1、4.4三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦与正切公式必备知识预案自诊知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角差的余弦公式:cos(-)=;两角和的余弦公式:cos(+)=;两角差的正弦公式:sin(-)=;两角和的正弦公式:sin(+)=;两角和的正切公式:tan(+)=;两角差的正切公式:tan(-)=.2.辅助角公式asin x+bcos x=a2+b2sin(x+),其中tan =ba.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2=;(2)cos 2=;(3)tan 2=2tan1-tan2.4.降幂公式与半角公式(1)降幂公式sin2=1-cos22;cos2=1+c
2、os22;tan22=1-cos1+cos.(2)半角公式sin 2=1-cos2;cos 2=1+cos2;tan 2=1-cos1+cos.5.积化和差公式sin cos =12sin(+)+sin(-),cos sin =12sin(+)-sin(-),cos cos =12cos(+)+cos(-),sin sin =-12cos(+)-cos(-).6.和差化积公式cos x+cos y=2cosx+y2cosx-y2,cos x-cos y=-2sinx+y2sinx-y2,sin x+sin y=2sinx+y2cosx-y2,sin x-sin y=2cosx+y2sinx-y
3、2.1.公式的常用变式:tan tan =tan()(1tan tan ).2.升幂公式:(1)1+cos =2cos22;(2)1-cos =2sin22;(3)1sin =(sin2cos2)2.3.用tan 2表示sin ,cos 及tan 如下:sin =2sin2cos 2=2sin2cos2sin22+cos22=2tan21+tan22;cos =cos22-sin22=cos22-sin22cos22+sin22=1-tan221+tan22;tan =sincos=2tan21-tan22.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)两角和与差的正弦、
4、余弦、正切公式中的角,是任意的.()(2)公式asin x+bcos x=a2+b2sin(x+)中的取值与a,b的值无关.()(3)cos =2cos22-1=1-2sin22.()(4)当是第一象限角时,sin2=1-cos2.()(5)1-tan1+tan=tan4+.()2.(2020全国3,理9)已知2tan -tan+4=7,则tan =()A.-2B.-1C.1D.23.(2020广东揭阳一模,4)若sin2-2=35,则sin4-cos4的值为()A.45B.35C.-45D.-354.(2020湖南常德一模,文13)已知sin 20+mcos 20=2cos 130,则m=.
5、5.(2020全国2,文13)若sin x=-23,则cos 2x=.关键能力学案突破考点公式的直接应用【例1】(1)(2020湖南郴州二模,文4)已知角的终边在直线y=43x上,则tan4-=()A.17B.-17C.7D.-7(2)(2020浙江,13)已知tan =2,则cos 2=;tan-4=.解题心得三角函数和、差、倍、半公式对使公式有意义的任意角都成立.在解题时要注意观察已知条件中的角和所求函数值的角之间的和、差、倍、互补、互余等关系,以便于用已知角表示未知角.对点训练1(1)(2020山西太原五中6月模拟,理8)已知,32,2sin 2=1-cos 2,则tan2=()A.-1
6、+52B.-1+52C.-152D.1-52(2)已知sin =35,2,则cos22sin(+4)=.考点公式的逆用及变用【例2】(1)(2020全国3,文5)已知sin +sin+3=1,则sin+6=()A.12B.33C.23D.22(2)(2020陕西宝鸡三模,文11)数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用,黄金分割比t=5-120.618还可以表示成2sin218,则2cos227-1t4-t2=()A.4B.5-1C.2D.12(3)计算:tan 25+tan 35+3tan 25tan 35=.解题心得运用两角和与差的三角函数公式时,不但要
7、熟练公式的直接应用,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan+tan=tan(+)(1-tantan)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.对点训练2(1)设a=cos 50cos 127+cos 40cos 37,b=22(sin 56-cos 56),c=1-tan2391+tan239,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.bacC.cabD.acb(2)已知cos-6+sin =435,则sin+6=.考点角的变换与名的变换(多考向探究)考向1三角公式中角的变换【例3】(1)(2020河北石家庄二模,文7)在平面直角坐标系
8、中,角+3的终边经过点P(1,2),则sin =()A.25-1510B.35-1510C.35+1510D.25+1510(2)(2020山东聊城二模,13)已知cos+5=35,0,2,则sin2-35=.解题心得1.三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧2=(+)+(-),=(+)-,=+2-2,=+2+-2,-2=+2-2+.对点训练3(1)(2020四川成都模拟,理7)在平面直角坐
9、标系xOy中,若角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆O交于点P(x0,y0),且-2,0,cos+6=35,则x0的值为()A.33-410B.43-310C.33410D.43310(2)(2020山东济宁5月模拟,14)已知tan(+)=25,tan =13,则tan+4的值为.考向2三角公式中名的变换【例4】已知,为锐角,tan =43,cos(+)=-55.(1)求cos 2的值;(2)求tan(-)的值.解题心得三角函数名的变换技巧:明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.对点训练4(1)已知tan +1tan=4,则cos2+4=()A.12B.13C.14D.15(2)(2019江苏,13)已知tantan+4=-23,则sin2+4的值是.
