1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时二次函数与一元二次方程、不等式的应用必备知识探新知1简单的分式不等式的解法2一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2bxc0(a0)恒成立ax2bxc0(a0)恒成立(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题3利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案关键能力攻重难题型探究题型一简单分式不等式的解法例1解不等式：(1)0；(2)0；(3)1解析(1)原不等式可化
2、为(x1)(2x1)0，1x，故原不等式的解集为x|1x(2)原不等式可化为0，即x1故原不等式的解集为x|x1(3)原不等式可化为10，0，0，则x2故原不等式的解集为x|x2归纳提升简单分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解如果能判断出分母的正负，直接去分母也可【对点练习】 解下列不等式(1)0；(2)1解析(1)原不等式可化为解得x或x，原不等式的解集为x|x或x(2)原不等式可化为0，化简得0，即0，(2x1)(x3)0，解得3x原不等式的解集为x|3x题型二不等式的恒成立问题例2已知不等式mx22xm20，若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围分析本题的
3、易错之处在于忽略对二次项系数为0的讨论，即使不符合题意，也要规范地解答，这是解题过程的完整性解析对于所有实数x都有不等式mx22xm20恒成立，即函数ymx22xm2的图象全部在x轴下方当m0时，2x20，显然对任意x不能恒成立；当m0时，由二次函数的图象可知有解得m1综上可知，m的取值范围是m|m1归纳提升求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法1利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题当未说明不等式为一元二次不等式时，有(1)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或(2)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或2分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问
4、题通过等价变形，将参变量分离出来，转化为ya(或a，或a，或a)恒成立问题：(1)若y在定义域内存在最大值m，则ya(或ya)恒成立am(或am)；(2)若y在定义域内存在最小值m，则ya(或ya)恒成立am(或am)【对点练习】 若关于x的不等式ax2(a2)x20恒成立，求实数a的取值范围解析若a0时，原不等式为2x20不恒成立，所以a0当a0时，则应有即整理得解得a2所以实数a的值为2题型三一元二次方程根的分布例3已知方程8x2(m1)xm70有两实根，如果两实根都大于1，求实数m的取值范围解析设方程两根分别为x1，x2，则x1x2，x1x2因为两根均大于1，所以x110，x210，故有
5、即解得所以m25故实数m的取值范围是m|m25归纳提升方程ax2bxc0(a0)的根的分布情况如下，其中x1，x2为该方程两根：(1)x1，x2一正一负x1x20(2)x10，x20(3)x10，x20【对点练习】 (2021陕西汉中高二期末)要使关于x的方程x2(a21)xa20的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是_a|2a1_解析设两根为x11，x21，则x110，x210，即即解得2a1题型四一元二次不等式的应用例4恩格尔系数(记为n)是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重根据某镇家庭抽样调查的统计，2003年每户家庭平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元预测20
6、03年后，每户家庭平均消费支出总额每年增加3 000元，如果到2005年该镇居民生活状况能达到小康水平(即恩格尔系数n满足40%n50%)，则这个镇每户食品消费额平均每年的增长率至多是多少(精确到0.1%)?解析设食品消费额的年平均增长率为x(x0)，则2005年，食品消费额为0.6(1x)2万元，消费支出总额为120.31.6(万元)依题意得40%50%，即又x0，解得因此1x1因为10.0333.3%，10.15515.5%，所以该镇居民的生活如果在2005年达到小康水平，那么他们的食品消费额的年增长率就应在3.3%到15.5%的范围内取值，不包括3.3%但包括15.5%，也就是说，平均每
7、年的食品消费额增长率至多是15.5%归纳提升一元二次不等式解决实际应用问题的步骤(1)理解题意，搞清量与量之间的关系(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式(组)问题(3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解【对点练习】 有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%，问桶的容积最大为多少升？解析设桶的容积为x升，显然x8依题意，得(x8)28%x由于x8，因而原不等式化简为9x2150x4000，即(3x10)(3x40)0因此x，从而8x故桶的容积最大为升误区警示不等式恒成立时忽略首项系数的符号
8、特征例5要使函数ymx2mx(m1)的值恒为负值，求m的取值范围错解二次函数ymx2mx(m1)的值恒为负，则必须图象开口向下，且与x轴无公共点m0，所求范围为m0错因分析只有一元二次不等式才有相应判别式的研究，本题中的函数由于首项系数含有参数，因此可能不是一元二次型，因此必须讨论m的取值解答本题时容易出错的地方是直接默认函数为一元二次型而采用判别式法处理正解函数ymx2mx(m1)的值恒为负值，即不等式mx2mx(m1)0对一切实数x恒成立，于是当m0时，10恒成立；当m0时，要使其恒成立，则有解得m0综上，m的取值范围为m|m0方法点拨忽略对疑似二次型问题的首项系数的讨论是二次型问题的常见
9、且典型的错误，因此要注重对首项系数的讨论课堂检测固双基1不等式0的解集是(B)ABCD解析原不等式可化为解得x，故其解集为故选B2若xx|1x2时，不等式x2mx40恒成立，求m的取值范围解析设yx2mx4，图象开口向上，因为当xx|1x2时，不等式x2mx40恒成立，所以需满足x1与x2时的函数值同时小于或等于0，即解得m53国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)为了减轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%解析设税率调低后，税收总收入为y元y2 400m(12x%)(8x)%m(x242x400)(0x8)依题意，得y2 400m8%78%，即m(x242x400)2 400m8%78%，整理，得x242x880，解得44x2根据x的实际意义，知0x8，所以x的范围为0x2- 6 - 版权所有高考资源网
