1、第三章 万有引力定律 一、主干知识成体系 二、迁移交汇辨析清 (一)天体运动中四组易混概念的比较 1两个半径天体半径和卫星轨道半径(1)天体半径R：在中学物理中通常把天体看成一个球体，天体半径就是球的半径，反映了天体的大小。(2)卫星轨道半径r：卫星绕中心天体做圆周运动的轨道圆的半径。特别提醒 当卫星贴近天体表面运动时，可近似认为r R。2三种速度运行速度、发射速度和宇宙速度 比较项目概念大小影响因素运行速度卫星绕中心天体做匀速圆周运动的速度vGMr轨道半径 r 越大，v 越小发射速度在地面上发射卫星的速度大于或等于7.9 km/s卫星的发射高度越高，发射速度越大宇宙速度实现某种要求所需的最小
2、发射速度v17.9 km/sv211.2 km/sv316.7 km/s根据不同卫星发射要求决定3.两种周期自转周期和公转周期(1)自转周期：天体绕自身某轴线转动一周所用的时间，取决于天体自身转动的快慢。(2)公转周期：天体绕中心天体做圆周运动一周的时间，由GMmr2m2T2r得 T2 r3GM，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离，与运行天体自身质量无关。(3)关系：一般情况下天体的自转周期和公转周期是不相等的，它们之间没有直接联系，在应用中要注意区别。如地球自转周期为 24 小时，公转周期为365 天。4两种轨道圆形轨道和椭圆轨道(1)圆形轨道：卫星沿圆形轨道运行时，万有引力全部
3、用来提供向心力。卫星的加速度和向心加速度相同，可由 GMmr2 ma 得到。(2)椭圆轨道：卫星沿椭圆轨道运行时，万有引力的一个分力改变卫星运行速度的方向，另一个分力改变卫星运行速度的大小。由 GMmr2 ma 得到的是卫星运行的加速度，而非卫星的向心加速度。典例1 多选2020年中国长征火箭家族迎来了一位新成员长征八号运载火箭。长征八号的成功研制更加有利于开展空间科学技术试验研究。现假设探测到两个未命名行星A、B，已知行星A、B的密度相等，下列说法正确的是()A行星A的近地卫星的周期与行星B的近地卫星的周期相等 B行星A的同步卫星的线速度与行星B的同步卫星的线速度相等 C行星A、B表面的重力
4、加速度与行星半径的比值相等 D行星A的第一宇宙速度与行星B的第一宇宙速度相等 解析：根据 GMmR2 m42T2 R，M43R3，解得 T3G，则行星 A 的近地卫星的周期与行星 B 的近地卫星的周期相等，选项 A 正确；根据 vGMr43GR3r，因两颗行星的半径及同步卫星的高度不一定相同，则同步卫星的线速度不一定相同，选项 B 错误；根据 GMmR2 mg，解得gRGMR3 43R3GR343G，选项 C 正确；根据第一宇宙速度 vGMR 43GR3RR43G，则两行星的第一宇宙速度不一定相同，选项 D 错误。答案：AC 针对训练1多选下列关于三种宇宙速度的说法正确的是()A第一宇宙速度v
5、17.9 km/s，第二宇宙速度v211.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2B美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度C第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度D第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度解析：根据 vGMr 可知，卫星的轨道半径 r 越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v17.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项 D 正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度
6、都小于第一宇宙速度，选项 A 错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项 B 错误；第二宇宙速度是使地面物体挣脱地球引力束缚而成为太阳的一颗人造小行星的最小发射速度，选项 C 正确。答案：CD 2多选如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道，则()A该卫星的发射速度必定大于11.2 km/s B卫星在同步轨道上的运行速度大于7.9 km/s C在椭圆轨道上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度 D卫星在Q点通过加速实现由轨道进入轨道 解析：11.2 km/s是卫星脱离地球引力束缚的
7、发射速度，而同步卫星仍然绕地球运动，故选项A错误；7.9 km/s(第一宇宙速度)是近地卫星的环绕速度，也是卫星做圆周运动最大的环绕速度，同步卫星运动的线速度一定小于第一宇宙速度，故选项B错误；P点是椭圆轨道上的近地点，故卫星在P点的速度大于在Q点的速度，卫星在轨道上的Q点做向心运动，只有加速后才能沿轨道运动，故选项C、D正确。答案：CD(二)近地卫星、同步卫星与赤道上物体的比较 比较项目近地卫星(r1、1、v1、a1)同步卫星(r2、2、v2、a2)赤道上随地球自转的物体(r3、3、v3、a3)向心力万有引力万有引力万有引力减去重力轨道半径r2r3r1角速度由GMmr2m2r，得 GMr3，
8、故 12同步卫星的角速度与地球的自转角速度相同，故 23123线速度由GMmr2 mv2r，得 vGMr，故 v1v2由 vr，得 v2v3v1v2v3向心加速度由GMmr2 ma，得 aGMr2，故a1a2由 a2r，得 a2a3a1a2a3续表典例2 多选如图所示，赤道上随地球自转的物体A、赤道上空的近地卫星B、地球同步卫星C，它们的运动都可视为匀速圆周运动，比较三个物体的运动情况，以下判断正确的是()A三者的周期关系为TATBTC B三者向心加速度大小关系为aAaBaC C三者角速度的大小关系为ACB D三者线速度的大小关系为vAvCvB 解题指导 分析本题抓住以下两个关键：(1)A、C
9、的共同点：具有相同的周期和角速度。(2)B、C的共同点：F万F向。解析：因为同步卫星转动周期与地球自转周期相同，故 TATC，故 A 错误；因为同步卫星的周期和地球自转周期相同，故 AC，根据 ar2 知，A 和 C 的向心加速度大小关系为 aAaC，故 B 错误；因为 A、C 的角速度相同，抓住 B、C 间万有引力提供圆周运动向心力有：GmMr2 mr2，可得角速度 GMr3，所以 C 的半径大，角速度小于 B 的角速度，即：ACB，C正确；根据 GmMr2 mv2r 得线速度 vGMr，知 vCvB，A、C 间角速度相同，根据 vr，知 C 半径大线速度大，故有 vAvCvB,D 正确。答
10、案：CD 解决两类卫星与赤道上物体问题的三点提醒(1)近地卫星与同步卫星的共同点是卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。(2)同步卫星与赤道上随地球自转的物体的共同点是具有相同的周期和角速度。(3)当比较近地卫星和赤道上物体的运动参量时，借助同步卫星这一纽带，往往会使问题迎刃而解。针对训练 3多选地球同步卫星离地心的距离为 r，运行速率为 v1，加速度为 a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a2，地球的半径为 R，第一宇宙速度为 v2，则下列比例关系中正确的是()A.a1a2rRB.a1a2rR2C.v1v2rRD.v1v2Rr解析：设地球质量为 M，同步卫星的质量为 m1，在
11、地球赤道表面随地球做匀速圆周运动的物体的质量为 m2，根据向心加速度和角速度的关系有 a112r，a222R，又 12，故a1a2rR，选项 A 正确，B 错误；由万有引力定律和牛顿第二定律得 GMm1r2 m1v12r，GMmR2 mv22R，解得v1v2Rr，选项 C 错误，D正确。答案：AD 4多选若地球同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的 1n2，则下列说法正确的是()A同步卫星的运动周期为地球自转周期的 n2 倍B同步卫星的轨道半径为地球半径的 n 倍C同步卫星运动的线速度为第一宇宙速度的 1nD同步卫星的向心加速度为赤道上的物体随地球自转的向心加速度的 1n2解析：同步卫星的
12、运行周期与地球自转周期相等，故 A 错误；在地球表面，GMmR2 mg，解得 gGMR2，根据 GMmr2 ma 得 aGMr2，因为ag 1n2，可知rRn，故 B 正确；根据 GMmr2 mv2r 得 vGMr，又rRn，则同步卫星运行的线速度为第一宇宙速度的 1n，故 C 正确；同步卫星和地球自转的角速度相等，根据 ar2 知，同步卫星的向心加速度为赤道上的物体随地球自转的向心加速度的 n 倍，故 D 错误。答案：BC 三、模型构建探本质 (一)宇宙“多星”模型问题 宇宙中除了“双星”模型，还有“三星”“四星”等“多星”问题，处理“多星”问题要抓住以下两点：(1)多颗星体在同一轨道平面上
13、绕同一点做匀速圆周运动，每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他各个星体对该星体的万有引力的合力提供。(2)每颗星体转动的方向都相同，运行周期T、角速度相等。典例1 多选太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则()A直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B直线三星系统的运动周
14、期 T4RR5GMC三角形三星系统中星体间的距离 L3 125 RD三角形三星系统中各星体转动的线速度大小为125GMR解析：直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选项 A 错误；三星系统中，对直线三星系统有 GM2R2G M22R2M42T2 R，解得 T4RR5GM，选项 B 正确；对三角形三星系统，根据万有引力定律得 2GM2L2 cos 30M42T2 L2cos 30，联立解得 L3 125 R，选项 C 正确；三角形三星系统的线速度大小为 v2rT 2L2cos 30T，代入解得 v 36 3 125 5GMR，选项 D 错误。答案：BC 针对训练 1天文观测中观测到
15、有三颗星位于边长为 l 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为 T 的匀速圆周运动。已知引力常量为 G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是()A它们两两之间的万有引力大小为164l49GT4B某颗星的质量为3GT242l3C三颗星的质量可能不相等D它们的线速度大小均为2 3lT解析：三颗星运动的轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r 33 l。根据题意可知任意两颗星对第三颗星的引力的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力大小相等，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为 m，则 F 合2Fcos 3
16、0 3Gm2l2；星球做匀速圆周运动，所受万有引力的合力提供向心力，故 F 合m42T2 r，解得m42l33GT2。它们两两之间的万有引力 FGm2l2 G42l33GT2 2l2164l49GT4，故 A 正确，B、C 错误。根据 v2rT 得线速度大小为 v2 3l3T，故 D 错误。答案：A 2宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每颗星的质量均为 m，半径均为 R，四颗星稳定分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上。已知引力常量为 G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是()A四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运
17、动B四颗星的轨道半径均为a2C四颗星表面的重力加速度均为GmR2D四颗星的周期均为 2a2a4 2Gm解析：四星系统的其中一颗星受到其他三颗星的万有引力作用，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为 22 a，故 A 正确，B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得 GmmR2 mg，解得 gGmR2，故 C 正确；由万有引力定律和向心力公式得 Gm2 2a2 2Gm2a2m42T2 2a2，T2a2a4 2Gm，故 D 正确。答案：B(二)天体运动中的“追及相遇”问题 1天体运动中的“追及相遇”问题 是指有些星体绕同一中心天体做圆周运动
18、，他们的轨道共面，绕行方向一致，在运行中会出现相距“最近”与“最远”的问题：(1)当它们在中心天体同侧与中心天体共线时相距最近，称为“相遇”；(2)当它们在中心天体异侧与中心天体共线时相距最远。2处理方法 绕同一中心天体做圆周运动的两颗星体之间的距离最近或最远时，它们都处在同一条直线上。由于它们的轨道不重合，因此在相距最近和最远的问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过星体运动转过的圆心角来比较。从两个星体的位置在中心天体同侧且与中心天体共线时开始计时，内侧轨道的星体所转过的圆心角与外侧轨道的星体所转过的圆心角之差：(1)等于2的整数倍时就是相距最近的时刻，即 内t外tk2，k1,2,3，
19、(2)等于的奇数倍时就是相距最远的时刻，即 内t外t(2k1)，k1,2,3，典例 2 多选如图所示，9 有 A、B 两颗行星绕同一颗恒星 O 做圆周运动，旋转方向相同。A 行星的周期为 T1，B 行星的周期为 T2，在某一时刻两行星第一次相距最近，下列判断正确的是()A经过时间 tT1T2，两行星第二次相距最近B经过时间 t T1T2T2T1，两行星第二次相距最近C经过时间 tT1T22，两行星第一次相距最远D经过时间 tT1T22T2T1，两行星第一次相距最远解析：当两行星与恒星位于同一直线时，两行星位于恒星的同一侧相距最近，两行星分别位于恒星的两侧时相距最远。由于两行星绕同一中心天体运行
20、，半径越小周期越短，故从图示位置到第二次相距最近时 A比 B恰好多运动一周，即 tT1 tT21，可得 t T1T2T2T1，A 错误，B 正确。同理从图示位置到第一次相距最远时 A 比 B 恰好多运动半周，即 tT1 tT212，可得 tT1T22T2T1，C 错误，D 正确。答案：BD 针对训练 3多选太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2020年各行星冲日时间分别是：7月14日木星冲日；7月20日土星冲日；9月11日海王星冲日；10月13日火星冲日；10月31日天王星冲
21、日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列说法正确的是()行星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B在2021年内一定会出现木星冲日 C天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半 D地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短 解析：由引力提供向心力可知 GMmr2 mr2，相邻两次冲日的时间间隔 t2DX，其中 D 表示的是地球的公转角速度，X 表示的是行星的公转角速度。将第一式中的结果代入到第二式中有 t2GMrD3 GMrX3。设行星的半径是地球半径的 k 倍，则上式可
22、化为 t2GMrD3 GMk3rD3Y1 1k3Yk3k31，上式中 Y2GMrD3，也就是地球绕太阳公转的周期，即一年的时间。对于火星k1.5，t1.531.531Y 1.51.21.51.21Y2.25Y；对于木星 k5.2，t5.235.231Y 5.22.35.22.31Y1.09Y，至此可知，后面的行星冲日时间间隔大约都是 1 年，但又大于 1 年，因为只有 k时才为一年，B、D 正确。答案：BD 4多选天文爱好者熟知的“土星冲日”现象是指土星和太阳正好分别处在地球的两侧，三者几乎成一条直线。该天象每378天发生一次，土星和地球绕太阳公转的方向相同，公转轨道都近似为圆，地球绕太阳公转
23、周期和半径以及引力常量均已知，根据以上信息可求出()A土星质量B地球质量 C土星公转周期D土星和地球绕太阳公转速度之比 解析：行星受到的万有引力提供其向心力，根据牛顿第二定律列方程后，行星的质量会消去，故无法求出行星的质量，A、B 错误；“土星冲日”天象每 378天发生一次，即每经过 378 天地球比土星多转动一圈，根据2T12T2 t2 可以求出土星公转周期，C 正确；知道土星和地球绕太阳的公转周期之比，根据开普勒第三定律，可以求出轨道半径之比，根据 v2RT 可以进一步求出土星和地球绕太阳公转速度之比，D 正确。答案：CD 四、创新应用提素养 (一)飞船对接问题 1低轨道飞船与高轨道空间站
24、对接 如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。2同一轨道飞船与空间站对接 如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。针对训练 1我国发射的“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室完成了交会对接，对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道(可视为圆轨道)运行。已知对接轨道处所处的空间存在极其稀薄的空气，下列说法正确的是()A为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B如不加干预，在运行一段时间后，组合体的速率会增加 C先让“天舟一号”进入较高的轨道，
25、然后再对其进行加速，即可实现对接 D航天员在睡觉时处于平衡状态 解析：根据万有引力提供向心力得 GMmr2 mv2r，解得 vGMr，可知轨道半径越大线速度越小，所以二者的速度都小于第一宇宙速度，故 A 错误；如不加干预，在运行一段时间后，组合体由于受到空气的阻力而速度减小，此时组合体做向心运动，轨道半径减小，在新的轨道上稳定后，根据 vGMr 可知速度增大，故 B 正确；先让飞船进入较高的轨道，若让飞船加速，所需要的向心力变大，万有引力不变，所以飞船做离心运动，轨道半径变大，不可以实现对接，故 C 错误；万有引力提供组合体的向心力，所以组合体以及其中的宇航员都具有向心加速度，受力不平衡，故
26、D 错误。答案：B 2我国先发射了“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()A使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 D飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 解析：若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然
27、后飞船加速，则飞船将做离心运动，不能实现对接，选项A错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，则空间实验室将做近心运动，不能实现对接，选项B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项C正确；若飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项D错误。答案：C(二)天体运动与抛体运动的综合 关于万有引力定律的应用考查，也常与抛体运动综合命题。在地球上所有只在重力作用下的运动形式：如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法
28、同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，要特别注意在不同的天体上重力加速度一般不同。针对训练 3多选宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星R地14，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g，空气阻力不计。则()Agg15Bgg52 CM星M地120DM星M地180 解析：由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间 t2v0g，因此得gg t5t15，A 正确，B 错误；由 GMmR2 mg 得 MgR2G，因而M星M地gR星2gR地2
29、15142 180，C 错误，D 正确。答案：AD 4若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为 2 7。已知该行星质量约为地球的 7 倍，地球的半径为 R。由此可知，该行星的半径约为()A.12R B.72R C2R D.72 R解析：平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即 xv0t，在竖直方向上做自由落体运动，即 h12gt2，所以 xv02hg，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，所以g行g地74，根据公式 GMmR2 mg 可得 gGMR2，故g行g地M行R行2M地R地274，R 地R，解得 R 行2R，故 C 正确。答案：C
