1、专题(3)三角形中的范围问题1.在ABC中,bsin AaB是sin Asin B的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.钝角三角形的三边为a,a+1,a+2,其中最大角不超过120,则a的取值范围是()A.(0,3)B.32,3C.(2,3D.1,524.(2018年4月浙江学考)在ABC中,已知AB=2,AC=3,则cos C的取值范围是.5.已知ABC中的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=1,C-B=2,0B0),当ABC有且只有一解时,求实数m的取值范围及ABC面积S的最大值.专题(3)三角形中的范围问题1.B解析由ab可知AB,所
2、以角A为锐角,由正弦定理asinA=bsinB得asinB=bsinAa,即sinB1;当AB90时,角B为锐角;当90BB,则ab,由正弦定理asinA=bsinB得sinAsinB;若sinAsinB,则ab,则AB.故选C.3.B解析由已知可得a+(a+1)a+2,-12a2+(a+1)2-(a+2)22a(a+1)0,解得32a3.4.53,1解析AB=2,AC=3,cosC=AC2+BC2-AB22ACBC=a2+56a=16a+5a53,当且仅当a=5时,等号成立,又0C,cosC1,cosC的取值范围是53,1.5.22,1解析C-B=2,C=B+2,A=-B-C=2-2B,si
3、nA=cos2B,sinC=cosB,由正弦定理asinA=bsinB=csinC得b=asinBsinA=sinBcos2B,c=asinCsinA=cosBcos2B,c-b=cosB-sinBcos2B=cosB-sinBcos2B-sin2B=1cosB+sinB=12sin(B+4).0B4,4B+42,12sinB+42,2212sin(B+4)1,c-b的取值范围是22,1.6.解(1)因为cosA=12,0A,所以A=3;(2)由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA=7,故a=7;(3)因为2sinB+cos6+B=32sinB+32cosB=3sinB+6,又0B23,
4、所以当B=3时,2sinB+cos6+B取最大值为3.7.解(1)由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12,所以A=3;(2)由a=3,A=3及正弦定理得bsinB=csinC=asinA=332=2,得b=2sinB,c=2sin23-B,其中B0,23,所以周长y=3+2sinB+2sin23-B=23sinB+6+3.由B0,23得B+66,56,从而周长y(23,33.8.解(1)由acosC+12c=b得sinAcosC+12sinC=sinB.又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,12sinC=cosAsinC,sinC0,cosA=12,又0
5、A,A=3.(2)由正弦定理得b=asinBsinA=23sinB,c=23sinC,l=a+b+c=1+23(sinB+sinC)=1+23sinB+sin(A+B)=1+232sinB+12cosB=1+2sinB+6.A=3,B0,23,B+66,56,sinB+612,1,故ABC的周长l的取值范围为(2,3.9.解(1)方法一使用余弦定理2bcosC=2a-c2ba2+b2-c22ab=2a-c,b2-c2-a2=-acb2=a2+c2-ac.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,cosB=12B=3.方法二观察等式a,b,c齐次,考虑使用正弦定理2bcosC=2a-c2s
6、inBcosC=2sinA-sinC2sinBcosC=2sin(B+C)-sinCsinC=2sinCcosB,cosB=12B=3;(2)A+C=23C=23-A,sinAsinC=sinAsin23-A=sinA32cosA+12sinA=32sinAcosA+12sin2A=34sin2A+1-cos2A4=12sin2A-6+14.ABC为锐角三角形,A,B,C0,2,即0A2,023-A26A2,2A-66,56,sin2A-612,1,sinAsinC的取值范围为12,34.10.解(1)若选,由已知化简得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,由正弦定理得b2+c
7、2-a2=bc,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.因为0A,所以A=3.若选,由二倍角公式cosA2=1-2sin2A4=32,故cosA=2cos2A2-1=12.因为0A,所以A=3.若选,由题设及正弦定理得sinBsinB+C2=sinAsinB.因为0A,sinB0,所以sinB+C2=sinA.由A+B+C=,可得sinB+C2=cosA2,故cosA2=2sinA2cosA2.因为0A20,故m=2或0m3,所以m(0,32,当m=2时,ABC为直角三角形,B为直角,c=1,所以S=12ac=1213=32;当0m3时,因为a=3,A=3,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA2bc-bc=bc,所以bc3,当且仅当b=c时,等号成立,所以三角形面积为S=12bcsinA12332=334,即ABC面积的最大值Smax=334.综上,ABC面积的最大值Smax=334.
