1、真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华第2讲 空间中的平行与垂直的证明问题 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华高考定位 空间中的平行与垂直的证明每年必考，主要以解答题形式出现，属中等难度题.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真 题 感 悟(2015山东卷)如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点.(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华证明(1)法一 连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中
2、点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HMBD，又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华法二 在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.又因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)连接HE，GE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.真题感悟考点整合热点
3、聚焦题型突破归纳总结思维升华又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华考 点 整 合 1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.
4、(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 1】(2015江苏卷)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知ACBC，BCCC1.设 AB1 的中点为 D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面 AA1C1C；(2)BC1AB1.热点一 以棱柱、棱锥为载体的平行、垂直关系的证明真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C
5、.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂
6、直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 1】如图，在四棱锥 PABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N 分别为 PB，AB，BC，PD，PC的中点.(1)求证：CE平面 PAD；(2)求证：平面 EFG平面 EMN.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华证明(1)法一 如图1，取PA的中点H，连接EH，DH.又因为E为PB的中点，所以EHAB，EHAB.又ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD.所以
7、四边形DCEH是平行四边形.所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD.又DH平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华法二 如图 2，连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以 AF12AB.又 CD12AB，所以 AFCD.又 AFCD，所以四边形 AFCD 为平行四边形.所以 CFAD.又 CF平面 PAD，AD平面 PAD，所以 CF平面 PAD.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEF
8、F，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNDC.又ABDC，所以MNAB，所以MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 2】(2015安徽卷)如图，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥 P-ABC
9、的体积；(2)证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 ACBM，并求PMMC的值.热点二 利用平行、垂直关系判断点的存在性 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(1)解 由题设 AB1，AC2，BAC60，可得 SABC12ABACsin 60 32.由 PA平面 ABC，可知 PA 是三棱锥 P-ABC 的高，又 PA1.所以三棱锥 P-ABC 的体积 V13SABCPA 36.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)证明 在平面 ABC 内，过点 B 作 BNAC，垂足为 N，在平面PAC 内，过点 N 作 MNPA 交 PC 于点 M，连接 BM.由 PA平面A
10、BC 知 PAAC，所以 MNAC.由于 BNMNN，故 AC平面 MBN，又 BM平面 MBN，所以 ACBM.在 RtBAN 中，ANABcosBAC12，从而 NCACAN32，由 MNPA，得PMMCANNC13.探究提高 探求点的位置常常是线段的中点、三等分点等，关键是通过垂直、平行关系寻找线线平行转化为线段成比例.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 2】在如图所示的多面体中，四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形.(1)若 ACBC，证明：直线 BC平面 ACC1A1；(2)设 D，E 分别是线段 BC，CC1 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M
11、，使直线 DE平面 A1MC？请证明你的结论.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(1)证明 因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交的直线，所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交的直线，所以BC平面ACC1A1.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)解 取线段 AB 的中点 M，连接 A1M，MC，A1C，AC1，设 O为 A1C，AC1 的交点.由已知，O 为 AC1 的中点.连接 MD，OE，则 MD，OE
12、分别为ABC，ACC1 的中位线，所以，MD 綉12AC，OE 綉12AC，因此 MD 綉 OE.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华热点三 图形翻折中的平行、垂直关系【例 3】(2015陕西卷)如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD2，ABBC12ADa，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE的交点.将ABE 沿 BE 折起到
13、图 2 中A1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE.(1)证明：CD平面 A1OC；(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为36 2，求 a 的值.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(1)证明 在图 1 中，因为 ABBC12ADa，E 是 AD 的中点，BAD2，所以 BEAC，即在图 2 中，BEA1O，BEOC，且 A1OOCO，从而 BE平面 A1OC，又在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BC12AD，E 为 AD 中点，所以 BC 綉 ED，所以四边形 BCDE 为平行四边形，故有 CDBE，所以 CD平面 A1OC.真题感悟考点整合
14、热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)解 由已知，平面 A1BE平面 BCDE，且平面 A1BE平面 BCDEBE，又由(1)，A1OBE，所以 A1O平面 BCDE，即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高，由图 1 知，A1O 22 AB 22 a，平行四边形 BCDE 的面积 SBCABa2，从而四棱锥 A1BCDE 的体积为 V13SA1O13a2 22 a 26 a3，由 26 a336 2，得 a6.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高(1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决
15、问题的突破口.(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 3】如图 1，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，ADAE，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交于点 G，将ABF沿 AF 折起，得到如图 2 所示的三棱锥 ABCF，其中 BC 22.(1)证明：DE平面 BCF；(2)证明：CF平面 ABF；(3)当 AD23时，求三棱锥 FDEG 的体积 VFDEG.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(1)证明 在等边ABC 中，
16、ADAE，ADDBAEEC在折叠后的三棱锥 ABCF 中也成立.DEBC，又 DE平面 BCF，BC平面 BCF，DE平面 BCF.(2)证明 在等边ABC 中，F 是 BC 的中点，AFCF.在三棱锥 ABCF 中，BC 22，BFCF12，真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华BC2BF2CF2，CFBF.又 BFAFF，CF平面 ABF.(3)解 由(1)、(2)可知 GE平面 DFG，即 GE 为三棱锥 EDFG 的高.VFDEGVEDFG1312DGFGGE13121313 32 133324.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华1.空间中点、线、面的位置关系的
17、判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.3.在应用直线和平面平行的性质定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的所有直线”的错误.4.解决平面图形的翻折问题，关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性”与“量”，即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等.
