1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时超几何分布学 习 任 务核 心 素 养1理解超几何分布的概念(重点)2理解超几何分布与二项分布的关系(难点、易错点)3会用超几何分布解决一些简单的实际问题(重点)1通过学习超几何分布，体会数学建模、数学抽象的素养2借助超几何分布解题，提高数学运算素养在新型肺炎期间，某市招募的100名医学服务志愿者中，男同志有45人，现要选派20人去市南区协助做好社区人员排查登记，其中男同志不少于10人的概率是多少？提示P知识点超几何分布(1)定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(MN)，从所有物品中随机取出n件(nN)，则这n件中所含甲类物品数X
2、是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即nNM)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即tn(NM)，而且P(Xk)，kt，t1，s，这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布(2)记法：XH(N，n，M)(3)分布列：如果XH(N，n，M)且nMN0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示X01ksP拓展：对超几何分布的理解(1)在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等；(2)在产品抽样中，一般为不放回抽样；(3)其概率计算可结合古典概型求得1设1
3、0件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则表示()A5件产品中有3件次品的概率B5件产品中有2件次品的概率C5件产品中有2件正品的概率D5件产品中至少有2件次品的概率B根据超几何分布的定义可知C表示从3件次品中任选2件，C表示从7件正品中任选3件，故选B2(对接教材P80练习BT2)高二一班共有50名学生，其中有15名学生戴眼镜，从班级中随机抽取5人，设抽到戴眼镜的人数为X, 则X_H(50,5,15)由超几何分布的定义可知，XH(50,5,15) 类型1超几何分布的辨析【例1】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；(
4、2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；(4)某班级有男生25人，女生20人选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布解(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，
5、是超几何分布(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数1下列随机变量中，服从超几何分布的有_(填序号)在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X根据超几何分布模型定义可知中随机变量X服从超几何分布中随机变量X服从超几何分布而中显然
6、不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布 类型2超几何分布的概率及其分布列【例2】(对接教材P77例4)袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率思路点拨 解(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8P(X5)，P(X6)，P(X7)，P(X8)故所求分布列为X5678P(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P(X6)P(X7)P(X
7、8)求超几何分布的分布列的步骤2现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列解设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11P(X3)，P(X7)，P(X11)故X的分布列为X3711P 类型3超几何分布与二项分布间的联系1超几何分布适合解决什么样的概率问题？提示超几何分布适合解决一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(NM个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题2在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以看作独立重复试验吗？提示独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可
8、以近似地看作此类型【例3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495，(495,500，(510,515由此得到样本的频率分布直方图如图(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列思路点拨(1)结合频率分布直方图求解(1)；(2)结合超几何分布及古典概型求X的分布列；(3)先分析Y服从什么分布，再选择相应公式求解解(1
9、)质量超过505克的产品的频率为50.0550.010.3，所以质量超过505克的产品数量为400.312(件)(2)重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，且XH(40,2,12)P(X0)，P(X1)，P(X2)，X的分布列为X012P(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且YB，P(Yk)C ，所以P(Y0)C，P(Y1)C，P(Y2)CY的分布列为Y012P在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分
10、布或二项分布区别当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布，如本例(3)3100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数的分布列解任取一件得到次品的概率为0.1，有放回地取出5件，相当于5次独立重复试验，故B(5,0.1)，所以的分布列为012345P0.590 490.328 050.072 90.008 10.000 450.000 011一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1
11、件次品的概率为()A BC DB由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X1)2盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是()A B C DC设取出红球的个数为X，易知XH(9,3,5)P(X2)，故选C3下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是()A将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为XD盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为XB由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服
12、从超几何分布4在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(Xr)_，r0,1,2,3,4P(Xr)，r0,1,2,3,45已知某批产品共100件，其中二等品有20件从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于的分布列k012P(k)_由题意可知H(100,2,20)则P(0)，P(1)回顾本节内容，自我完成以下问题：1解决超几何分布问题的关键点是什么？提示(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆(2)超几何分布中，只要知道N，n，M，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(Xk)，从而求出X的分布列2超几何分布的概率求解中，怎样理解“s是M与n中的较小者”？提示在超几何分布中，确定X的可能取值的关键是确定它的最小值和最大值，具体如下：注意：在超几何分布中，随机变量X的最大值s未必是次品件数M，当抽取的产品的件数n不大于总体中次品的件数M(即nM)时，sn；当抽取的产品的件数n大于总体中次品的件数M(即nM)时，sM故X的最大值s是M与n中的较小者同理，可推测t的取值规律- 9 - 版权所有高考资源网
