1、基本不等式（第一课时）教学设计天津市滨海新区汉沽第一中学 刘勇一、内容与内容解析本节课是普通高中课程标准实验教科书数学人教A版必修5第三章不等式中3.4节 基本不等式的第一课时，主要内容是探索基本不等式的生成和证明过程及其简单的应用.本节内容具有变通性、应用性的特点，它与线性规划呈并列结构，可用来求某些函数的值域和最值，也可解决实际生活中的最优化配置问题.本节内容由两部分构成，其一是利用“一正、二定、三相等”的七字条件求函数最值并用来解决实际问题，其二是对基本（重要）不等式的探究过程，并在探究过程中学会研究某些数学问题的过程与方法.作为本节内容的第一课时，重点在后者.特别是，本节课内容是体现新
2、课程让学生积极动手实践、自主探索、合作交流学习方式的良好素材.本节课蕴含了丰富的数学思想及方法，尤其是在两个不等式的发现和对基本不等式的几何解释的学习过程中突出体现了数形结合思想，在基本不等式与重要不等式的关系及其应用中都突显换元的方法.在对教材深入挖掘的基础上，本节内容中含有多个德育教育点.教材引入赵爽的弦图，是体现数学文化价值、对学生进行以爱国主义为核心的民族精神教育的好机会.在探究不等式的过程中，不等式中等号成立的条件是体会量变与质变的辩证关系的较好素材.利用对教材例1的反思，可使学生树立科学的节能减排意识、环保意识.通过教师创设的问题情境，还可使学生树立现代社会的诚信观.本节课教学重点
3、：1.学生在经历基本（重要）不等式的生成及证明过程中初步学会“实验（几何）猜想(代数)证明结论（定理、概念）应用”的探索数学问题的方法.2.会运用基本（重要）不等式解决简单的比较大小和求某些函数最值的简单问题.二、目标和目标解析（一）教学目标（1）通过拼图、折纸的几何实验，经历基本（重要）不等式的发现过程，初步学会在类似的问题情境下，尝试运用 “实验猜想证明结论（定理、概念）应用”的方法探究数学问题.（2）了解基本（重要）不等式证明过程，能在证明过程中分析不等式成立的条件.（3）会运用基本（重要）不等式比较大小.（4）知道基本不等式成立的条件，并会求类型的函数在时的最小值，初步认识 “=”成立
4、的作用.（5）通过对基本不等式的探究及几何解释的理解，体会数形结合思想的作用.（6）在认识赵爽弦图的过程中，了解中国数学文化，增强民族自豪感. 在探究不等式的过程中，体会量变与质变的辩证关系.通过教师对基本不等式例题的设置，帮助学生树立现代社会诚信意识及科学的节能减排理念.（二）教学目标解析（1）新课标中对经历知识的发生过程提出了较高的要求，强调使用 “经历”、“感受”、“探索”等体现目标要求的行为动词，学生要体验数学的发现与创造的过程.本节课是学生经历“学数学、做数学、用数学”的一次机会，因此将经历基本（重要）不等式的发现过程作为重要的教学目标之一，在此过程中学会数学地思考问题的方法，培养学
5、生良好的学习态度和习惯.（2）教学中设置两条主线，一是知识与技能的主线，采用层层递进的呈现方式，使学生学会初步运用基本（重要）不等式解决简单问题的方法.二是感受过程与方法的主线，即学生经历“了解研究方法感受研究方法自主研究”的过程.（3）基本（重要）不等式的证明过程有很多种方法，如比较法、综合法、分析法等，在此处证明过程只要求学生能用已有知识证出即可，不作过多的说明和证明方法罗列.以往经验告诉我们，学生在解题中易忽视基本不等式成立的条件，因此设计了在证明的过程中学生自己发现成立条件的教学目标.(4)基本（重要）不等式的主要应用是求函数的最值或值域，由于本课时是本节的第一课时，主要还是以学生掌握
6、不等式内容和探究过程为主，只要会比较大小和会求型的函数在时的最小值即可,为第二课时求最值的“一正二定三相等”的一般方法作准备.(5)通过对基本不等式的几何解释的理解，养成用数形相结合思想分析数学问题的习惯，提高学生提出、分析和解决问题的能力.（6）教材用赵爽的弦图作为本节课的导入，借此可增强学生的民族自豪感，通过了解中国数学文化，培养学生爱祖国、爱科学的精神.通过图形探究重要不等式时，必然要经历不等到相等的过渡，而此过程正能体现马克思主义哲学原理中量变与质变的辩证关系.基本不等式在实际生活中应用较广泛，通过设置学生感兴趣的动画情境，对学生进行明理诚信教育，通过设置生活化的问题情境，使学生树立科
7、学生态价值观.（三）学习结果分析通过本节课的学习，学生认知系统中增加两个恒成立的不等式，并将其作为求某些特定函数最值的重要方法.学生在通过基本不等式的探究和几何解释过程中，体会到数形结合的作用.学生初步学会动手做些简单的数学实验并尝总结、应用结论.在学习的过程中，学生受到了民族精神的熏陶和明理诚信的道德教育，并树立了科学的节能减排的意识.三、教学问题诊断分析（一）问题诊断分析（1）个别同学在动手实验时会存在不知所措或不会从几何图形中提炼出代数形式的不等关系，其原因是学生重解题轻过程的现状使此方面能力较弱，教学中以小组合作探究式的学习方式来弥补这一不足.（2）在基本不等式几何解释的教学环节中，学
8、生可能会把几何解释作为一种“负担”被动地接受，因为用几何变化的现象解释变量变化的结果学生是非常陌生的，所以教学中通过帮助学生构造直角三角形并引导学生在其中寻找“平均数”的几何表示，为学生“排忧解难”，培养学生数与形相结合思考问题的习惯.（3）在两个不等式的证明过程中学生会出现困难，因为在3.1节不等式性质只是要求学生了解比较法证明简单不等式，学生也没有接触综合法、分析法证明，虽然教材运用了分析法，教学中没有必要刻意追求此方法，而是要根椐学生实际，采用学生想到的证明方法，让学生知道证明的必要性和可行性，在探究的基础上体会证明的思路即可.（4）基本不等式的应用向来是难点，首先解题中的换元法给学生带
9、来了一定的障碍，其次使用条件易忽视.为此教学中采用小步子的引导渗透的方法，简化题目难度，为后面学习作为铺垫.教学难点：1.运用 “实验（几何）猜想（代数）证明结论（定理、概念）应用”解决数学问题的方法的形成过程.2. 基本（重要）不等式证明过程及应用.（二）学习新知所需条件分析（1）学生具有动手操作数学的意识和基本的观察能力和提取数据的能力.（2）学生具有初步用数形结合思想独立分析问题的能力.（3）学生具有利用比较法证明不等式和函数最小值概念的知识基础.四、教法分析及教学支持条件本节课以数学实验为抓手，以问题为载体，为学生提供动手做、动眼看、动脑想和动口说的机会，引导学生积极思考、合作探究，体
10、现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在动手折纸的基础上辅以几何画板的动态演示，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中的问题，实现情感、态度、价值观目标.五、教学过程（一）感知问题，指明研究方法b1.观察直角三角形，提出问题1.问题1：在直角三角形的边的关系中有哪些不等关系，你能提炼出怎样的不等式？师生活动：学生利用直角三角形的性质总结不等式：、等，并感受.学生体验由几何图形中的不等关系容易得出一些恒成立的不等式，并感受数形结合的作用及事物间普遍联系的观点.2.点明本节课要
11、通过几何图形中的不等关系探索出一些重要的、有用的恒成立的不等式.【设计意图】（1）根椐本节课教材内容的特点及教学目标的确定，首先让学生开门见山地体会数形结合的作用.（2）学生在明确研究目标和方法后，便知道本节课的“目的地”和“基本路线”，从而产生急于完成此段“旅行”的心理，调动了学生学习的积极性.【课件开发】利用PPT逐个显示，从而引出课题.（二）探究问题，感受研究方法1重要不等式探究过程问题2：由一个直角三角形过渡到四个全等的直角三角形，你能拼成以斜边为边长、外轮廓为正方形的图形吗？师生活动：以小组活动形式动手实验，尝试摆出图形，从而介绍赵爽的弦图和第24届北京国际数学家大会的会标，学生将数
12、学文化融入内心世界，内化成学习动力.【设计意图】作为本节课第一个实验，其目的在于使学生经历数学实验的过程，增强学好数学的信心.同时通过了解中国数学文化，增强学生的民族自豪感和爱国主义精神，增强学生对国家发展的信心.通过对”会标”的了解,感受中国人的智慧和华夏民族热情好客的优良传统.【课件开发】利用PPT逐个出示图片，学生通过图片直观感受,增强以爱国主义为核心的民族精神.图1问题3：如果我们仍利用赵爽的弦图，你能发现其中的不等关系吗？从几何图形中的不等关系可提炼出怎样的代数形式的不等式呢？在同学们摆出的图形中有没有二者相等的情况？什么样的三角形会使不等关系变为相等？师生活动：学生通过观察图形,容
13、易找到不等式，也容易得出二者相等的条件.教师借助几何画板进行动态演示，验证不等关系.通过由不等向相等过渡，使学生感受由量变到质变的变化过程.从而指明“=”成立的条件，解释“当且仅当”的含义，并总结出一般情况.【设计意图】学生体会如何从实验中发现问题，如何从特殊到一般地猜想问题.感受到由“形”到“数”的逐步提炼的过程，感受由量变到质变的数学问题中的辩证关系.【课件开发】根椐学生的回答，配合幻灯片展示（如图2）.拖动利用几何画板中的控制点(如图3)，使的长度不断变化，通过观察的值和图形中的不等关系，以及不等到相等的过渡，体会当且仅当的含义，感受当量变积累到一定程度必然会质变的道理. 图2图3问题4
14、：由图形验证的结论只是猜想，并不能代表一般的情况，你能证明你的猜想吗？在证明的过程中你能发现不等式成立的条件吗？师生活动：教师适时点拨，证明不等式可以用比较法、或以某个不等式为依据的方法推出结论.证明后点明此不等式为重要不等式.预设方案一：比较法（作差）预设方案二：综合法 由推出结论【设计意图】虽然证明过程很简单，但对学生来说证明会稍有困难，所以必要时要对学生进行适当的点拨.同时通过证明过程发现不等式成立的条件，加深学生对知识的理解.【课件开发】展示研究重要不等式的过程，强调结论的重要性.图4问题5：应用重要不等式解决简单的比较大小的问题.师生活动：各式与重要不等式的内容进行对比，分析上述代数
15、式的结构特征，准确找到变量分别由哪些量代替，学会以重要不等式为依据、利用换元思想比较大小的方法.【设计意图】为了使学生经历完整的研究问题的步骤和感受探究新知后的成就感，此处采用及时的学习结果评价方法，检测阶段性的学习效果.【课件开发】出示例题，依据学生回答放映幻灯片.图5（三）深入探究，应用研究方法1.基本不等式探究过程问题6：组织学生进行实验2，用两个腰长分别为的两等腰直角三角如何通过拼、折的方法变成一个矩形？在此过程中，你能得出怎样的不等式关系？师生活动：运用类比的方法，动手实验，合作探究，教师利用几何画板演示变化过程.指出所得不等式是重要不等式的变形.【设计意图】学生在上一环节的学习中已
16、感受到几何实验的作用，此处再次设计实验使学生对用此研究方法产生更深刻的理解，提高了学生探究问题的能力，也为后面利用实验的方法独立探究奠定基础. 问题7：教师给出定义：对 于 任 意 两 个 正 数 叫做两个正数的几何平均数，叫做两个正数的算术平均数.请大家讨论这两种平均数之间有何不等关系？预设方案1：由换元替代的方法，直接得出结论.预设方案2：类比问题6的做法，对几何图形折叠前后的两图形面积的大小关系得出猜想，再证明.师生活动：组织学生讨论，寻找比较两者大小关系的方法. 教师强调换元的方法在解决相似问题中的作用.【课件开发】利用几何画板的的按钮，根据学生回答出示文字.在图形中设置动点，使边的长
17、可以变化，能体会当且仅当时没有多余的黄色三角形.图6问题8：除换元代替的方法外，你能从代数证明的角度证明此不等式吗？预设方案一：比较法（作差）预设方案二：综合法 由推出结论师生活动：证明不等式,教师强调基本不等式成立的条件.【设计意图】为了能给学生探究的空间,改变了教材中的顺序,将两个平均数的定义提前.这样以问题6的结论和两种平均数的定义作为探究基本不等式的突破口，留给学生充足的时空，探究基本不等式，体现知识的自然形成过程.用联系的观点分析两个不等式，即用换元的方法分析问题，有利于学生对两个不等式的整体把握.虽然教材中不等式的证明中运用了分析法，但学生接受困难，故不作过多介绍，必要时可向学生简
18、单地介绍此种证明的思考方法.【课件开发】如图6，利用按钮将图中的代替，并能演示折叠过程.问题9：从基本不等式的内容上看，只说明了算术平均数大于等于几何平均数，何时大的多一些，何时少一些呢？为解释这一问题可利用基本不等式的几何解释，在学习的过程中体会以(动态的)形助(变化的)数方法对理解代数式的作用.师生活动：学生思考何时大的多的问题,针对学生的困难,教师引出其几何解释.学生在教师给出的直角三角形中找到的几何表示，通过教师演示变化的过程，学生观察、分析、比较图形中线段的联系得出两个平均数具体的不等关系.教师指出两变量变化时从“形”的角度作出解释对深入领悟基本不等式的实质的意义，体会数形结合中以形
19、助数的价值.【设计意图】培养学生数形结合的意识，养成数形结合地分析问题的习惯. 【课件开发】通过设置交互按钮，根椐学生回答情况逐个演示，由线段到直角三角形再到连结斜边中线最后出示外接圆.此画板可拖动点C,使变化，进而直观地观察CD与OD、CD与半径的大小关系.图7问题10：设计开放式的实验探究，将两个直角边分别为的等腰直角三角拼接后折叠成几何图形，可得到怎样恒成立的不等式？师生活动：教师总结两个不等式的研究过程，即经历了“实验（几何图形）猜想（代数式）证明结论应用”的过程，强调这是研究自然科学的一般方法，指明学会知识的同时还要学会方法.组织小组讨论，鼓励学生将动手操作与计算相结合，探索新结论.
20、并提出课后学生自己探究、证明其它情况.预设方案1:如图（8）所示，得出 预设方案2:如图（9）所示，得出【设计意图】设置开放式的探究活动，意在学生通过自主探究的方式体会研究方法，是对本节课过程与方法的教学内容的升华，也是为了检测学生会利用实验研究此类问题的教学目标. 【课件开发】根椐预设方案，显示两种折叠情况，即将有颜色部分的三角形折下去，必要时可拖动控制点，改变的大小，体会当且仅当的含义.如果学生有其它折法，不作课件展示，只做手工演示.图8图9（四）解决问题、应用研究成果观看一段教师自制的喜羊羊与灰太狼的动画片.其内容是：灰太狼发誓自己不再抓羊,开始卖菜,于是灰太狼用不等臂天平为喜羊羊称重，
21、第一次称得物体重量为，第二次称得物体重量为 ，灰太狼说此物体重量为，喜羊羊陷入了沉思之中,难道灰太狼真的不再骗人了吗? 问题10：你能帮助喜羊羊揭穿灰太狼吗？ 师生活动：通过观看动画片，学生领会题意后，以小组合作的形式，探讨出利用基本不等式辨明问题真相，并对灰太狼作出评价.教师适当地引申,从生活中诚信的重要性的角度对学生进行诚信待人的教育.【设计意图】（1）到此时学生的学习劲头一般有所削弱，此时利用学生感兴趣的背景,再次激发学习兴趣，培养学生的应用意识.（2）学生体会利用科学的观点辩别是非、区别真伪的重要性.（3）结合此类社会现象，坚决抵制不讲诚信、损人利己的做法，抵制各种不良思想的影响，重温
22、天津精神和我校校训提出的有关诚信的要求，从而对学生进行诚信教育，树立正确的价值观和理性消费观.【课件开发】图(10)为自制简易动画,并为动画配音,提高学生的兴趣.图(11)根椐学生回答，放映幻灯片. 图10图11问题11：某同学在学完不等式后，利用推出如下结论，请你帮他找一找有没有错误.师生活动：将基本不等式中对号入座，对有困难的学生进行反例提示，学生体会不等式成立的条件的重要性.【设计意图】基本不等式成立的条件往往学生易忽视，前面虽然是学生自己探究出来的结果，但学生在应用方面仍存在不仔细的现象，所以这里用易出错的题目进行强调.另外此处继续巩固用换元的方法思考问题；【课件开发】根椐学生回答，放
23、映幻灯片.图12问题12：将上述两个不等式改正后，将左边代数式写成函数解析式形式.提出问题：利用不等式得出函数的哪些性质？自变量满足什么条件时，函数取得最值？师生活动：分析函数性质，体会基本不等式在求函数最值中的作用.会用“当且仅当”的条件求函数何时取得最值，并反思由于函数解析式中互为倒数的两数相加，必然会出现相乘为定值,进而最小值为2的情况.之后给出变式练习：当时 ,求函数 的最小值，并求出当 x为何值时，函数值最小.【设计意图】求函数的最值是本节应用的重点，它需要一个循序渐进的过程，本节课为后面学习打好基础，在此处已渗透一正二定三相等的方法,为学生铺路搭桥.变式练习将两个加数变为不互为倒数
24、的情况,使学生能举一反三解决问题.【课件开发】逐个出示放映幻灯片，达到增强知识间联系的效果.图13图14图15问题13：用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？师生活动：建立函数模型解答问题，体会基本不等式在解题中的作用.【设计意图】（1）使学生利用基本不等式解决简单的实际问题；（2）尝试运用数学知识解决实际问题，树立科学的节能减排意识和环保意识.体会在市场经济下，运用所学数学知识优化生活中的一些问题的重要性.【课件开发】出示教材中的例1.图16（五）归纳梳理，体会研究价值问题15：本节课主要学习了什么？在本节课学习的过程中，你有何体会？
25、能否求函数？师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其指出本节课所经历的知识探究过程和数形结合的思想，强调数学文化及用不等式解决生活问题时给我们带来的启示，提出思考问题为下节课作准备.【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识及方法纳入已有的认知结构，提升情感、态度、价值观目标.通过两个思考问题为下节课的学习埋下伏笔.【课件开发】出示幻灯片，总结本节课内容，引发对下节内容的思考.图16（六）目标检测设计1. 比大小 ; ; ；【设计意图】采用三道简单的比大小的题目，检测学生对基本不等式内容的掌握和使用情况.2. 求下列函数的最小值，并求
26、出自变量满足什么条件时取得最小值.； ； ；【设计意图】检测型函数在定义域为的最小值的掌握情况.第（1）小题体现取最小值时有两个值，第（2）体现简单的配凑方法，检测学生对不等式形式的理解；第（3）题重点突出换元思想和“=”成立条件的理解.此题为下节课的学习作准备.布置作业：和上述目标检测题【课件开发】出示幻灯片，为学生布置作业.图18基本不等式教学反思依据课程标准，在充分挖掘教材知识、方法与德育内容的基础上，我执教了人教A版必修五第三章第四节基本不等式中的第一课时.课堂上通过为学生创设探究情境、生活情境，组织学生展开讨论，引导学生亲身感受，呈现了一节以“学生动手实验，自主探究新知”为主线的探究
27、课.反思准备过程和课堂实施过程的点滴，在数学教学中的德育渗透和开展动手实验的活动等方面，我有了一些新的思考.一、 在新课标理念的指引下深入挖掘教材是上好一堂课的前提高中数学新课程标准（以下简称课标）指出，教师应倡导“自主、合作、探究”的学习方式.为此我们应鼓励学生积极参与教学活动，要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程.对于本节教材中简短的篇幅很难直接找到为学生搭设探究平台的素材，这就需要我们有对教材加工的能力，有组织“探究式”课堂的经验.教学中本着这一理念，我开展了三次以学生为中心的数学实验活动，做到从教师引导到教师参与最后完全放手，为学生经历过
28、程、学会方法搭设好平台，实现了学生从感知方法到经历研究过程最后能独立解决问题的目标.这些活动的设计源自教材中的赵爽的弦图，对其进行适当的加工.另外在教材处理上,我将两个平均数的定义提前介绍，改变了教材的顺序，为学生创设了探究基本不等式探究过程的情境.我体会到充分挖掘教材的优势和潜能，大胆创新教法，灵活使用教材，能努力实现“教与学”的和谐统一课标中指出，教学要体现数学文化价值.我抓住教材中赵爽的弦图，有意识地开展以爱国主义为核心的民族精神教育，弘扬中国的数学文化，赞扬华夏民族热情好客的优良传统.我认为对数学文化价值的体现可以落实在日常教学中，我们只要留心与所学知识相关的数学家故事、数学研究过程中
29、的一些可贵的精神，并与学生共享，一定能提升学生科学的态度和良好的学习品质，定能将民族精神渗透到日常的教学中.课标中指出，教学要发展学生的数学应用意识.本节课我立足于教材中例1，利用题后反思的形式，使学生亲身感受数学的作用，对学生形成和发展数学应用意识起到一定促进作用.课标教材各部分都十分重视生活化的例题，我们要利用好这一优势，对每个题目认真推敲，教学中既能体现所学新知的应用，又要体现数学与人类社会的关系，要善于以例题的生活背景为素材，对学生进行德育教育.二、 数学课堂会因潜移默化的德育内容而更加精彩课堂教学是将社会主义核心价值体系融入教育的主渠道，因此知识教学和德育教育二者不能偏执其一，我们既
30、要挖掘德育教育的“点”，还要把握德育教育的“量”和“度”，追求学科教学中知识学习和德育教育的融合.本节课我结合教学内容设计了多个自然的学科德育点，德育目标的落实不是单靠老师平铺直叙的说教，而是融入到知识的生长点处，融入到学生对知识的内化的过程之中.比如通过学生动手操作、观察、猜想、证明等活动培养学生观察问题、分析问题、解决问题的科学探究能力，通过开展组间合作学习，培养学生合作交流的意识，通过学生利用所学知识帮助别人辨别真伪的情境,感受社会诚信的重要性，进而对学生进行精神文明教育，通过对教材例1的题后反思，使学生树立科学的节能减排意识，通过基本（重要）不等式的探究过程，感悟量变与质变的辩证关系的
31、马克思主义原理.纵观整堂课，我认为德育点还是比较多的，但教学中并没有占用过多的时间，是将其完全渗透在知识教学之中，切实找到德育内容与知识教学的结合点.从教学效果上看，德育内容的充实使数学课堂更“厚实”，更符合新课改的理念.从德育效果上看，学生自己“悟”出来的道理要远远好于“说教”的效果.三、 对学生合理适度的评价是实现良好教学效果的催化剂课标指出，教学中应将评价贯穿数学学习的全过程，要重视对学生数学学习过程的评价.反思本节课在此方面的做法，有一些不足之处.课堂上我采用了小组合作学习的方式，组织了几次讨论，但我只是从个体角度给予评价，轻视了小组的评价，我只关注学习成果评价而轻视了合作意识、合作方法的评价.课堂上我听到的大多是正确的答案，对数学能力较弱的学生没有及时给予关注.今后在此方面，我还要加强理论的学习和实践的探索.总之，上完本节课收获颇丰，我不但认识了寓德育于学科教学之中的重要性，还探索出一些教学方法，提升了课堂教学中落实教学育人功能的能力.
