1、课后素养落实(二十八)空间中的距离问题(建议用时：40分钟)一、选择题1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是()AaBaCaDA如图建立空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)(0，a，a)，|a，(a，0，a)，|a点A1到BC1的距离da2如图，已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，点C1到平面AB1D的距离为()AaBaCaDaAABB1A1为正方形，A1BAB1，又平面AB1D平面ABB1A1，A1B面AB1D，是平面AB1D的一个法向量，由于C1DCD，所以C1到平
2、面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，设点C到平面AB1D的距离为d，则da3正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBDG则三棱锥B1EFD1的体积V等于()ABCD16C以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，E(2，0)，F(，2，0)，(2，4)，(，2，4)，(2，2，0)，cos，sin，所以S|sin， 5，又平面D1EF的法向量为n，点B1到平面D1EF的距离d|，VSd54ABC的顶点分别为A(1，1，2)，B(5，6，2)，C(1，3，1)，则AC边上的高BD等于
3、()A5BC4D2A设，D(x，y，z)则(x1，y1，z2)(0，4，3)x1，y41，z23，(4，45，3)4(45)3(3)0，|55正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()AaBaCaDaD以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n(1，1，1)，由A(a，0，0)，B(a，a，0)，得(0，a，0)，则两平面间的距离d|a二、填空题6在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为_建立空间直角坐标系，如图，则C(1，1，
4、0)，C1(1，1，1)，E，所以，(0，0，1)，所以在上的投影长度为，所以点C1到直线EC的距离d7设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(5，4，8)，则点D到平面ABC的距离为_设平面ABC的法向量n(x，y，z)，n0，n0，即，取z2，则n(3，2，2)又(7，7，7)，点D到平面ABC的距离为d|8设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是_如图建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，(2，0，0)，(2，0，2)，(2，2，0)，设平面A1BD的法向量n(x，y，z)，
5、则取x1，得n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离d|三、解答题9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离解建立如图所示的空间直角坐标系设EFBD，F为垂足，由于F的位置未确定，设(R)，则F(，0)，(1，1，0)，0，即0|，故点E到直线BD的距离为10正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离解取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，F，D1(0，1，1)，A1D1(0，1，0)设平面A1D1E的
6、一个法向量为n(x，y，z)则，即取z2，得n(1，0，2)又，点F到平面A1D1E的距离d|11如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是()AaBaCaDaA设M(0，m，m)(0ma)，(a，0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0，由(0，m，am)，故点M到直线AD1的距离d，故当m时，d取最小值a12如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB3，BC4，PA2，则点P到平面BQD的距离为()ABCDB如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立
7、空间直角坐标系，则B(3，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，Q(0，0，1)，(3，0，1)，(3，4，0)，(0，0，1)设平面BQD的法向量为n(x，y，z)，则即令x4，则y3，z12，n(4，3，12)点P到平面BQD的距离d13(多选题)若平面平面，直线l，且平面与之间的距离为d，下面给出了四个命题，其中正确的命题的为()A内有且仅有一条直线与l的距离等于dB内所有直线与l的距离等于dC内无数条直线与l的距离等于dD内所有的直线与的距离都等于d答案CD14(一题两空)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则(1)点B1到平面ABC1的距离
8、为_；(2)点C到平面ABC1的距离为_(1)(2)(1)法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则，(0，1，0)，(0，1，1)设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，1)，则有解得n，则所求距离为法二：连接AB1(图略)，VB1ABC1VABB1C1，VABB1C1SAB设点B1到平面ABC1的距离为h，则VB1ABC1Sh，SAB，所以h(2)设B1C与BC1相交于点D，则D为B1C的中点，所以点B1到平面ABC1的距离与点C到平面ABC1的距离相等所以点C到平面ABC1的距离为15如图，已知ABCDA1B1C1D1是底面边长
9、为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为求证：tan tan ；(2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高解设正四棱柱的高为h(1)证明：连AO1，AA1底面A1B1C1D1，AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成角，AB1A1在等腰AB1D1中，AO1B1D1又A1C1B1D1，AO1A1是二面角AB1D1A1的一个平面角，AO1A1在RtAB1A1中，tan h；在RtAO1A1中，tan htan tan (2)如图建立空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，则(1，0，h)，(0，1，h)，(1，1，0)设平面AB1D1的法向量为n(u，v，w)n，n，n0，n0由得uhw，vhw，n(hw，hw，w)取w1，得n(h，h，1)由点C到平面AB1D1的距离为d|，解得高h2
