1、高考资源网（） 您身边的高考专家1(2015浙江，2，易)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A8 cm3B12 cm3C. cm3D. cm3【答案】C由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥组成的，其体积为V222222(cm3)，故选C.2(2015课标，6，易)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B.C. D.【答案】D如图，截去的是三棱锥AABD.设正方体棱长为1，则三棱锥体积为，剩余部分的体积为，所以三棱锥与剩余部分的体积比为，故选D.3(2015 北京，7，中)某四棱锥的三视图如
2、图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A1 B. C. D2【答案】C由三视图可知，四棱锥PABCD底面是边长为1的正方形，棱PA平面ABCD，且PA1，如图PC是该四棱锥的最长棱，PC.4(2015安徽，9，中)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是() A1B12C2D2【答案】C根据三视图可以得到如图所示几何体即侧面ABD底面BCD，且ABADBCCD.故四面体的表面积为S222.5(2015课标，11，中)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1 B2 C4 D8【答案】B由题意
3、可知，该几何体为个圆柱与半球拼接而成的组合体，应有1620，解得r2，选B.1(2012福建，4，易)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A球 B三棱锥C正方体 D圆柱【答案】D球的三视图均为圆；正方体的三视图均为正方形，排除A，C.而三条侧棱两两垂直且相等的三棱锥的三视图为全等的直角三角形，排除B.圆柱的正视图与侧视图均是矩形，俯视图为圆，故选D.2(2014课标，8，易)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥 B三棱柱C四棱锥 D四棱柱【答案】B由图可知该几何体为平放的直三棱柱，且上、下两底面为等腰直角三
4、角形，如图3(2011山东，11，中)如图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图其中真命题的个数是()A3 B2 C1 D0【答案】A如图的正(主)视图和俯视图都与题干中的相同，故3个命题都是真命题4(2014安徽，8，中)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A. B. C6 D7【答案】A由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体切去两个三棱锥，如图所示正方体体积为238，两个三棱锥体积为2111，所以该多面体的体积为8.5(2013山东，4，中)一个四棱锥的
5、侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A4，8 B4，C4(1)， D8，8【答案】B由题意知该四棱锥为正四棱锥，其底面边长为2，正四棱锥的高为2，故侧面三角形的高为.所以该四棱锥的侧面积为424，体积为222，故答案为B.6(2014课标，6，难)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C. D.【答案】C由三视图可知，该零件为两个圆柱的组合体，如图所示设该零件的体积为V1，原来毛坯
6、体积为V，削掉部分体积为V2，则V1449234，V9654，V2VV120，所以.7(2013陕西，12，中)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_【解析】由三视图可知，该几何体为半径r1的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面的面积，所以Sr24r2124123.【答案】38(2014北京，11，中)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_【解析】该几何体的直观图如图所示，由三视图知PA平面ABC，则PAAC2，ABC为等腰直角三角形PC2，ABBC，PB，最长棱为PC2.【答案】29(2014陕西，19，12分，中)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分
7、别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形解：(1)由题意，BDDC，BDAD，ADDC， BDDC2，AD1，AD平面BDC，四面体ABCD的体积V221.(2)证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，又平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理，EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形思路点拨：(1)证明AD平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；(2)证明四边形EFGH是平行四边形，EFFG，即可证明四边形EF
8、GH是矩形考向1三视图与直观图的辨识1空间几何体的三视图(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正(主)侧(左)一样高，正(主)俯一样长，侧(左)俯一样宽；看不到的线画虚线2用斜二测画法画几何体直观图的注意点(1)用斜二测画法画几何体直观图时，要注意原图与直观图中的“三变”、“三不变”：“三变”“三不变”(2)对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S之间的关系：SS，并能进行相关的计算(1)(2013四川，2)一个几何体
9、的三视图如图所示，则该几何体可以是()A棱柱 B棱台 C圆柱 D圆台(2)(2014湖北，7)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)给出编号为的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A和 B和C和 D和【解析】(1)(排除法)由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体不可能是棱柱或棱台，排除选项A，B，故选D.(2)在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(1，2，1)，D(2，2，2)，则四面体ABCD即为满足条件的四面体
10、，得出正视图和俯视图分别为和，故选D.【答案】(1)D(2)D【点拨】在解答第(2)题时容易因为对三视图不够了解而错选C，在三视图中，看不见的棱应该用虚线标出 由三视图还原直观图的方法(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体(2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线(3)想象物体原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体(2012湖南，4)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()【答案】CA中图是两个圆柱的组合体的俯视图；B中图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图；D中图
11、是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选C.考向2三视图与直观图的应用1常见几何体的三视图的形状(1)空间几何体的三视图中如果正(主)视图和侧(左)视图都是三角形，那么其一定是锥体，如果俯视图是多边形则是棱锥，多边形的边数是几，这个棱锥就是几棱锥，如果俯视图是圆则是圆锥(2)空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图如果都是矩形，这个空间几何体一定是柱体，如果俯视图是多边形，则该空间几何体是棱柱，多边形的边数是几就是几棱柱，如果俯视图是圆则是圆柱2明确三视图与几何体的数量关系正(主)视图、侧(左)视图的高就是空间几何体的高；正(主)视图、俯视图的长就是空间几
12、何体的最大长度；侧(左)视图、俯视图中的宽就是几何体的最大宽度(1)(2012北京，7)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A286 B306C5612 D6012(2)(2014重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A12 B18 C24 D30(3)(2015豫南九校第三次联考，14)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_【思路导引】(1)由三视图还原为直观图，再结合图形，求三棱锥的表面积；(2)先根据三视图判断出组合体的结构特征，再根据几何体的体积公式进行计算；
13、(3)【解析】(1)由三棱锥的三视图可得三棱锥的直观图如图所示过D作DMAC，连接BM.SACDACDM5410.SABCACBC5410.在CMB中，MCB90，BM5.由三视图知DM平面ABC，DMB90，DB，BCD为直角三角形，DCB90，SBCD5410.在ABD中，如图，SABD266，S表1010106306.故选B.(2)由三视图可知该几何体是由如图所示的直三棱柱ABCA1B1C1截掉一个三棱锥DA1B1C1得到的，其中AC4，BC3，AA15，AD2，BCAC，该几何体的体积VACBCAA1A1C1B1C1A1D43543330624.(3)如图，在直观图中，过点A作AEBC
14、，垂足为E.在RtABE中，AB1，ABE45，BE.而四边形AECD为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC1.由此可还原原图形如图在原图形中，AD1，AB2，BC1，且ADBC，ABBC，这块菜地的面积S(ADBC)AB22.【答案】(1)B(2)C(3)2 求与三视图有关的几何体的表面积或体积的步骤(1)以三视图为载体求几何体的表面积或体积时，需要对三视图进行适当分析，还原出空间几何体(2)根据三视图的形状与图中所给数据，以及“正(主)视图反映几何体的长和高，侧(左)视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”，确定原几何体中点、线、面的位置关系及主要线段的长度(3)利用相应的几何
15、体表面积或体积公式进行计算(2013重庆，8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A180 B200C220 D240【答案】D由三视图知该几何体是如图所示的四棱柱ABCDA1B1C1D1.21020，(323)1080，S四边形ABCD(28)420，10550，表面积2080220250240.1(2015河南南阳联考，5)已知一个三棱锥的俯视图与侧(左)视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正(主)视图可能为()【答案】C由已知条件得直观图如图所示，正(主)视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，
16、故选C.2(2015山西太原一模，5)一个正三棱柱的正(主)视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为()A6 B8C8 D12【答案】A该三棱柱的侧(左)视图为一个矩形，由“长对正，高平齐，宽相等”的原理知，其侧(左)视图的底边长为俯视图中正三角形的高，即为2，侧(左)视图的高为3，故其侧(左)视图的面积为S236，故选A.3(2014福建三明三模，4)如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C3 D3【答案】D由三视图可知，该几何体上部为直径为1的球，下部为底面边长为2，高为3的正三棱柱，其体积V2233，故选D.4(2014山东临沂二模，6)
17、具有如图所示的正(主)视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为()A13 B73C. D14【答案】D由正(主)视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或是水平放置的三棱柱，或水平放置的圆柱由图可知四棱柱的体积最大四棱柱的高为1，底面边长分别为1，3，表面积为2(131131)14，故选D.5(2015河北邯郸二模，6)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()A1 B2C3 D4【答案】D由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示(图中棱锥PABC)，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面全部是直角三角形故选
18、D.6(2015四川广元二模，5)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A8 B6 C10 D8【答案】C由三视图可知四面体的四个面均为直角三角形，底面两直角边长为3，4，其面积为6，一个侧面的两直角边长均为4，其面积为8，一个侧面的两直角边长为3，4，其面积为6，一个侧面的两直角边长为5，4，其面积为10，比较这四个值的大小可知应选C.7(2015湖北黄冈第六次测试，8)某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的是()A2 B2C2 D4【答案】C由三视图可知该四面体的直观图如图所示其中AC2，PA2，PC2，ABC中，边AC上的高为2，所以BC2，AB4
19、，而PB2，因此在四面体的六条棱中，长度最长的是BC，其值为2，选C.8(2014山东泰安模拟，14)图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h_cm.【解析】由三视图可知，该三棱锥的体积V56h20，解得h4.【答案】49(2014豫东、豫北十校联考，14)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_【解析】由三视图可知该几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成的，所以该几何体的体积VV柱V球Shr3213.【答案】10(2015山西四校联考，15)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为_【解析】设该三棱锥的外接球的半径是
20、R.依题意得，该三棱锥的形状如图所示，其中AB平面BCD，AB2，CD2，BCBD2，BCBD，因此可将其补形成一个棱长为2的正方体，则有2R2，R，所以该三棱锥的外接球体积为()34.【答案】41(2015山东，9，中)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C2 D4【答案】B依题意，曲面所围成的几何体为两圆锥的组合体，所求体积V2Sh2()2，故选B.2(2015课标，10，中)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64
21、 C144 D256【答案】C设球O的半径为R，由题知当OC平面OAB时，三棱锥OABC的体积最大，VOABCR336，所以R6，所以S球4R2144.3(2015课标，6，中)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛C36斛 D66斛【答案】B设米堆所在圆锥的底面圆的半径为r，则8423r，解得r
22、，所以米堆的体积为，估算出堆放的米约有1.6222(斛)选B.4(2015湖南，10，难)某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为()A. B.C. D.【答案】A由三视图可知，工件为圆锥，底面半径r1，h2，V1.作圆锥内接正方体的轴截面设正方体边长为a，则.解得a.所以V2.所以利用率为.5(2015江苏，9，中)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_【解析
23、】设新的底面半径为r，根据题意得524228r248r2，即28r2196，r.【答案】6(2015课标，19，12分，中)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值解：(1)如图，交线围成的正方形EHGF，(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6， AH10，HB6.因为长方体被平面
24、分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确) 1(2014四川，4，易)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是()(锥体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高)A3 B2 C. D1【答案】D由俯视图可知，三棱锥底面是边长为2的等边三角形由侧视图可知，三棱锥的高为.故该三棱锥的体积V21.2(2012课标全国，8，中)平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A. B4 C4 D6【答案】B如图，设平面截球O所得圆的圆心为O1，则|OO1|，|O1A|1，球的半径R|OA|. 球的体积VR34.故选B.3(2014湖北，10，中)算数
25、书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A. B. C. D.【答案】B设圆锥底面半径为r，则2rL，r.圆锥的体积Vr2hh，12，故选B.4(2014大纲全国，10，中)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D.【答案】A由题意易知，球心在正四棱
26、锥的高上，设球的半径为R，则(4R)2()2R2，解得R，所以球的表面积为4，故选A.5(2013天津，10，中)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的体积为，则正方体的棱长为_【解析】设正方体的棱长为a，则正方体的外接球半径Ra.因为球的体积为，所以R3，即Ra，所以a.【答案】6(2014江苏，8，中)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是_【解析】设甲、乙两个圆柱底面半径和高分别为r1，h1，r2，h2，则2r1h12r2h2，.又，所以，则.【答案】7(2012山东，13，中)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，
27、E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_【解析】由题意得B1C平面ADD1A1，E到平面ADD1A1的距离d为定值1，VADED1VED1DASD1DAd1.【答案】8(2013课标，15，难)已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_【解析】设底面中心为E，则|AE|AC|，体积V|AB|2|OE|OE|，|OA|2|AE|2|OE|26.从而以O为球心，OA为半径的球的表面积S4|OA|224.【答案】249(2014福建，19，12分，中)如图，三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD.(1)求证：CD平面ABD；(2)若ABBDC
28、D1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积解：(1)证明：AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.又CDBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，CD平面ABD.(2)方法一：由AB平面BCD，得ABBD，ABBD1，SABD.M是AD的中点，SABMSABD.由(1)知，CD平面ABD，三棱锥CABM的高hCD1，因此三棱锥AMBC的体积VAMBCVCABMSABMh.方法二：由AB平面BCD知，平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCDBD，如图，过点M作MNBD交BD于点N，则MN平面BCD，且MNAB.又CDBD，BDCD1，SBCD.三棱锥AMBC的体积VAMBCVABC
29、DVMBCDABSBCDMNSBCD.思路点拨：本题(2)中三棱锥体积VSh，但要注意转换顶点和底面，对于本题，可将SABM求出，高即为CDh，代入公式可求得，也可借助图中关系，利用VAMBCVABCDVMBCD求得考向1空间几何体的表面积1多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和2旋转体的侧面积和表面积(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧2rl，S表2r(rl)(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧rl，S表r(rl)(3)若圆台的上、下底面半径分别为r，r，母线长为l，则S侧(rr)l，S表(r2
30、r2rlrl)(4)若球的半径为R，则它的表面积S4R2.(1)(2014陕西，5)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4 B3 C2 D(2)(2013课标，15)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_【思路导引】(1)所得几何体为圆柱，求出底面半径和母线后即可求侧面积；(2)根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积【解析】(1)由题意可知该几何体是底面半径r1，母线l1的圆柱，故S侧2rl2112.故选C.(2)平面截球O所得截面
31、为圆面，圆心为H，设球O的半径为R，则由AHHB12得OHR，由圆H的面积为，得圆H的半径为1，所以12R2，得R2，所以球O的表面积S4R24.【答案】(1)C(2) 1.几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和(3)规则几何体：若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解2旋转体侧面积的求法计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形
32、来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法(2014山东，13)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_【解析】由题意，底面正六边形面积S6.设六棱锥高为h，则体积VSh，所以26h，即h1，侧面的斜高为2，侧面积S侧62212.【答案】12考向2空间几何体的体积空间几何体的体积公式几何体名称体积棱(圆)柱VSh(S为底面面积，h为高)棱(圆)锥VSh(S为底面面积，h为高)棱(圆)台V(SS)h(S，S为上、下底面面积，h为高)球VR3(R为球半径)(1)(2014课标，7)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长
33、为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A3 B. C1 D.(2)(2013课标，6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.cm3 B.cm3C.cm3 D.cm3【解析】(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，ADBC，AD平面B1DC1，VAB1DC1SB1DC1AD21，故选C.(2)设球的半径为R，则球的截面圆的半径是4，且球心到该截面的距离是R(86)R2，故R2(R2)242R5.VR3(cm3)【答案】(1)C(2)A【点拨】解题(1
34、)的关键是正确画出图形，熟记棱锥的体积公式；解题(2)关键是由球的截面圆性质建立关于R的方程，求出R. 求几何体体积的类型及思路(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积转换法和割补法进行求解其中，等积转换法多用来求锥体的体积(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解(2013浙江，5)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A108 cm3 B100 cm3C92 cm3 D84 cm3【答案】B由三视图可知，该几何体是一个长方体截去了一个
35、三棱锥，结合所给数据，可得其体积为663443100(cm3)，故选B.1(2015河南洛阳统一考试，8)某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为()A12 B24 C24 D12【答案】A由三视图知该几何体为一个正四棱台，侧面梯形的上底长为2，下底长为4，高为正(主)视图梯形的腰长，即为，则棱台的侧面积为412，故选A.2(2014广东中山模拟，4)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60的扇形，则该几何体的体积为()A. B. C D2【答案】D由三视图可知，该几何体为柱体，底面是半径为2，中心角为60的扇形，所以该几何体的体积V2232，故选D.3(2014山东
36、威海二模，7)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A180 B240 C276 D300【答案】B由三视图可知，该几何体是在一个棱长为6的正方体的上方放置一个正四棱锥所形成的组合体，因此其表面积为562465240.故选B.4(2015四川绵阳一模，7)如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()A. B.C. D.【答案】D蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，鸡蛋的表面积为4，所以球的半径为1，所以球心到
37、截面的距离为d.而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为.5(2014安徽六校联考，8)如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A. B.C. D.【答案】A方法一：如图，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，锥高，柱高1，AG，取AD中点M，则MG，SAGD1，V12.方法二：如图所示，取EF中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥PABCD为棱长
38、为1的正四棱锥V122.6(2015辽宁沈阳一模，6)已知四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB平面ABC，ABAC，且AC1，PBAB2，则球O的表面积为()A7 B8 C9 D10【答案】CPB平面ABC，ABAC，在四面体的基础上构造长方体如图，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即2R3，R，球O的表面积S4R249.故选C.7(2015山东青岛一模，13)如图所示是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为_【解析】观察三视图可知，该四棱锥底面为直角梯形，有一侧面垂直于底面，几何体高为2，几何体体积为(222)224.【答案】48(2014江
39、苏南京一模，8)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，侧棱PA底面ABCD，PA2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为_【解析】由于四边形ABCD是菱形，所以以EB为底边的CBE的高hADsin 602，从而四面体PBCE的体积VPBCEVCPBE12.【答案】方法点拨：求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式VSh进行计算即可常用方法有割补法和等体积变换法本题使用了等积变换法9(2015河南驻马店调研，13)在三棱柱ABCABC中，已知AA平面ABC，AA2，BC2，BAC，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为_【解析】依题意可知，球心到平
40、面ABC的距离为AA1，平面ABC所在圆的半径为BC，则球的半径为2，则球的体积为23.【答案】10(2014宁夏银川质检，10)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球表面积等于_【解析】设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab8，此时2a2b48，当且仅当ab2时等号成立此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是42216.【答案】1611(2015河北邢台调研，19，12分)某几何体ABCA1B1C1的三视图和直观图如图所示(1)求证：平面
41、AB1C1平面AA1C1C；(2)若E是线段AB1上的一点，且满足VEAA1C1VABCA1B1C1，求AE的长解：(1)证明：由三视图可知，几何体ABCA1B1C1为三棱柱，侧棱AA1底面A1B1C1，B1C1A1C1，且AA1AC4，BC2.AA1底面A1B1C1，B1C1平面A1B1C1，AA1B1C1，B1C1A1C1，AA1A1C1A1，B1C1平面AA1C1C.又B1C1平面AB1C1，平面AB1C1平面AA1C1C.(2)过点E作EFB1C1交AC1于F，由(1)知，EF平面AA1C1C，即EF为三棱锥EAA1C1的高VEAA1C1VABCA1B1C1，SAA1C1EFSABCA
42、A1，EF4，解得EF.在RtABC中，AB2，在RtABB1中，AB16，由，得AEAB12.1(2015浙江，4，易)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m.()A若l，则 B若，则lmC若l，则 D若，则lm【答案】AA选项正确B选项中，l与m可能平行，如图所示 C选项中，与可能相交，如图所示 D选项中，l与m可能异面，如图所示 2(2015 广东，6，中)若直线l1与l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交【答案】
43、D选项A中，直线l1，l在同一平面内，l1与l不相交则一定平行，即l1l；同理，由l2与l不相交得l2l.故l1l2，这与已知l1，l2是异面直线相矛盾，排除A.选项B中，l与l1，l2中的一条相交时也能满足条件，排除B.选项C中，至多与一条直线相交，包含与l1，l2都不相交，错误，排除C.选D.1(2014广东，9，易)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定【答案】D不妨令l1，l2，l3分别为如图所示正方体的棱所在的直线若l4为直线B1C1，则
44、有l1l4；若l4为直线BB1，则l1l4；若l4为直线B1C，则l1与l4异面，故l1与l4的位置关系不确定故选D.2(2013浙江，4，易)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若m，n，则mn B若m，m，则C若mn，m，则n D若m，则m【答案】C逐项判断，选项A中的m，n可以相交，也可以异面；选项B中的与可以相交；选项D中的m与的位置关系可以是平行、相交、m在内，故选C.3(2012重庆，9，中)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()A(0，) B(0，) C(1，) D(1，)【答案】A构造四面体ABCD，如图，使
45、ABa，CD，ADACBCBD1，取CD的中点E，则AEBE，a，0a，故选A.4(2013北京，8，中)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有()A3个 B4个 C5个 D6个【答案】B如图，过P作平面A1B1C1D1，ABCD的垂线分别交D1B1，DB于E，F点，易知P也是EF的三等分点，设正方体的棱长为a，则PA1PC1a；PD1a，PBa；PB1a，PAPCa，PDa.故有4个不同的值故选B.思路点拨：解答本题的关键是过点P作平面A1B1C1D1，平面ABCD的垂线，找出垂足，构造直角三角形求解5(2012大纲全国，16，中)
46、已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_【解析】如图，连接A1E，则A1ED1F，AEA1为异面直线AE与D1F所成的角设正方体的棱长为2，则A1EAE，cos AEA1，异面直线AE与D1F所成角的余弦值为.【答案】6(2013江西，15，中)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_【解析】取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内所以直线EF与正方体的前、
47、后侧面及上、下底面所在平面相交故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.【答案】47(2013安徽，15，难)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0CQ时，S为四边形当CQ时，S为等腰梯形当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R当CQ1时，S为六边形当CQ1时，S的面积为【解析】如图(1)，当CQ时，平面APQ与平面ADD1A1的交线AD1必平行于PQ，且D1QAP，S为等腰梯形，正确；同理，当0CQ时，S为四边形，正确； 图(1)如
48、图(2)，当CQ时，将正方体ABCDA1B1C1D1补成底面不变，高为1.5的长方体ABCDA2B2C2D2.Q为CC2的中点，连接AD2交A1D1于点E，易知PQAD2，作ERAP，交C1D1于R，连接RQ，则五边形APQRE为截面S.延长RQ，交DC的延长线于F，同时与AP的延长线也交于F，由P为BC的中点，PCAD，知CFDF1，由题意知RC1Q FCQ，C1R，正确；由图(2)知当CQ1时，S为五边形，错误；当CQ1时，点Q与点C1重合，截面S为边长为的菱形，对角线AQ，另一条对角线为，S，正确图(2)【答案】8(2014安徽，19，13分，中)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的
49、正方形，四条侧棱长均为2，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积解：(1)证明：因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面内，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD
50、平面GEFHGK.所以POGK，且GK底面ABCD，从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K为OB的中点再由POGK得GKPO，即G是PB的中点，所以GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.考向1空间中点、线、面位置关系的判断1平面的基本性质的应用(1)公理1：证明“点在面内”或“线在面内”(2)公理2及三个推论：证明两个平面重合，用来确定一个平面或证明“点线共面”(3)公理3：确定两个面的交线，尤其是画截面图或补体时用到，证明“三点共线”“三线共点”要证明“点共线”可将线看作两个平面的
51、交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线2空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系相交关系独有关系(1)(2014辽宁，4)已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n(2)(2012四川，6)下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【
52、解析】(1)对于选项A，m与n还可以相交或异面；对于选项C，还可以是n；对于选项D，还可以是n或n或n与相交(2)对于命题A，这两条直线可以相交或为异面直线，A错误；对于命题B，这两个平面可以相交，B错误；对于命题D，这两个平面还可能相交，D错误；而由线面平行的性质定理可证C正确故选C.【答案】(1)B(2)C【点拨】解题(1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断，注意空间位置关系的各种可能情况解题(2)时要注意充分利用正方体(或长方体)模型辅助空间想象 解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过
53、转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题(2011四川，6)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【答案】BA选项，l1l2，l2l3，则l1与l3的位置关系可能是相交、平行或异面；B选项正确；C选项，l1l2l3，则l1，l2，l3既可能共面，也可能异面；D选项，如长方体共顶点的三条棱为l1，l2，l3，但这三条直线不共面考向2异面直线所成的角1两条
54、异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角若记这个角为，则.2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面(1)(2014大纲全国，4)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A. B.C. D.(2)(2014湖南，18，12分)如图，已知二面角MN的大小为60，菱形ABCD在面内，A，B两点在棱MN上，BAD60，E是AB的
55、中点，DO面，垂足为O.证明：AB平面ODE；求异面直线BC与OD所成角的余弦值【解析】(1)如图，取AD的中点F，连接CF，EF，则EFBD，CEF即为异面直线CE与BD所成的角设正四面体的棱长为2，则CECF，EFBD1.由余弦定理得cosCEF.CE与BD所成角的余弦值为.故选B.(2)证明：如图，DO，AB，DOAB.连接BD，由题设知，ABD是正三角形又E是AB的中点，DEAB.而DODED，故AB平面ODE.因为BCAD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即ADO是异面直线BC与OD所成的角由知，AB平面ODE，所以ABOE.又DEAB，于是DEO是二面角MN的平面角，
56、从而DEO60.不妨设AB2，则AD2.易知DE.在RtDOE中，DODEsin 60.连接AO，在RtAOD中，cosADO.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.【点拨】解题(1)的关键是选取合适的点作出异面直线的平行线解题(2)时应注意异面直线所成的角归结到一个三角形里特别为直角三角形 求异面直线所成角的方法(1)作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条、平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上(2)证：证明作出的角为所求角(3)求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内
57、角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角(2011大纲全国，15)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_【解析】如图，取A1B1的中点F，连接EF，AF，可得EFBC，则AEF为异面直线AE与BC所成的角设正方体的棱长为2，则在RtAFE中，EF2，AF，AE3，所以cosAEF.【答案】1(2015江西赣州四所中学联考，2)若平面平面，点A，C，B，D，则直线AC直线BD的充要条件是()AABCDBADCBCAB与CD相交DA，B，C，D四点共面【答案】D因为平面平面，要使直线AC直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，
58、C，D四点必须共面2(2014山西太原调研，3)已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行【答案】C若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知ab，与a，b异面矛盾故直线c至少与a，b中的一条相交3(2014福建二校第四次联考，7)设l， m，n表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：若ml，且m，则l；若ml，且m，则l；若l，m，n，则lmn；若m，l，n，且n，则lm.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4【答案】B对，两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条
59、也与这个平面垂直，故正确；对，直线l可能在平面内，故错误；对，三条交线除了平行，还可能相交于同一点，故错误；对，结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确综上正确故选B.4(2014江西七校联考，3)已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面【答案】D依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.5(2015浙江嘉兴质检，5)对于空间的两条直线m，n和一个平面，下列命题中的真命题是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n，则mn【答案】D对A，
60、直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确6(2015四川泸州一模，13)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_【解析】由于ACA1C1，所以BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角在BA1C1中，A1B，A1C11，BC1，cosBA1C1.【答案】7(2015河南郑州二模，15)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行
61、；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_【解析】如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DE与MN垂直故正确【答案】8(2015山东临沂一模，13)在三棱锥SACB中，SABSACACB90，AC2，BC，SB，则SC与AB所成角的余弦值为_【解析】如图，取BC的中点E，分别在平面ABC内作DEAB，在平面SBC内作EFSC，则异面直线SC与AB所成的角为FED，过F作FGAB，连接DG，则DFG为直角三角形由题知AC2，BC，SB，可得DE，EF2，DF.在DEF中，由余弦定理可得
62、cosFED.【答案】9(2014湖南长沙质检，17，12分)直三棱柱ABCA1B1C1的底面为等腰直角三角形，BAC90，ABAC2，AA12，E，F分别是BC，AA1的中点求：(1)异面直线EF和A1B所成的角；(2)三棱锥AEFC的体积解：(1)如图，取AB的中点D，连接DE，DF，则DFA1B，DFE(或其补角)即为所求由题意知，DF，DE1，AE，由DEAB，DEAA1得DE平面ABB1A1，DEDF，即EDF为直角三角形，tanDFE，DFE30，即异面直线EF和A1B所成的角为30.(2)VAEFCVFAECSAECFA.思路点拨：解决此类问题的基本思路为：一找、二证、三求解题(
63、2)时注意等积转化1(2015江苏，16，14分，中)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC
64、1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.2(2015 北京，18，14分，中)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为OM平面MOC，VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OC
65、AB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等边三角形VAB的面积SVAB.又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.1(2013广东，8，易)设l为直线，是两个不同的平面下面命题中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则 D若，l，则l【答案】B如图，画出一个长方体ABCDA1B1C1D1.对于A，C1D1平面ABB1A1，C1D1平面ABCD，但平面ABB
66、1A1与平面ABCD相交；对于C，BB1平面ABCD，BB1平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB1A1平面ABCD，CD平面ABB1A1，但CD平面ABCD.故选B.2(2011福建，15，中)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_【解析】直线AC是过EF的平面ABCD与平面AB1C的交线，EF平面AB1C，EFAC.E为AD的中点，F为CD的中点AB2，DEDF1，EF.【答案】3(2013江苏，16，14分，易)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，A
67、SAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.证明：(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因为BC平面SBC，所以AFBC.又因为ABBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因为SA平面SAB，所以BCSA.4(2014山东，18，12分，中)
68、如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC的中点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.证明：(1)如图，设ACBEO，连接OF，EC，由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC的中点，因此在PAC中，可得APOF，又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC，EDBC，所以四边形BCDE为平行四边形，因此BECD.又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，
69、AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.5(2014课标，18，12分，中)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离解：(1)证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)VPAABADAB.由V，可得AB.作AHPB交PB于H.由题设知BC平面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC.又AH.所以A到平面PBC的距离为.6(201
70、4四川，18，12分，中)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形(1)若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论解：(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC，所以AA1BC.又ACBC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以直线BC平面ACC1A1.(2)如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O
71、为A1C，AC1的交点由已知可知O为AC1的中点连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEOM.因为直线DE平面A1MC，OM平面A1MC，所以直线DE平面A1MC，即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.7(2013辽宁，18，12分，中)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点(1)求证：BC平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.证明：(1)由AB是圆O的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平
72、面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC.所以BC平面PAC.(2)如图，连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC的中点由Q为PA的中点，得QMPC.又O为AB的中点，得OMBC.因为QMMOM，QM平面QMO，MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.8(2013福建，18，12分，难)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥PABCD的正视图(
73、要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM平面PBC；(3)求三棱锥DPBC的体积解：(1)如图，在梯形ABCD中，过点C作CEAB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AECD3，CEAD4，在RtBEC中，由BC5，CE4，依勾股定理得BE3，从而AB6.又由PD平面ABCD得，PDAD，从而在RtPDA中，由AD4，PAD60，得PD4.正视图如图所示(2)证明：方法一：如图，取PB的中点N，连接MN，CN.在PAB中，M是PA的中点，MNAB，MNAB3，又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四边形MNCD为平行四边形，DMCN.又DM平面PBC，CN平
74、面PBC，DM平面PBC.方法二：如图，取AB的中点E，连接ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四边形BCDE为平行四边形，DEBC.又DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.又在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC，又DEMEE，平面DME平面PBC.又DM平面DME，DM平面PBC.(3)VDPBCVPDBCSDBCPD，又SDBC6，PD4，所以VDPBC8.考向1线面平行的判定与性质直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为线线平行线面
75、平行)l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为线面平行线线平行)ab直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可；线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法(2014北京，17，14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积【思路导引】(1)利用已知条件转化为证明AB平面B1BCC1；(2)取AB的中点G，构造四边形FGEC1，证明其为平行四边形，从而得证；(
76、3)根据题中数据代入公式计算即可【解析】(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.所以BB1AB.又因为ABBC，所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明：如图，取AB中点G，连接EG，FG.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.因为ACA1C1，且ACA1C1，E为A1C1的中点，所以FGEC1，且FGEC1.所以四边形FGEC1为平行四边形所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112. 1.证明
77、线面平行问题的思路(一)(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；(2)证明线线平行；(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行2证明线面平行问题的思路(二)(1)在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；(2)利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；(3)证明所作平面与所证平面平行；(4)转化为线面平行(2013广东，18，13分)如图，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起，得到如图所示的三棱锥ABCF，其中BC.(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面AB
78、F；(3)当AD时，求三棱锥FDEG的体积解：(1)证明：在等边三角形ABC中，ADAE，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，DEBC.DE平面BCF，BC平面BCF，DE平面BCF.(2)证明：由图，在等边三角形ABC中，F是BC的中点，AFBC，在三棱锥中仍有AFCF，BFCF.在三棱锥ABCF中，BC，BC2BF2CF2，CFBF.又BFAFF，CF平面ABF.(3)由(1)可知GECF，结合(2)可得GE平面DFG.VFDEGVEDFGDGFGEG.考向2面面平行的判定与性质平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两
79、个平面平行(简记为线面平行面面平行)性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行ab平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行(2013陕西，18，12分)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O底面ABCD，ABAA1.(1)证明：平面A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积【解析】(1)证明：由题设知，BB1綊DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1綊B1C1綊BC，四边形A1
80、BCD1是平行四边形，A1BD1C.又A1B平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1.又SABD1，VABDA1B1D1SABDA1O1.【点拨】解题(1)需将面面平行关系转化为线面平行，再转化为线线平行，通过取特殊四边形来完成证明；解题(2)的关键是选易求高的底面，利用线面垂直的判定找高 1.判定面面平行的四个方法(1)利用定义：即判断两个平面没有公共点(2)利用面面平行的判定定理(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时
81、平行于第三个平面，则这两个平面平行2平行问题的转化关系(2014东北十校联考，18，12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC上一点，且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明：如图，连接A1C交AC1于点E，连接ED.四边形A1ACC1是平行四边形，E是A1C的中点A1B平面AC1D，平面A1BC平面AC1DED，A1BED.E是A1C的中点，D是BC的中点又D1是B1C1的中点，D1C1綊BD，四边形BDC1D1为平行四边形，BD1C1D.又A1BBD1B，DEDC1D，平面A1BD1平面AC1D.1(2015河北保定一模，4)有下列命题若
82、直线l平行于平面内的无数条直线，则直线l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，b，则a；若直线ab，b，则a平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4【答案】A命题l可以在平面内，不正确；命题直线a与平面可以是相交关系，不正确；命题a可以在平面内，不正确；命题正确2(2014山东滨州一模，6)已知m，n，l1，l2表示直线，表示平面若m，n，l1，l2，l1l2M，则的一个充分条件是()Am且l1 Bm且nCm且nl2 Dml1且nl2【答案】D由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知.故选D.3(2015广东
83、东莞二模，5)已知m，n是两条直线，是两个平面，给出下列命题：若n，n，则；若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则；若m，n为异面直线，n，n，m，m，则.其中正确命题的个数是()A3个 B2个 C1个 D0个【答案】B若n，n，则n为平面与的公垂线，则，故正确；若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，三点可能在平面的异侧，此时与相交，故错误；若n，m为异面直线，n，n，m，m，根据面面平行的判定定理，可得正确故选B.4(2015河南周口一模，14)已知平面平面，P是，外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交于A，B，交于C，D，且PA6，AC9，AB8，则CD的长为_【解析】若P在，的同
84、侧，由于平面平面，故ABCD，则，可求得CD20；若P在，之间，则可求得CD4.【答案】20或45(2015湖南长沙一中模拟，14)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ_【解析】平面A1B1C1D1平面ABCD，而平面B1D1P平面ABCDPQ，平面B1D1P平面A1B1C1D1B1D1，B1D1PQ.又B1D1BD，BDPQ，设PQABM，ABCD，APMDPQ.2，即PQ2PM.又知APMADB，PMBD，又BDa，PQa.【答案】a6(2015福建泉州一模，14)如图，四棱锥PA
85、BCD的底面是一直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为_【解析】如图，取PD的中点F，连接EF，AF，在PCD中，EF綊CD.又ABCD且CD2AB，EF綊AB，四边形ABEF是平行四边形，EBAF.又EB平面PAD，AF平面PAD，BE平面PAD.【答案】平行7(2015山东潍坊质检，18，12分)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，侧面PBC内有BEPC于点E，且BEa，试在AB上找一点F，使EF平面PAD.解：在平面PCD内作EGPD于G，连接AG.PA底面ABCD，PACD.又CDAD
86、，BCAB，CD平面PAD，BC平面PAB，CDPD，PBBC，CDEG.又ABCD，EGAB.若有EF平面PAD，则EFAG，四边形AFEG为平行四边形，EGAF.CEa，且PBC为直角三角形，BC2CECP，CPa.又.故存在点F，当AFFB21时，EF平面PAD.8(2014河南洛阳二模，19，12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，BAD90，BC2AD，AC与BD交于点O，点M，N分别在线段PC，AB上，2.(1)求证：平面MNO平面PAD；(2)若平面PAD平面ABCD，PDA60，且PDDCBC2，求几何体MABC的体积解：(1)证明：在梯形ABCD
87、中，ADBC，2.又2，ONBCAD.AD平面PAD，ON平面PAD，ON平面PAD.在PAC中，2，OMAP.AP平面PAD，OM平面PAD，OM平面PAD.OM平面OMN，ON平面OMN，且OMONO，平面MNO平面PAD.(2)在PAD中，PA2PD2AD22PDADcosPDA2212221cos 603，PA2AD2PD2，即PAAD.又平面PAD平面ABCD，PA平面ABCD，又由(1)知OMAP，OM平面ABC.且OMAP，在梯形ABCD中，DCBC2AD2，BAD90，AB，ABC的面积SABBC.几何体MABC的体积VSOM.9(2014江苏南通三模，17，14分)如图所示，
88、斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点(1)当等于何值时，BC1平面AB1D1?(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值解：(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时1.连接A1B，交AB1于点O，连接OD1. 由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，点O为A1B的中点在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，OD1BC1.又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1平面AB1D1.当1时，BC1平面AB1D1.(2)由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O得BC1D1
89、O，又由题可知，1，1，即1.1(2015山东，18，12分，中)如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.证明：(1)方法一：连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点又H为BC的中点，所以HMBD.又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.方法二：在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形HBEF为平行四边
90、形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.2(2015课标，18，12分，中)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(
91、2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解：(1)因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3.故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.3(2015浙江，18，15分
92、，中)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值解：(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接AE，A1E，DE，由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE.因为ABAC，所以AEBC.故AE平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以四边形AA1DE为平行四边形于是A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)如图，作A1FDE，垂足为F，连接BF，
93、因为A1E平面ABC，所以BCA1E.因为BCAE，所以BC平面AA1DE.所以BCA1F，所以A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角由ABAC2，CAB90，得EAEB.由A1E平面ABC，得A1AA1B4，在RtA1EB中，A1E.由DEBB14，A1DAE，DA1E90，由A1EA1DA1FDE，得A1F.所以sinA1BF.4(2015湖北，20，13分，中)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，点E是PC的中点，连接
94、DE，BD，BE.(1)证明：DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值解：(1)因为PD底面ABCD，所以PDBC.由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.又DE平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别为BCD，BCE，DEC，DEB.(2
95、)由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1SABCDPDBCCDPD；由(1)知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以V2SBCEDEBCCEDE.在RtPDC中，因为PDCD，点E是PC的中点，所以DECECD，于是4.1(2014浙江，6，易)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m【答案】CA选项中还可能m或m与相交或m；B选项中还可能m或m或m与相交；D选项中还可能m或m或m与相交，故选C.2(2011大纲全国，8，易)已知直二面角l，点A ，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则C
96、D()A2 B. C. D1【答案】C由题意得AB2AC2CD2BD2，即41CD21，解得CD，故选C.3(2012安徽，15，中)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD，ACBD，ADBC，则_(写出所有正确结论的编号)四面体ABCD每组对棱相互垂直四面体ABCD每个面的面积相等从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长【解析】把四面体ABCD放置在如图所示的长方体中，显然命题错误；因为四个面对应的三角形的三边分别对应相等，即它们为全等的三角形，
97、所以正确；当四面体ABCD为正四面体时，夹角之和等于180，所以错误；因为每组对棱中点的连线分别与长方体的棱平行，且都经过长方体的中心，所以正确；而命题显然成立【答案】4(2014广东，18，13分，中)如图，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2.作如图折叠；折痕EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积解：(1)证明：PD平面ABCD，PD平面PCD，平面PCD平面ABCD.平面PCD平面ABCDCD，MD平面ABCD，MDCD，MD平面PCD.CF平面P
98、CD，CFMD，又CFMF，MD，MF平面MDF，MDMFM，CF平面MDF.(2)CF平面MDF，CFDF.又易知PCD60，CDF30，从而CFCD.EFDC，即，DE，PE，SCDECDDE.MD，VMCDESCDEMD.5(2014课标，19，12分，中)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.(1)证明：B1CAB；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高解：(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，
99、故B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)作ODBC，垂足为D，连接AD，作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，所以OH平面ABC.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又BC1，可得OD.由于ACAB1，所以OAB1C.由OHADODOA，且AD，得OH.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABCA1B1C1的高为.6(2013山东，19，12分)如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点(1)求证：CE平面PA
100、D；(2)求证：平面EFG平面EMN.证明：(1)方法一：如图，取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EHAB，EHAB.又ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD.因此四边形DCEH是平行四边形所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此，CE平面PAD.方法二：如图，连接CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD.又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形因此CFAD.又CF平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面
101、CEF，所以CE平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理，可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD.又ABCD.所以MNAB.因此MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.7(2011重庆，20，12分，中)如图，在四面体ABCD中，平面ACD平面ABC，ABBC，ACAD2，BCCD1.(1)求四面体ABCD的体积；(2)求二面角CABD的平面角的正切值解：(1)如图，过点D作DEAC于点E，平面ACD平面ABC且平面ACD平面ABCA
102、C，DE平面ABC，DE为四面体DABC的高取CD的中点G，ACAD2，AGCD.又CD1，CG.AG.SACDCDAGACDE.即12DE，DE.又在RtABC中，BC1，AC2，AB，SABC1，四面体ABCD的体积V.(2)如图，过点E作EFAB，垂足为F，由(1)知DE平面ABC.DEAB.又EFDEE，AB平面DEF，又DF平面DEF，得DFAB，EFD即为二面角CABD的平面角在RtADE中，DE，AD2，AE.又EFAB，BCAB，EFBC，即EF，在RtDEF中，tanDFE.8(2012课标全国，19，12分，中)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，
103、ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比解：(1)证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意得V111.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为11.9(2013浙江，20，15
104、分，难)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABBC2，ADCD，PA，ABC120，G为线段PC上的点(1)证明：BD平面APC；(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；(3)若G满足PC平面BGD，求的值解：(1)证明：如图，设点O为AC，BD的交点由ABBC，ADCD，得BD是线段AC的中垂线O为AC的中点，且BDAC.又PA平面ABCD，BD平面ABCD.PABD.BD平面APC.(2)如图，连接OG.由(1)可知OD平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，OGD是DG与平面APC所成的角在ABC中，AC2.OCAC.在RtOCD中，OD2.G，O分
105、别PC，AC的中点，GOPA，在RtOGD中，tanOGD.DG与平面APC所成角的正切值为.(3)如图，连接OG，PC平面BGD，OG平面BGD，PCOG.PACOGC.在RtPAC中，得PC，GC.从而PG，.考向1线面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab(2014重庆，20，12分)如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM.(1)证明：BC平面POM；(2)若MPAP，求四棱锥
106、PABMO的体积【思路导引】(1)由余弦定理、勾股定理等知识先证OMBM，再由线面垂直的判定定理证明；(2)将底面四边形ABMO分为ABO与MBO来求面积，根据(1)中结果，利用勾股定理、余弦定理求出PO，代入棱锥的体积公式求解【解析】(1)证明：如图，连接OB，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，所以AOOB.因为BAD，故OBABsinOAB2sin1.又因为BM，且OBM，在OBM中，OM2OB2BM22OBBMcosOBM1221cos.所以OB2OM2BM2，故OMBM.又PO底面ABCD，所以POBC.又OM平面POM，PO平面POM，OMPOO，所以BC平面POM.(2)由(
107、1)可得，OAABcosOAB2cos.设POa，由PO底面ABCD知，POA为直角三角形，故PA2PO2OA2a23.由POM也是直角三角形，故PM2PO2OM2a2.如图，连接AM.在ABM中，AM2AB2BM22ABBMcosABM2222cos.由已知MPAP，故APM为直角三角形，则PA2PM2AM2，即a23a2，得a，a(舍去)，即PO.此时S四边形ABMOSAOBSOMBAOOBBMOM1.所以四棱锥PABMO的体积VPABMOS四边形ABMOPO. 1.证明直线与平面垂直的一般步骤(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直(2)证：证明所找到的或所作的直线与已
108、知直线垂直(3)用：利用线面垂直的判定定理，得出结论2判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理(2013江西，19，12分)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3.(1)证明：BE平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离解：(1)证明：如图，过B作BFCD于F，则BFAD，EFABDE1，FC2.在RtBFE中，BE.在RtCFB
109、中，BC.在BEC中，因为BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得，BEBB1.又BCBB1B，BC平面BB1C1C，BB1平面BB1C1C，所以BE平面BB1C1C.(2)三棱锥EA1B1C1的体积VAA1SA1B1C1.在RtA1D1C1中，A1C13.同理，EC13，A1E2.故SA1C1E3.设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1A1C1E的体积VdSA1C1Ed，从而d，d.即点B1到平面EA1C1的距离为.考向2面面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理
110、两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l(2014江苏，16，14分)如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.【思路导引】(1)利用三角形中位线的性质找到线线平行，再运用直线与平面平行的判定定理进行求证；(2)要证面面垂直可考虑寻找线面垂直，要证线面垂直可考虑寻找线线垂直，利用勾股定理可证线线垂直【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱
111、PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC. 1.面面垂直证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题2垂直问题的转化关系(2013北京，17，14分)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，
112、CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明：(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD.所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和
113、PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.所以CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.考向3线面角、二面角的求法1线面角(1)当l时，线面角为90.(2)当l或l时，线面角为0.(3)线面角的范围：090.2二面角(1)如图，二面角l，若Ol，OA，OB，OAl，OBl，则AOB就叫作二面角l的平面角(2)二面角的范围：0180.(2014天津，17，13分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，BABD，AD2，PAPD，E，F分别是棱AD，PC的中点(1)证明：EF平面PAB.(2)若二面角PADB为60，证明：平面PBC平面ABCD；求直线EF与平面PBC所成角的正弦值【思路
114、导引】(1)因为E，F分别是所在棱的中点，可取PB的中点M，证明四边形AMFE是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理证明(2)连接PE，BE，由题意知PEB60，在PEB中利用余弦定理证出BEPB.又BEAD，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；由知BE平面PBC，则EFB即为直线EF与平面PBC所成的角【解析】(1)证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点故MFBC且MFBC.由已知有BCAD，BCAD.又由于E为AD的中点，因而MFAE且MFAE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EFAM.又AM平面PAB，而EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)证明：如图，
115、连接PE，BE.因为PAPD，BABD，而E为AD的中点，故PEAD，BEAD，所以PEB为二面角PADB的平面角在PAD中，由PAPD，AD2，可解得PE2.在ABD中，由BABD，AD2，可解得BE1.在PEB中，PE2，BE1，PEB60，由余弦定理，可解得PB，从而PBE90，即BEPB.又BCAD，BEAD，从而BEBC，因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD.如图，连接BF.由知，BE平面PBC，所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角由PB及已知，得ABP为直角而MBPB，可得AM，故EF.又BE1，故在RtEBF中，sinEFB.所以直线EF与平面P
116、BC所成角的正弦值为. 1.求空间角的三个步骤(1)找：即找出相关的角；(2)证：即证明找出的角即为所求的角；(3)计算：即通过解三角形的方法求出所求角2空间角的找法(1)线面角找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足(2)二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：定义法；垂面法其中定义法是最常用的方法(2013大纲全国，11)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.【答案】A如图，设AB2，AA14，连接AC，BD，ACBDO，连接C1O，过C作CO1C1O于O1，易证明平面BDC1平面ACC
117、1A1，则CO1平面BDC1.CDO1即为所求的角在RtCOC1中，OC，CC14，OC13，CO1，则sinCDO1.1(2014河北唐山一模，4)设，分别为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A依题意，由l，l可以推出；反过来，由，l不能推出l.因此，“l”是“”成立的充分不必要条件，选A.2(2014四川眉山诊断，5)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若m，mn，n，则C若mn，m，n，则D若，m，n，则mn【答案】B对A，分别位于两垂直平面内的两
118、直线还可能平行或异面，故A错；对B，m，mn，n，又n，B正确；对C，与可能平行、相交或垂直，故C错；对D，m与n还可能异面，故D错误3(2015河北衡水模拟，15)如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是_【解析】可采用两个极端位置法，即F移到C点，t1，对于F位于DC的中点时，CBAB，CBDK，CB平面ADB，即有CBBD，又CD2，BC1，BD，又AD1，AB2，AB2AD2BD2，ADBD，则有t，因此t的取值范围是.【答案
119、】4(2015山东青岛一模，18，12分)如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB3BC6，BFCFAEDE2，EF4，EFAB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM2.(1)证明：AF平面BDG；(2)证明：平面BGM平面BFC；(3)求三棱锥FBMC的体积V.解：(1)证明：如图，连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，点G为CF的中点，OG为AFC的中位线，OGAF.AF平面BDG，OG平面BDG，AF平面BDG.(2)证明：如图，连接FM，BFCFBC2，G为CF的中点，BGCF.CM2，DM4.EFAB，四边形ABCD为矩形，EFDM.又EF4，四边形EFMD为平行
120、四边形，FMDE2，FCM为正三角形，MGCF.MGBGG，CF平面BGM.CF平面BFC，平面BGM平面BFC.(3)VFBMCVFBMGVCBMGSBMGFCSBMG2，由(2)易得GMBG，BM2，SBMG21，VFBMCSBMG.5(2015湖北武汉一模，18，12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD和BDMN都是矩形，且MD平面ABCD，P是MN的中点若AB4，BC3，MD1，(1)求证：DP平面ANC；(2)求二面角NACB的余弦值解：(1)证明：如图，连接BD交AC于O，连接NO，四边形ABCD，BDMN都是矩形，O是BD的中点，又P是MN的中点，PN綊DO，四边形PNOD是
121、平行四边形，DPON.又DP平面ANC，NO平面ANC，DP平面ANC.(2)如图，作BH垂直于AC于H连接NH，MD平面ABCD，DMNB，NB平面ABCD，NBAC，又HBAC，HBNBB，AC平面HBN，NHAC，NHB是二面角NACB的平面角，在RtNBH中，NB1，BH，NH，cosNHB，二面角NACB的余弦值为.6(2015广东江门一模，18，13分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA底面ABCD，PA3，AD2，AB4，ABC60.(1)求证：ADPC；(2)E是侧棱PB上一点，记，是否存在实数，使PC平面ADE？若存在，求的值；若不存在，说明理由解：(1)
122、证明：如图，连接AC，则AC2，方法一：PA底面ABCD，PAAB，PAAC.PB5，PC.PB2PC2BC2，PCB90，BCPC.ADBC，ADPC.方法二：CD216，AD2AC216，CD2AD2AC2，CAD90，ADAC.又PA底面ABCD，PAAD.PAACA，AD平面PAC.PC平面PAC，ADPC.(2)如图，过C作CFAB于F，连接PF，则CF平面PAB，CFAE.由PC平面ADE，当且仅当PCAE.又CFAE，AE平面PCF，AEPF.依题意，BFBC1，AF3，AFPA，AE是PAF的平分线，从而也是PAB的平分线在PAE和ABE中，.，即所求的值为.7(2015河南焦
123、作一模，18，12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)证明：CDAE；(2)证明：PD平面ABE；(3)求二面角APDC的正切值的大小解：(1)证明：在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD，ACCD，PAACA，CD平面PAC，而AE平面PAC，CDAE，(2)证明：由PAABBC，ABC60，可得ACPA，E是PC的中点，AEPC，由(1)知，AECD，且PCCDC，AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPD，PA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，ABAD，ABPD，又
124、ABAEA，综上可得PD平面ABE.(3)方法一：如图，过点A作AMPD，垂足为M，连接EM，则由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，得CAD30.设ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，则AMa.在RtAEM中，sinAME，tanAME.方法二：由题设PA底面ABCD，PA平面PAD，则平面PAD平面ACD，交线为AD，如图，过点C作CFAD，垂足为F，故CF平面PAD，过点F作FMPD，垂足为M，连接CM，故CMPD，因此CMF是二面角APDC的平面角，由已知，可
125、得CAD30，设ACa，可得PAa，ADa，PDa，CFa，FDa.FMDPAD，.于是，FMa.在RtCFM中，tanCMF.8(2015广东六校联考，19，14分)已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧(左)视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正(主)视图为直角梯形(1)求异面直线DE与AB所成角的余弦值；(2)试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ，并说明理由解：(1)如图，过点B作BFED交EC于点F，连接AF，则FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角在BAF中，AB4，BFAF5，cosABF.即异面直线DE与AB所成角的余弦值为.(2)在DE上存在点Q，使得AQ
126、BQ.理由如下：如图，取BC的中点O，过点O作OQDE于点Q，连接OD，OE，BQ，则点Q满足题设2，RtECORtOBD，CEODOB.EOCCEO90，EOCDOB90，EOD90.OE2，OD，OQ2，以O为圆心，以BC为直径的圆与DE相切，切点为Q，BQCQ.AC平面BCED，BQ平面CEDB，BQAC，BQ平面ACQ.AQ平面ACQ，BQAQ.(时间：120分钟_分数：150分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1(2015四川成都质检，5)一个简单几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示，则其俯视图不可能为：长方形；直角三角形；圆；椭圆其中正确的是()A BC D【答
127、案】C易判断是可能的；当俯视图为圆时，正(主)视图与侧(左)视图应该是全等的矩形，故不可能；而上、下底面为椭圆的直柱体，其正(主)视图、侧(左)视图可能如题中图形所示，俯视图则是一个椭圆2(2015山东潍坊二模，6)已知，表示平面，m，n表示直线，m，给出下列四个结论：n，n；n，mn；n，mn；n，mn.则上述结论中正确的个数为()A1 B2C3 D4【答案】B由于m，所以m或m.n，n或n，斜交或n，不正确；n，mn，正确；n，mn或m，n相交或互为异面直线，不正确；正确故选B.3(2015安徽宣城一模，4)三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正(主)视图(如图所示)的
128、面积为8，则侧(左)视图的面积为()A8 B4C4 D.【答案】C由图可知该几何体是直三棱柱，直三棱柱的棱长为4，底面等边三角形的高为，所以其侧(左)视图的面积为4.故选C.4(2014河南焦作模拟，7)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A，m，nmnBm，n，mnC，m，nmnD，m，nmn【答案】A对A，m，m，又n，mn，故A正确；对B，m，mn，n或n，又n，或或与相交但不垂直，故B错误；对C，直线n可能与相交，也可能在内，故C错误；对D，m与n可能异面，故D错误5(2015河北衡水中学一模，8)已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为()A16
129、 B4 C8 D2【答案】B画出该几何体的直观图如图所示，设点O为AB的中点，连接OP，OC，由三视图知OP1，ABC为直角三角形，且ACB90，AC，BC1，由勾股定理得AB2，由于点O为斜边AB的中点，所以OCAB1，所以OAOBOCOP1，则点O为三棱锥PABC的外接球的球心，所以三棱锥PABC外接球的半径长为1，其表面积为4124，故选B.6(2015四川绵阳调研，6)已知l，m，n是三条不同的直线，是不同的平面，则的一个充分条件是()Al，m，且lmBl，m，n，且lm，lnCm，n，mn，且lmDl，lm，且m【答案】D对于A，l，m，且lm，如图，不垂直；对于B，l，m，n，且l
130、m，ln，如图，不垂直；对于C，m，n，mn，且lm，直线l没有确定，则，的关系也不能确定；对于D，l，lm，且m，则必有l，根据面面垂直的判定定理知，.7(2015江西南昌第三次调研，10)一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为()A2 B3 C. D.【答案】D设正四面体的内切球的半径为r，由正四面体的体积相等可得，4r6262，所以r.要使正方体的棱长最大，即正四面体的内切球为该正方体的外接球设正方体的最大棱长为a，3a2()2，a.8(2014陕西西安第三次质检，8)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长
131、为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A. B.C. D.【答案】B如图所示，AA1底面ABC，APA1为PA与平面ABC所成角SA1B1C1()2，VAA1，解得AA1.又P为底面正三角形A1B1C1的中心，PA1A1D1.在RtAPA1中，tanAPA1，APA1，故选B.9(2015湖北荆州一模，8)如果正四棱锥的底面边长为2，侧面积为4，则它的侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为()A30 B45 C60 D75【答案】B如图，O为底面正方形的中心，据题意易得，该正四棱锥的一个侧面三角形PBC的高PE的长为，因此正四棱锥的高PO1.PEO的大小为
132、侧面与底面所成的(锐)二面角的大小，侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为45.10(2015湖南株洲一模，7)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的是()A BC D【答案】B由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错故选B.11(2013辽宁，10)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个
133、顶点都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2C. D3【答案】C由题意知，该三棱柱可以看作是长方体的一部分，且长方体同一顶点处的三条棱长分别为3，4，12，又三棱柱的外接球即为长方体的外接球，(2R)23242122，R.故选C.12(2015河南郑州一模，11)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上的一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则下列命题正确的是()AAD平面PBC且三棱锥DABC的体积为BBD平面PAC且三棱锥DABC的体积为CAD平面PBC且三棱锥DABC的体积为DBD平面PAC且三棱锥DABC的体积为【
134、答案】C因为PA平面ABC，所以PABC.又ACBC，PAACA，所以BC平面PAC，所以BCAD.又由三视图可得，在PAC中，PAAC4，D为PC的中点，所以ADPC，又PCBCC，故AD平面PBC.又由三视图可知BC4，而ADC90，BC平面PAC，故VDABCVBADC224.二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分)13(2015吉林白城一模，13)已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_【解析】由于PA，PB，PC两两互相垂直，则点P在底面ABC上的射影就是正三角形ABC的中心M，设正三角形ABC的边长为
135、a，则三棱锥的侧棱长为a，AMa，三棱锥的高为h，在RtPAM中，由勾股定理得PA2PM2AM2h2ha.再设球心为O，则OM底面ABC，且OMh，在RtOAM中，由勾股定理得OA2OM2AM2()2(h)2，又ha，则a2，故球心到截面ABC的距离为ha2.【答案】14(2014天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.【解析】由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱构成的组合体，其体积为222124(m3)【答案】15.(2014安徽宿州模拟，13)如图，矩形ABCD中，AB2，BC4，将ABD沿对角线BD折起到ABD的位置，使点A在平面BCD内的射影点
136、O恰好落在BC边上，则异面直线AB与CD所成角的大小为_【解析】由AO平面ABCD，可得平面ABC平面ABCD，又由DCBC可得DC平面ABC，DCAB，即得异面直线AB与CD所成角的大小为90.【答案】9016(2015江南十校3月联考，15)已知ABC的三边长分别为AB5，BC4，AC3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点给出下列四个命题：若PA平面ABC，则三棱锥PABC的四个面都是直角三角形；若PM平面ABC，且M是AB边的中点，则有PAPBPC；若PC5，PC平面ABC，则PCM面积的最小值为；若PC5，P在平面ABC上的射影是ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为.其中
137、正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)【解析】由题知ACBC，对于，若PA平面ABC，则PABC，又知PAACA，BC平面PAC，BCPC，因此该三棱锥PABC的四个面均为直角三角形，正确；对于，由已知得M为ABC的外心，所以MAMBMC.因为PM平面ABC，则PMMA，PMMB，PMMC，由三角形全等可知PAPBPC，故正确；对于，要使PCM的面积最小，只需CM最短，在RtABC中，(CM)min，(SPCM)min56，故错误；对于，设P点在平面ABC内的射影为O，且O为ABC的内心，由平面几何知识得内切圆半径为r1，且OC，在RtPOC中，PO，点P到平面ABC的距离为，故正
138、确【答案】三、解答题(共6小题，共74分)17(12分)(2015山东日照模拟，18)如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，SA平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点(1)证明：直线MN平面SBC；(2)证明：平面SBD平面SAC.证明：(1)如图所示，取SB中点E，连接ME，CE.M为SA的中点，故MEAB，且MEAB.N为CD的中点，故CNAB，从而MECN，且MECN，四边形MECN是平行四边形，MNEC.又EC平面SBC，MN平面SBC，直线MN平面SBC.(2)如图，连接AC，BD相交于点O.SA底面ABCD，故SABD.四边形ABCD是菱形，ACBD.又SAACA
139、，故BD平面SAC.又BD平面SBD，平面SBD平面SAC.18(12分)(2014浙江六市六校联考，19)如图，在四棱锥PABCD中底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于点M.(1)求证：AMPD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值解：(1)证明：PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AD平面PAD，PA平面PAD，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD.BMPD，ABBMB，AB平面ABM，BM平面ABM，PD平面ABM.AM平面ABM，AMPD.(2)由(1)知，AMPD，又PAAD，则M是PD的中点在RtPAD中，
140、AM，在RtCDM中，MC，SACMAMMC.设点D到平面ACM的距离为h，由VDACMVMACD，得SACMhSACDPA.解得h.设直线CD与平面ACM所成的角为，则sin ，cos .直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为.19(12分)(2015河南名校联考，18)如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，PAAB1，BC，E为BC的中点(1)求证：ED平面PAC；(2)在PD上是否存在一点M，使得EM平面PAB？若存在，试确定点M的位置，并给出证明：若不存在，请说明理由证明：(1)在矩形ABCD中，AB1，BC，又E为BC的中点，CE，tanCDE，sinCDE，tanA
141、CD，cosACDsin(90ACD)，CDEACD90，EDAC.PA平面ABCD，ED平面ABCD，PAED.PAACA，ED平面PAC.(2)在PD上存在一点M，使得EM平面PAB，M为PD的中点如图，取AD的中点为F，连接EF和MF，MF是PAD的中位线，MFPA.又MF平面PAB，PA平面PAB，MF平面PAB，又E，F分别是BC，AD的中点，ABEF，EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB，MFEFF，平面MFE平面PAB，又EM平面MFE，EM平面PAB.即在PD上存在一点M，使得EM平面PAB，此时M为PD的中点20(12分)(2014辽宁锦州三模，19)如图，在四棱锥
142、PABCD中，PAAD，ABCD，CDAD，ADCD2AB2，E，F分别为PC，CD的中点，DEEC.(1)求证：平面ABE平面BEF；(2)设PAa，若三棱锥BPED的体积V，求实数a的取值范围解：(1)证明：ABCD，CDAD，ADCD2AB2，F为CD的中点，四边形ABFD为矩形，ABBF.DEEC，DCEF，又ABCD，ABEF.BFEFF，AB平面BEF，AB平面ABE，平面ABE平面BEF.(2)DEEC，DCEF，又PDEF，ABCD，ABPD，又ABAD，AB平面PAD，ABPA，又PAAD，ADABA，PA平面ABCD，三棱锥BPED的体积VVBCEDVEBCD，SBCD22
143、2，E到平面BCD的距离h，VBPEDVEBCD2，a.21(12分)(2015浙江宁波二模，18)已知BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且(01)(1)求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；(2)当为何值时，平面BEF平面ACD?证明：(1)因为AB平面BCD，所以ABCD，因为CDBC且ABBCB，所以CD平面ABC.又因为(01)，所以不论为何值，恒有EFCD，所以EF平面ABC，EF平面BEF，所以不论为何值恒有平面BEF平面ABC.(2)由(1)知，BEEF，又平面BEF平面ACD，所以BE平面ACD，所以BEAC.因
144、为BCCD1，BCD90，ADB60，所以BD，ABtan 60，所以AC，由AB2AEAC得AE，所以，故当时，平面BEF平面ACD.22(14分)(2015山东烟台一模，18)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，ABBC.把BAC沿AC折起到PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图所示，点E，F分别为棱PC，CD的中点(1)求证：平面OEF平面APD；(2)求证：CD平面POF；(3)若AD3，CD4，AB5，求四棱锥ECFO的体积解：(1)证明：因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，所以PO平面ADC，所以POAC.因为ABBC，所以O是AC中点又点E是PC的中点，所以OEPA，PA平面PAD.所以OE平面PAD.同理OF平面PAD.又OEOFO，OE，OF平面OEF，所以平面OEF平面PAD.(2)证明：因为OFAD，ADCD，所以OFCD.又PO平面ADC，CD平面ADC，所以POCD.又OFPOO，所以CD平面POF.(3)因为ADC90，AD3，CD4，所以SACD346，而点O，F分别是AC，CD的中点，所以SCFOSACD，由题意可知ACP为边长为5的等边三角形，所以OP，即点P到平面ACD的距离为，又E为PC的中点，所以E到平面CFO的距离为，故VECFO.高考资源网版权所有，侵权必究！
