1、第2课时函数奇偶性的应用目标 1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题重点 利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值难点 运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题知识点一函数奇偶性的性质填一填1奇、偶函数代数特征的灵活变通由f(x)f(x)，可得f(x)f(x)0或1(f(x)0)；由f(x)f(x)，可得f(x)f(x)0或1(f(x)0)在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便2函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0，有时可以用这个结论来否定一个
2、函数为奇函数(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)答一答1什么函数既是奇函数又是偶函数？提示：设f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)f(x)，且f(x)f(x)，故f(x)f(x)，所以f(x)0，但定义域需关于原点对称故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f(x)0且其定义域是关于原点对称的非空数集2利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在
3、关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数知识点二函数奇偶性与单调性的联系填一填由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同，而偶函数的图象关于y轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用函数单调性和奇偶性的定义答一答3设f(x)是R上的偶函数，且在0，)上单调递增，则f(2)，f()，f(3)的大小顺序是f()f(3)f(2)解析：f(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上递增，而23f(3)f(2)，即f()f(3)f(2).类型一
4、 利用函数的奇偶性求函数的值或解析式例1(1)已知函数f(x)ax3bx3(其中a、b为常数)，若f(3)2 015，则f(3)_.(2)已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x3x1，求f(x)的解析式解析(1)法1：设g(x)f(x)3，则g(x)ax3bx，显然g(x)为R上的奇函数又g(3)f(3)32 01532 012，所以g(3)g(3)，即f(3)32 012，解得f(3)2 009.法2：f(x)f(x)6，f(3)6f(3)62 0152 009.(2)解：设x0，f(x)(x)3x1x3x1.又f(x)是奇函数，则f(x)f(x)f(x)x3x1，即f(x)x3
5、x1.x0时，f(x)x2x，则x0时，f(x)x2x.解析：(1)f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(1)g(1)2，即f(1)g(1)2.f(1)g(1)4，即f(1)g(1)4.由得g(1)3，故选B.(2)设x0.f(x)(x)2xx2x.又f(x)是定义域为R的偶函数，f(x)f(x)x2x，当xfBff(7)Bf(6)f(9)Cf(7)f(9)Df(7)f(10)解析：由题易知yf(x8)为偶函数，则f(x8)f(x8)，则f(x)的图象的对称轴为x8.不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图)，则有f(6)f(7)，f(6)f(10)f(10)故选D.命题视角2：解不等
6、式例3设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函数，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围分析由于f(x)是奇函数，可得f(x)在2,0上递减，借助函数的奇偶性及其单调区间，可将抽象不等式f(1m)f(m)转化为具体的不等式组求解解因为f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是减函数，所以f(x)在2,2上是减函数所以不等式f(1m)f(m)等价于解得1mf(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.变式训练3已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x
7、1)f的x的取值范围是(A)A. B.C. D.解析：因为f(x)为偶函数且在0，)上是增函数，所以结合图象(如图)由f(2x1)f得2x1.解得x.命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用例4函数f(x)的定义域为x|x0，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f(x1x2)f(x1)f(x2)成立(1)求f(1)的值(2)判断f(x)的奇偶性并证明(3)若f(4)1，且f(x)在(0，)上是增函数，解关于x的不等式f(3x1)f(6)3.解(1)令x1x21得，f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明如下：令x1x21，则f(1)0，令x11，x2x，f(x)f(x
8、)，又定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)为偶函数(3)f(4)1，又f(x1x2)f(x1)f(x2)，f(4)f(4)f(44)f(16)，f(16)f(4)f(164)f(64)，f(64)f(4)f(4)f(4)，f(64)3.f(3x1)f(6)3等价于f(6(3x1)3，f(|6(3x1)|)f(64)，解得x.对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段.具体的解题策略是：首先通过赋值得到f(1)，f(0)，f(1)之类的特殊自变量的函数值，然后通过赋值构造f(x)与f(x)或f(x2)与f(x1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断.变式训练4已知定义在(1,
9、1)上的奇函数f(x)是增函数，且f.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(t1)f(2t)0.解：(1)因为f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，则f(0)0，得b0.又因为f，则a1.所以f(x).(2)因为定义在(1,1)上的奇函数f(x)是增函数，由f(t1)f(2t)0，得f(t1)f(2t)f(2t)所以有解得0t.故不等式f(t1)f(2t)0的解集为t|0t1若偶函数f(x)在(0，)上是增函数，则af()，bf()，cf()的大小关系是(C)AbacBbcaCacbDcab解析：f(x)为偶函数，则af()f()又，f(x)在(0，)上是增函数，f()ff，即acb
10、.2已知函数f(x)是偶函数，且x0时，f(x)(C)A3x1B3x1C3x1D3x1解析：设x0，则x0时，f(x)f(x)3x1.3若f(x)是定义在6,6上的偶函数，且f(4)f(1)，则下列各式一定成立的是(D)Af(0)f(3)Cf(2)f(0)Df(1)f(1)，f(4)f(1)4已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a1)f(1)0，则实数a的取值范围是(，0)解析：f(a1)f(1)0，f(a1)f(1)f(x)是奇函数，f(1)f(1)f(a1)f(1)又f(x)在R上是减函数，a11，即a0.5已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a10)f(42a)
11、0，求a的取值范围解：f(3a10)f(42a)0，f(3a10)f(42a)，f(x)为奇函数，f(42a)f(2a4)，f(3a10)2a4，a6.故a的取值范围为(6，)本课须掌握的三大问题1函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用2(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)f(x)，它能使自变量化归到0，)上，避免分类讨论3具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在a，b和b，a上具有相同的单调性(2)偶函数在a，b和b，a上具有相反的单调性
