1、8.3圆及其方程必备知识预案自诊知识梳理1.圆的定义及方程定义平面内到一的距离等于的点的集合标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)圆心,半径一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心,半径温馨提示当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-D2,-E2;当D2+E2-4F0.()2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C的标准方程为()A.x2+y2=1B.(x-3)2+y2=1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-3)2=13.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则圆C的标准方程是()A
2、.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=14.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是.5.已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则AOB外接圆的方程为.关键能力学案突破考点求圆的方程【例1】(1)已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为()A.x-322+y2=254B.x+342+y2=2516C.x-342+y2=2516D.x-342+y2=254(2)在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1
3、)为圆心且与直线x-by+2b+1=0相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为()A.x2+(y-1)2=4B.x2+(y-1)2=2C.x2+(y-1)2=8D.x2+(y-1)2=16解题心得求圆的方程的方法方法解读适合题型几何法通过研究圆的性质、直线和圆及圆和圆的位置关系,进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程.常用的几何性质如下:(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的垂直平分线上;(3)当两圆内切或外切时,切点与两圆心三点共线题设条件中有明显的几何特征待定系数法(1)根据条件设出圆的方程,一般地,若题目中有与圆心和半径有关的信息,则选择标准方程(x-a)2+(y-
4、b)2=r2(r0),若已知圆上三点的坐标(或三点坐标易求),则选择一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0);(2)由题目给出的条件,列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程题设条件中有明显的代数特征对点训练1圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的方程为.考点与圆有关的轨迹问题【例2】已知直角三角形ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0).(1)求直角顶点C的轨迹方程;(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程.解题心得求与圆有关的轨迹问题的3种方法(1)直接法:当题目条件中含
5、有与该点有关的等式时,可设出该点的坐标,用坐标表示等式,直接求解轨迹方程.(2)定义法:当题目条件符合圆的定义时,可直接利用定义确定其圆心和半径,写出圆的方程.(3)代入法:当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求轨迹方程.对点训练2(1)从圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0(2)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=
6、0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,则点M的轨迹方程为.考点与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助目标函数的几何意义求最值【例3】已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求n-3m+2的最大值和最小值.解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.(1)形如u=y-bx-a形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转
7、化为动点到定点的距离的平方的最值问题.对点训练3已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=y+1x的最大值与最小值分别为和.考向2借助圆的几何性质求最值【例4】已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是.解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.对点训练4(2020山东济宁模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则ABP的面积的最小值为.考向3建立函数关系求最值【例5】(2020福建厦门模拟)设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则PAPB的最大值为.解题心得利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或均值不等式求最值.对点训练5(2020宁夏银川模拟)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|PA+PB|的最大值为.
