1、第2课时对数函数图象及性质的应用(习题课)对数型函数的最值与值域例1求下列函数的值域：(1)ylog(x22x1)；(2)f(x)log2log2(1x4)解(1)设tx22x1，则t(x1)22.ylogt为减函数，且00，则此函数的单调递增区间是()A(，3)B(，3)(1，)C(，1) D(1，)(2)已知函数f(x)lg(x22axa)在区间(，3)上是减函数，求实数a的取值范围（1）解析f(2)loga50loga1，a1.由x22x30得函数f(x)的定义域为(，3)(1，)设ux22x3，则此函数在(1，)上为增函数又ylogau(a1)在(0，)上也为增函数，函数f(x)的单调
2、递增区间是(1，)，故选D.答案D 解设u(x)x22axa.f(x)在(，3)上是减函数，u(x)在(，3)上是减函数，且u(x)0在(，3)上恒成立又u(x)(xa)2aa2在(，a)上是减函数a.满足条件的实数a的取值范围是.母题探究1(变条件)本例(1)中条件变为“f(x)lg(x22x)”，其他条件不变，试求函数f(x)的单调递增区间解：由已知，得x22x0，解得x2或x0.因为ux22x在(2，)上单调递增，在(，0)上单调递减，而ylg u在(0，)上是增函数，所以ylg(x22x)的单调递增区间为(2，)2(变条件)本例(2)中条件变为“f(x)loga(6ax)在0，2上为减
3、函数”，求a的取值范围解：若函数f(x)loga(6ax)在0，2上为减函数则解得1a0.当a1时，ylogaf(x)的单调性在f(x)0的前提下与yf(x)的单调性一致；当0a0的前提下与yf(x)的单调性相反提醒研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则 跟踪训练1若ylog(2a3)x在(0，)上是增函数，则实数a的取值范围为_解析：由ylog(2a3)x在(0，)上是增函数，所以2a31，解得a2.答案：(2，)2讨论函数yloga(3x1)的单调性解：由3x10，得函数的定义域为.当a1，x时，函数yf(x)loga(3x1)为增函数；
4、当0a时，函数yf(x)loga(3x1)为减函数.有关对数型函数的探究开放题例3某老师为加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f(x)lg 为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：同学甲发现：函数f(x)的定义域为(1，1)；同学乙发现：函数f(x)是偶函数；同学丙发现：对于任意的x(1，1)，都有f2f(x)；同学丁发现：对于任意的a，b(1，1)，都有f(a)f(b)f；同学戊发现：对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足0.以上成果你认为都正确吗？写出正确成果的序号解在中，因为f(x)lg ，所以0，解得函数的定义域为(1
5、，1)，所以是正确的；在中，f(x)lg lg f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以是错误的；在中，对于任意x(1，1)，有flg lg lg ，又2f(x)2lg lg ，所以是正确的；在中，对于任意的a，b(1，1)，有f(a)f(b)lg lg lglg ，又flg lg ，所以是正确的；在中，对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足0，即说明f(x)是单调递增函数，但f(x)lg lg是减函数，所以是错误的综上可知，正确研究成果的序号为.求解探究开放性问题的要点 跟踪训练若函数f(x)的定义域为R，满足对任意x1，x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，
6、则称f(x)为V型函数；若函数g(x)的定义域为R，满足对任意xR，g(x)0恒成立，且对任意x1，x2R，有lg g(x1x2)lg g(x1)lg g(x2)，则称g(x)为对数V型函数(1)当函数f(x)x2时，判断f(x)是否为V型函数，并说明理由；(2)你能否结合条件判断g(x)x22是否为对数V型函数，并说明理由；(3)若函数f(x)是V型函数，且满足对任意xR，有f(x)2，问f(x)是否为对数V型函数？若是，加以证明；若不是，请说明理由解：(1)f(x)x2，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2(xx)2x1x2.当x1，x2同号时，不满足f(x1x2)f(x1)f
7、(x2)，f(x)不是V型函数(2)g(x)是对数V型函数g(x)x220恒成立，要证对任意x1，x2R，lg g(x1x2)lg g(x1)lg g(x2)，即证对任意x1，x2R，lg(x1x2)22lg(x2)lg(x2)，即证对任意x1，x2R，(x1x2)22(x2)(x2)(x2)(x2)(x1x2)22xx(x1x2)220，g(x)是对数V型函数(3)f(x)是对数V型函数证明如下：f(x)是V型函数，对任意x1，x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，又对任意xR，有f(x)2，1，00知1x0，且m0)，其奇偶性又怎样？提示：奇函数迁移应用1已知函数f(x)ln(x)
8、1，f(a)4，则f(a)_解析：f(x)f(x)ln(x)1ln(x)1ln(1x2x2)22，f(a)f(a)2.f(a)4，f(a)2.答案：22若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_解析：法一：依据偶函数的定义列方程求解f(x)为偶函数，f(x)f(x)0恒成立，xln(x)xln(x)0恒成立，xln a0恒成立，ln a0，即a1.法二：由于f(x)xln(x)为偶函数，又yx为奇函数，g(x)ln(x)为奇函数，g(x)g(x)，即ln(x)ln(x)，ln a0，即a1.答案：11函数f(x)lg 是()A奇函数B偶函数C既奇又偶函数 D非奇非偶函数解析：选A由f(x)定义
9、域为R，f(x)f(x)lg lg lg lg 10，f(x)为奇函数，故选A.2函数f(x)lg x2的单调递减区间是()A(，0) B(，1)C(1，) D(0，)解析：选A函数f(x)lg x2，可令tx2(x0)，则ylg t，由tx2在(，0)上递减，(0，)上递增，ylg t在(0，)上递增，可得函数f(x)lg x2的单调递减区间是(，0)3已知函数f(x)log2(12x)，则函数f(x)的值域是()A0，2) B(0，)C(0，2) D0，)解析：选Bf(x)log2(12x)，12x1，log2(12x)0，函数f(x)的值域是(0，)，故选B.4(多选)已知f(x)lg(
10、10x)lg(10x)，则f(x)()A是奇函数 B是偶函数C在(0，10)上单调递增 D在(0，10)上单调递减解析：选BD由得x(10，10)，故函数f(x)的定义域为(10，10)，因为x(10，10)都有x(10，10)，且f(x)lg(10x)lg(10x)f(x)，故函数f(x)为偶函数f(x)lg(10x)lg(10x)lg(100x2)，y100x2在(0，10)上递减，ylg x递增，故函数f(x)在(0，10)上递减5已知函数f(x)|logx|的定义域为，值域为0，1，则m的取值范围为_解析：作出f(x)|logx|的图象(如图)可知ff(2)1，f(1)0，由题意结合图象知：1m2.答案：1，2
