差数列,把f(x)的图象沿x轴向右平移3个单位长度得到函数g(x)的图象,则()A.g(x)在4,2上单调递增B.2,0是g(x)的一个对称中心C.g(x)是奇函数D.g(x)在区间6,23上的值域为0,212.(2022广东汕头模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin B+sin C=2sin A,则下列说法中错误的是()A.若A=3,c=1,则a=1B.若A=3,c=1,则ABC的面积为C.若b=2,则A的最大值为3D.若b=2,则ABC周长的取值范围为(4,12)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2022广东佛山二模)已知sin-4=
4、23,则sin 2=.14.(2022山东聊城一模)若f(x)=2sin(x+)-cos x为奇函数,则=.(填写符合要求的一个值)15.(2022山东枣庄滕州高三检测)已知ABC的三个内角分别为A,B,C,且sin A,sin B,sin C成等差数列,则角B的取值范围是.16.(2022北京东城一模)某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示,线段AB表示角楼的高,C,D,E为三个可供选择的测量点,点B,C在同一水平面内,CD与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案,从以下六组几何量中选择三组进行测量,则可以选择的几何量的编号为.(只需写出一种方案)图1C,D两点间的距
5、离;C,E两点间的距离;由点C观察点A的仰角;由点D观察点A的仰角;ACE和AEC;ADE和AED.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2022四川成都郫都一中高三检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=23,b=2c.(1)求tan B;(2)求sin2C+6.18.(12分)(2022山东淄博一模)从2a-3c3b=cosCcosB,sinA-3sinCsinB+sinC=b-ca,asin Bsin C-bcos Acos C=32b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题.记ABC的内角A,B,
6、C的对边分别为a,b,c.若,求角B的大小.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)(2022江苏盐城模拟)已知函数f(x)=23sin xcos x-cos 2x(xR).(1)求函数f(x)在0,上的单调递增区间;(2)设0,3,且f()=65,求sin 2的值.20.(12分)(2022广东茂名一模)如图所示,遥感卫星发现海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75距离60海里处,小岛B北偏东15距离(303-30)海里处有一个小岛C.(1)求小岛A到小岛C的距离;(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航行的方向.21.(12分)(2022福建福州模拟
7、)记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin C=sin C+3cos C,A=3.(1)求c;(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件,判断该三角形是否存在?若存在,求出三角形的面积;若不存在,请说明理由.BC边上的中线长为22,AB边上的中线长为7,三角形的周长为6.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.22.(12分)(2022江苏金陵中学二模)已知四边形ABCD,A,B,C,D四点共圆,AB=5,BC=2,cosABC=-45.(1)若sinACD=55,求AD的长;(2)求四边形ABCD周长的最大值.专题检测一三角函数与解三角形1.B解析: 因为sin
8、(+)cos=-12,所以tan =12,所以tan 2=2tan1-tan2=2121-122=43.2.C解析: f(x)=2sinx3+4,故函数f(x)的最小正周期T=213=6,函数f(x)的最大值为2.故选C.3.C解析: 因为sin2 0213=sin53=-sin3=-32,cos2 0233=cos3=12,即M-32,12,所以cos =-32,则cos 2=2cos2-1=12.4.B解析: 因为cos2A2=b+c2c,所以1+cosA2=sinB+sinC2sinC=sinB2sinC+12,所以cos A=sinBsinC,即cos Asin C=sin B=sin
9、(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C=0,因为sin A0,所以cos C=0,因为C(0,),所以C=2,即ABC是直角三角形.5.B解析: 由题意,函数f(x)=cos 2x+sin2x+6=3sin2x+3,因为0x,所以32x+32+3,又由f(x)在(0,)上恰有2个零点,所以22+33,解得5643,所以的取值范围为56,43.6.A解析: f(x)=2sin2x-4+1,f(x)的图象先向左平移4个单位长度,然后再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)=2sin2x+4-4=2sin2x+2-14的图象,故g4=2sin24+2-14=
10、2sin4-14=0,所以4-14=k,kZ,=k+14,kZ,由于01,所以=14.7.B解析: 设塔高AB的高度为h m,在RtABC中,因为ACB=45,所以BC=h.在RtABD中,因为ADB=30,所以BD=3h.在BCD中,BCD=60,BC=h,BD=3h,根据余弦定理可得,BD2=BC2+CD2-2BCCDcos 60,即(3h)2=h2+602-2h6012,解得h=30或h=-60(舍去).8.D解析: 由图可知A=2,函数f(x)的最小正周期为T=4(5-3)=8,则=2T=4,f(5)=2sin54+=-2,得sin54+=-1,所以54+=32+2k(kZ),得=4+
11、2k(kZ),因为|1,得=4,所以f(x)=2sin4x+4,故A项错误;若要得到函数y=2sin4x的图象,需将f(x)的图象向右平移1个单位长度,故B项错误;f(-1)=2sin-4+4=0,故C项错误;f(x)的最小正周期为T=8,所以若|x1-x2|4=T2,则|f(x1)-f(x2)|BO,所以最小仰角为30.11.A解析: 因为f(x)=3sin 2x+cos 2x(0),所以f(x)=232sin 2x+12cos 2x=2sin2x+6,因为函数f(x)=3sin 2x+cos 2x(0)的零点依次构成一个公差为2的等差数列,所以1222=2,所以=1,所以f(x)=2sin
12、2x+6,把函数f(x)的图象沿x轴向右平移3个单位长度,得到g(x)=2sin2x-3+6=2sin2x-2=-2cos 2x的图象,即g(x)=-2cos 2x的图象,对于A,当x4,2时,2x2,因为y=cos x在2,上单调递减,所以g(x)在4,2上单调递增,故A正确;对于B,g2=-2cos22=-2cos 0,故2,0不是g(x)的对称中心,故B错误;对于C,g(x)为偶函数,故C错误;对于D,因为x6,23,所以2x3,43,所以cos 2x-1,12,所以g(x)-1,2,故D错误.12.B解析: 因为sin B+sin C=2sin A,所以b+c=2a.对于A和B,若c=
13、1,则b=2a-1,cos A=b2+c2-a22bc=3a2-4a+24a-2=12,解得a=1,ABC的面积S=12bcsin A=34,A正确,B错误;对于C,若b=2,则c=2a-2,cos A=b2+c2-a22bc=3a2-8a+88a-8=38a-1+1a-1+2-1382(a-1)1a-1+2-1=12,当且仅当a=2时,等号成立,所以A的最大值为3,C正确;对于D,若b=2,则根据三边长度关系可得a+cb,a+bc,即a+2a-22,a+22a-2,解得43a4,ABC的周长为a+b+c=3a,则43a12,故ABC周长的取值范围为(4,12),D正确.13.59解析: si
14、n-4=-sin4-=23,所以sin4-=-23,所以sin 2=cos2-2=cos24-=1-2sin24-=1-2-232=59.14.6(答案不唯一,符合题意均可)解析: f(x)=2sin(x+)-cos x=2(sin xcos +cos xsin )-cos x=2cos sin x+(2sin -1)cos x,因为f(x)为奇函数,且定义域为R,所以f(0)=0.所以2sin -1=0,即sin =12,所以=2k+6或=2k+56,kZ,所以的值可以是6.15.0,3解析: 因为2sin B=sin A+sin C,由正弦定理得b=a+c2,由余弦定理得cos B=a2+
15、c2-b22ac,将b=a+c2代入整理得cos B=38ac+ca-14,因为ac+ca2,当且仅当a=c时取“=”号,所以cos B=38ac+ca-1412,又因为0B,所以0B3.16.或解析: 经分析可知,若选,在ACD中,ACD=2-,ADC=2+,CAD=-,所以ACsin2+=CDsin(-),所以AC=cossin(-)CD,所以AB=ACsin =cossinsin(-)CD,其中各个量均已知.若选,已知ACE和AEC,则CAE=-ACE-AEC,由ACsinAEC=CEsinCAE=CEsin(ACE+AEC),所以AC=sinAECsin(ACE+AEC)CE,所以AB
16、=ACsin =sinAECsinsin(ACE+AEC)CE,其中各个量均已知.其他选择方案均不可求得AB长.17.解 (1)A=23,b=2c,A+B+C=,由正弦定理得sin B=2sin C,sin B=2sin3-B,化简得2sin B=3cos B,即tan B=32.(2)由tan B=32,B是锐角,且sin B=217.sin B=2sin C,sin C=2114.又b=2c,CB,C是锐角,cos C=5714.sin 2C=5314,cos 2C=1114.sin2C+6=sin 2Ccos6+cos 2Csin6=531432+111412=1314.18.解 若选:
17、2a-3c3b=cosCcosB,2sinA-3sinC3sinB=cosCcosB,2sin Acos B=3sin(B+C)=3sin(-A)=3sin A,sin A0,cos B=32,又0B,B=6.若选:sinA-3sinCsinB+sinC=b-ca,由正弦定理得a-3cb+c=b-ca,整理得b2=a2+c2-3ac,由余弦定理得cos B=32,又0B,B=6.若选:asin Bsin C-bcos Acos C=32b,sin Asin Bsin C-sin Bcos Acos C=32sin B,-cos(A+C)=cos B=32,又0B,B=6.19.解 (1)f(x
18、)=23sin xcos x-cos 2x=3sin 2x-cos 2x=2sin2x-6,由-2+2k2x-62+2k,可得-6+kx3+k,kZ,又x0,0x3,56x,函数f(x)在0,上的单调递增区间为0,3,56,.(2)f()=2sin2-6=65,可得sin2-6=35,0,3,则-62-62,cos2-6=1-sin22-6=45,因此sin 2=sin2-6+6=32sin2-6+12cos2-6=4+3310.20.解 (1)在ABC中,AB=60,BC=303-30,ABC=180-75+15=120,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=602+
19、(303-30)2-260(303-30)cos 120=5 400,AC=306,故小岛A到小岛C的距离是306海里.(2)根据正弦定理得ACsinABC=ABsinACB,306sin120=60sinACB,解得sinACB=22.在ABC中,ABC=120,ACB为锐角,ACB=45,CAB=180-120-45=15.由75-15=60,得游船应该沿北偏东60的方向航行.21.解 (1)由bsin C=sin C+3cos C得csin B=2sinC+3,又A=3,A+B+C=,所以csin B=2sin(-B)=2sin B,而0B,故sin B0,故c=2.(2)选,(方法一)
20、设BC边上的中线为AD,则AD=22,由cosADB=-cosADC,得AD2+BD2-AB22ADBD=-AD2+CD2-AC22ADCD,即12+a24-4=-12+a24-b2,即a2=2b2+6,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得a2=b2-2b+4,即b2+2b+2=0,该方程无实数解,故符合条件的三角形不存在.(方法二)设BC边上的中线为AD,则AD=12(AB+AC),两边平方得AD2=14(AB2+2ABAC+AC2),即12=144+22b12+b2,即b2+2b+2=0,易知该方程无实数解,故符合条件的三角形不存在.(方法三)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴
21、,建立直角坐标系.故C点坐标为bcos3,bsin3,即12b,32b,B点坐标为(2,0),所以BC边的中点坐标为1+14b,34b,由BC边上的中线长为22得1+14b2+34b2=222,整理得b2+2b+2=0,该方程无实数解,故符合条件的三角形不存在.选,设AB边上的中线为CF,则CF=7.在ACF中,由余弦定理得CF2=AF2+AC2-2ACAFcos A,即7=1+AC2-21ACcos3,整理得AC2-AC-6=0,解得AC=3或AC=-2(舍去),故ABC的面积S=12ACABsin A=123232=332.选,依题意得AB+BC+CA=6,由(1)知AB=2,所以BC+C
22、A=4,在ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+CA2-2ABCAcos A,所以CB2=22+CA2-2212CA,即CB2=4+CA2-2CA,所以(4-CA)2=4+CA2-2CA,解得BC=CA=2,所以ABC的面积S=12ACABsin A=122232=3.22.解 (1)在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=52+22-252-45=45,得AC=35.因为cosABC=-45,0ABC,所以sinABC=35.因为A,B,C,D四点共圆,所以ABC与ADC互补,所以sinADC=35,cosADC=45,在ACD中,由正弦定理得ADsinACD=ACsinADC,所以AD=ACsinACDsinADC=355535=5.(2)因为四边形ABCD的周长为DC+DA+BC+BA=DC+DA+7,在ACD中,由余弦定理得AC2=DA2+DC2-2DADCcosADC,即45=DA2+DC2-85DADC=(DA+DC)2-185DADC(DA+DC)2-185DA+DC22=110(DA+DC)2,所以(DA+DC)2450,所以DA+DC152,当且仅当DA=DC=1522时,(DA+DC)max=152,
