1、第九节函数模型及其应用1几类常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增
2、大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)求模：求解数学模型，得出数学结论(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义，以上过程用框图表示如下：1(基础知识：指数函数模型)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为()Aya(1p%)x(0xm)Bya(1p%)x(0xm，xN
3、)Cya(1xp%)(0xm)Dya(1xp%)(0xm，xN)答案：B2(基本能力：拟合函数模型)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y2x Bylog2xCy(x21) Dy2.61cos x答案：B3(基本方法：分段函数模型)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x
4、(km)之间的函数关系式是_答案：y4(基础知识：二次函数模型)有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为_m2.(围墙厚度不计)答案：2 5005(基本应用：函数模型应用)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到_只答案：200题型一由函数图象刻画变化过程 1(2021河南安阳模拟)张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系如图所示若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可
5、能是()解析：由题图可知，张大爷的行走路线是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，选项C符合答案：C2某公司为确定下一年底投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，8)数据得到下面的散点图则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()Ayaxb ByabCyabx Dyax2bxc解析：由题中散点图可知，点的排列顺序类似于y型答案：B3.如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a(m)(0a12)、4 m，不考虑树的粗细，现
6、在用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD.设此矩形花园的面积为S(m2)，S的最大值为f(a).若将这棵树围在花园内，则函数uf(a)的图象大致是()答案：C方法总结 判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 题型二已知函数模型的实际问题 典例剖析典例2020年6月5日是世界环境日，今年聚焦自然和生物多样性，主题是“关爱自然
7、，刻不容缓”中国从生活小事做起，下决心改变了曾经被污染的一些土地、河水和天空其中共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决空气污染，民众出行“最后一公里”的问题特别见效由于停取方便、租用价格低廉，各式共享单车受到人们的热棒某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润总收益总成本(1)试将自行车厂的利润y(单位：元)表示为关于月产量x的函数；(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？审题
8、互动：利用所给函数h(x)和利润公式求解解析：(1)依题设知，总成本为(20 000100x)元，则y(2)当0x400时，y(x300)225 000，故当x300时，ymax25 000；当x400时，y60 000100x是减函数，故y60 00010040020 000，所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元方法总结 求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知数据利用待定系数法，确定模型中的待定系数 (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验对点训练2020年是习近平总书记提出“
9、决战决胜脱贫攻坚战”的收官之年，某地开展了“万名干部下基层”，以实际行动践行初心使命，某工作队结合所驻村的自然条件，帮助村民投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P804，Qa120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元).(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？解析：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，f(50)8041501
10、20277.5(万元).(2)f(x)804(200x)120x4250，依题意得20x180，故f(x)x4250(20x180).令t，则t2，6，yt24t250(t8)2282，当t8，即x128时，f(x)取得最大值，f(x)max282，甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元题型三构建函数模型的实际问题 典例剖析类型 1构建一次函数、二次函数、分段函数模型例1(2021宁夏银川模拟)大气温度y()随着距离地面的高度x(km)的增加而降低，当在高度不低于11 km的高空时气温几乎不变设地面气温为22 ，大约每上升1 km大气温度降低6 ，则y
11、关于x的函数关系式为_答案：y类型 2构建yx(a0)函数模型例2(2021山东烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元在年产量不足8万件时，W(x)x2x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)6x38(万元).每件产品售价为5元通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解析：(1)因为每件产品
12、售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意得当0x8时，L(x)5x3x24x3，当x8时，L(x)5x335，所以L(x)(2)当0x8时，L(x)(x6)29，此时，当x6时，L(x)取得最大值L(6)9(万元).当x8时，L(x)35352 352015(万元).此时，当且仅当x，即x10时，L(x)取得最大值15万元因为90).(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围解析：(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1，由此可得ykx(0xm).(
13、2)对原二次函数配方，得y(x2mx)，即当x时，y取得最大值.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0xym.因为当x时，ymax，所以0m，解得2k0，所以0k2.2(2021皖中名校第二次联考)某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元1 000万元的收益现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：资金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金总数不超过9万元，同时资金总数不超过收益的20%.(1)若建立奖励方案的函数模型为yf(x)，试研究这个函数的定义域、值域和的取值范围；(2)现有两个奖励函数模型：y2；y4l
14、g x3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由解析：(1)yf(x)的定义域是10，1 000，值域是(0，9，(0，0.2.(2)不符合要求，符合要求，理由如下当y2时，的最大值是0.2，不符合要求当y4lg x3时，在定义域上为增函数，最大值为9.0.2y0.2x0.令g(x)4lg x30.2x，则g(x)0.所以g(x)g(10)10，即0.2.故函数y4lg x3符合公司的要求 (2019高考北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次
15、购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_解析：(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为6080140(元)，达到120元，又x10，顾客需要支付14010130(元).(2)法一：当单笔订单的总价达不到120元时，顾客不少付，则李明得到总价的80%；当单笔订单的总价达到120元时，顾客少付x元，设总价为a元(a120)，则李明每笔订单得到的金额与总价的比为0.8，当a越小时，此比值越小
16、又a最小为120元(即买两盒草莓)，0.8(120x)1200.7，解得x15，x的最大值为15.法二：购买水果总价刚好达到120元时，顾客少付x元，这时x占全部付款的比例最高，此时如果满足李明所得金额是促销前总价的70%，那么其x值最大由此列式得(120x)0.81200.7，解得x15，x的最大值为15.答案：(1)130(2)15 (2019高考全国卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：(Rr).设.由于的值很小，因此在近似计算中33，则r的近似值为()A. R B. RC. R D. R解析：由得rR，代入(Rr)，整理得.又33，33， ，rR R.答案：D
