1、2对数的运算21对数的运算性质新课程标准解读核心素养理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算数学抽象、数学运算大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质中，得出相应对数的运算性质吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算性质呢？问题观察下列各式，你能从中猜想出什么结论？(1)log2(24)log22log243；(2)log3(39)log33log393；(3)log2(48)log24log285.知识点对数的运算性质若a0，且a1，M0，N0，bR，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMb
2、blogaM对数运算中的常见公式及推广(1)logalogaM(M0，nN，n1，a0，且a1)；(2)logalogaM(M0，a0，且a1)；(3)logalogaM(M0，n，pN，p，n1，a0，且a1)；(4)loga(MN)logaMlogaN(a0，且a1，M0，N0)可推广为loga(N1N2Nk)logaN1logaN2logaNk(kN，N1，N2，Nk均大于0，a0，且a1) 在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，loga(MNQ)logaMlogaNlogaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积
3、12log510log50.25()A0B1C2 D4解析：选C原式log5(1000.25)log5252.故选C.2计算：(1)lg lg _；(2)log345log35_；(3)log2(2345)_解析：(1)lg lg lg()lglg 10.(2)log345log35log3log39log3322.(3)log2(2345)log223log24535log2435log22235213.答案：(1)(2)2(3)13对数式的运算例1(链接教科书第100页例1)计算下列各式的值：(1)log2log224log284；(2)lg 52lg 8lg 5lg 20(lg 2)2.
4、解(1)法一：原式log2log2.法二：原式log2log2(233)log2(2237)log27log2(253)3log231log23log275log232log232.(2)原式2lg 52lg 2lg 5(1lg 2)(lg 2)22(lg 5lg 2)lg 5lg 2(lg 5lg 2)2lg 5lg 2213.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；(2)两种常用的方法：“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；“拆”，将积(商)的对数
5、拆成同底的两对数的和(差) 跟踪训练计算：(1)log3lg 25lg 47(9.8)0；(2)2log32log3log385.解：(1)原式log33lg 52lg 2212lg 52lg 232(lg 5lg 2)32lg 103215.(2)原式2log32(log325log332)log32352log325log322log333log329297.用已知对数式表示求值问题例2(链接教科书第100页例2)用logax，logay，logaz表示下列各式：(1)loga(x2yz)；(2)loga；(3)loga.解(1)loga(x2yz)logax2logaylogaz2log
6、axlogaylogaz.(2)logalogax2loga(yz)2logax(logaylogaz)2logaxlogaylogaz.(3)logalogaloga(y2z)logax2logaylogaz.用已知对数式表示求值问题的关键是充分利用对数运算的性质将要表示的对数式变形 跟踪训练已知alog32，用a来表示log382log36为()Aa2 B5a2C3a(1a)2 D3aa21解析：选Alog382log363log322(log32log33)3a2(a1)a2.对数方程例3(链接教科书第105页B组3题)方程log2(9x5)2log2(3x2)的解为x_解析原方程可化为
7、log2(9x5)log24(3x2)，9x54(3x2)0，3x2，(3x)243x30，(3x3)(3x1)0，3x2，3x3，即x1.答案1母题探究1(变条件)本例条件变为“log2(92x)3x”，求x的值解：log2(92x)3x，log2(92x)log22(3x)，92x2(3x)，可化简为92x，令2xt(t0)，可得9t，化简为t(9t)8，即t29t80，(t1)(t8)0，解得t11，t28，2x1或8，解得x0或3.2(变条件)本例条件变为“59”，求x的值解：59，59，且2x10，(2x1)29，2x13(2x13舍去)，解得x2.对数方程的类型及一般解法(1)lo
8、gaf(x)logag(x)：可利用对数性质化为一般方程f(x)g(x)0求解；(2)p(logax)2qlogaxr0：利用换元法，设tlogax，化为一元二次方程pt2qtr0求解 跟踪训练已知log(x3)(x23x)1，则实数x_解析：由对数的性质，得解得x1，故实数x的值为1.答案：1对数式的实际应用例4分贝是计量声音强度相对大小的单位物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P02105帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，
9、60110为过渡区，110以上为有害区(1)试列出分贝y与声压P的函数关系式；(2)某地声压P0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？解(1)由已知得y20lg (其中P02105)(2)当P0.002 时，y20lg 20lg 10240(分贝)由已知条件知40分贝小于60分贝，所以此地为噪音无害区，声音环境优良解决对数应用题的一般步骤 跟踪训练在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1，2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A1010.1 B10
10、.1Clg 10.1 D1010.1解析：选A由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2m1lg ，得26.71.45lg ，lg 10.1，lg 10.1，1010.1.1以下四个式子中a0且a1，x0，m0，n0，其中恒成立的是()A(logax)33logaxBloga(mn)logamloganClogalogamloganD.logaxm解析：选C由对数的运算性质可知，a0且a1，m0，n0，logalogamlogan，故选C.2计算(log3122log32)()A0 B1C2 D4解析：选Blog64log63log64log63log62log63log661，log3122log32log312log34log331，(log3122log32)1，故选B.3若lg xlg yt，则lglg()A3t BtCt D.解析：选Alglg3lg3lg3lg3(lg xlg y)3t.4方程lg(2x1)lg x1的解为_解析：由题得lg(2x1)x1lg 10，所以x(2x1)10，所以2x2x100，解得x2或x.经检验，当x时，原方程没有意义，x2满足方程答案：x2
