1、7.2.2复数的乘、除运算目标 1.掌握复数的乘法法则，能熟练地进行复数的乘法运算；2.理解共轭复数的意义；3.掌握复数的除法法则，能熟练地进行复数的除法运算重点 复数的乘法与除法的运算法则难点 复数的除法运算 要点整合夯基础 知识点一复数的乘法运算填一填1复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2复数的乘法满足的运算律对任意z1、z2、z3C，有答一答1两个复数的乘法运算法则类似多项式的乘法法则，多个复数的乘法呢？提示：多个复数的乘积运算也类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，再分别合并实部、虚部2若z1，z2C，
2、(z1z2)2z2z1z2z是否成立？提示：成立复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立知识点二复数的除法运算填一填复数代数形式的除法法则(abi)(cdi)i(a，b，c，dR，且cdi0)答一答3复数除法的实质是怎样的？提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可 典例讲练破题型 类型一复数的乘法运算例1(1)已知a，bR，i是虚数单位，若ai2bi，则(abi)2()A34i B34i
3、C43i D43i(2)已知a，bR，i是虚数单位若(ai)(1i)bi，则abi_.分析复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部、虚部分别合并解析(1)a，bR，ai2bi，a2，b1，(abi)2(2i)234i.(2)因为(ai)(1i)a1(a1)ibi，a，bR，所以解得所以abi12i.答案(1)A(2)12i正确使用乘法公式，此类题就不难解决.三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、完全平方公式等.变式训练1计算下列
4、各题(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(2i)(15i)(34i)；(3)(1i)3.解：(1)(1i)(1i)(1i)1i21i1i.(2)(2i)(15i)(34i)(210ii5i2)(34i)(311i)(34i)912i33i44i25321i.(3)(1i)3(1i)2(1i)(12ii2)(1i)(2i)(1i)2i2i222i.类型二共轭复数例2已知复数z满足z2iz42i，求复数z.分析设zxyi(x，yR)由题意得到方程组求x，y的值得到复数z.解设zxyi(x，yR)，则xyi，由题意，得(xyi)(xyi)2(xyi)i(x2y22y)2xi42i，解得或z13i或
5、z1i.变式训练2已知复数z，是z的共轭复数，则z等于(A)A.B.C1 D2解析：因为z，所以|z|，所以z.类型三复数的除法运算例3计算：(1)；(2).分析复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似解(1)因为i1，i.所以i1(i)1.(2)iii2i. 变式训练3已知复数z满足(z1)i1i，则z(C)A2iB2iC2i D2i解析：z11i，所以z2i. 课堂达标练经典 1z1，z2是复数，且zz0，则正确的是(B)AzzBz1，z2中至少有一个是虚数Cz1，z2中至少有一个是实数Dz1，z2都不是实数解析：取z11，z22i
6、满足zz0，从而排除A和D；取z1i，z22i，满足zz0，排除C，故选B.2设复数z满足(1i)z2i，则z(A)A1i B1iC1i D1i解析：设zabi(a，bR)，则(1i)(abi)2i，即(ab)(ba)i2i.根据复数相等的充要条件得解得z1i，故选A.3若(xi)i12i(xR)，则x2.解析：由题意，得xi2i，所以x2.4复数的共轭复数是2i.解析：2i，其共轭复数为2i.5已知复数z满足z(13i)(1i)4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若wzai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围解：(1)z1i3i3424i，所以复数z的共轭复数
7、为24i.(2)w2(4a)i，复数w对应的向量为(2,4a)，其模为.又复数z所对应向量为(2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得208aa220，a28a0，所以，实数a的取值范围是8a0.本课须掌握的三大问题1复数的乘除法(1)复数乘法与多项式乘法类似，但注意结果中i2应化为1.(2)复数除法先写成分式的形式，再将分母实数化，但注意结果一般写成实部与虚部分开的形式2共轭复数(1)复数z的共轭复数通常用表示，即当zabi(a，bR)时，abi.(2)两个共轭复数的乘积是一个实数，这个实数等于两个共轭复数模的平方，即若zabi(a，bR)，则za2b2|z|2|2.(3)实数a的共轭复数仍是a本身，即zC，zzR，这是判断一个数是否为实数的一个准则(4)两个共轭复数的对应点关于实轴对称3虚数单位i的乘方由i41，则对任意nN*，i的幂的周期性如下：i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1.
