1、3.函数的性质函数的对称性：函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.代数表示: (1). (2). 即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称. 一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.特别地，偶函数(关于轴对称)，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点(
2、)为对称中心. 用代数式表示：(1). (2). 一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.特别地，奇函数(关于原点对称)，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.3. 对称性的意义: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质.(1).利用对称性求得函数在某点的函数值.(2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象.(3).对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同.例1.求下列函数的解析式.(1).已知函数为奇函数，且当时
3、，求的表达式；(2).已知函数为定义在上的函数，且满足，当时，试求函数在的表达式.解：依题可知，关于对称，任取，由对称性，则.(3).已知函数为定义在上的函数，且满足，当时，试求函数在的表达式.例2.已知函数满足，若函数的图象与函数的图象的交点为,则( )A. B. C. D. 例5.已知函数，若关于的方程有四个不同的解且,求的取值范围.例6.已知函数，若存在且使得函数满足,求的取值范围.结论1.若的图像关于直线对称.设.例7.在的所有交点的横坐标之和.例8.已知函数满足,若函数与图像的交点为,，（），则A. B. C. D.结论2.若,即.一般地，对于例9.已知函数,函数满足:当时，当时，若
4、关于的方程有且仅有一个实数根，则的取值范围为( )A. B.C. D.函数的周期性1.定义:对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.2.函数周期性有关结论:设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立，则函数是周期函数，且是它的一个周期.(1). (2).(3). (4).3.函数的对称性与周期性性质1. 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且.性质2. 若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且.性质3.若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为
5、周期函数，且.特别地：(1).若是奇函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为_.(2).若是偶函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为_.(3).若是奇函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为_.(4).若是偶函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为_.4.周期性的应用:(1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.(2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.(3).单调性：由于间隔的函数图象相同，所以若函数在上单调增(减)，则在上单调增(减).例10.(1).函数满足，当，求_.(2).若是上的奇函数,且满足
6、,当时,，则( )A.2 B.-2 C.-98 D.98 例11.已知函数是上的奇函数，若对任意的实数，都有，且当，则( )A.-1 B.-2 C.2 D.1例12.考虑下列零点问题.(1).设满足,且时,则在区间上零点的个数为_.(2).已知函数满足,且时,若令函数,则函数的左右零点之和为( )A.8 B.6 C.4 D.2例12.已知函数是定义在上的奇函数，满足.若，则，( ).A. B. C. D. 利用周期性求函数解析式例13：设是定义在区间上，且以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当时，求在上的解析式解：由已知，当时， ，利用区间转移的方法，如果 即则有：又因为该函数以2为周期，所
7、以有所以函数在 上的解析式为：一般规律：区间转移：将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间，再利用周期的定义进而求出该区间上的函数解析式.再看一个例题加深印象练：设是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，当时，当时，求的解析式.解：因为函数关于对称，且函数为奇函数所以有又因为 所以：，所以函数为周期函数，且周期因为函数在上的解析式已知，所以,由可得：总结：1.根据题目条件，判断、证明函数为周期函数.2.将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间.3.根据题目条件，以及函数性质，确定所求区间上的解析式例14.（2019全国理12）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是AB C D
