1、回扣5数列1牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dana1qn1 (q0)前n项和Snna1d(1)q1，Sn；(2)q1，Snna12.活用定理与结论(1)等差、等比数列an的常用性质等差数列等比数列性质若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；anam(nm)d；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；anamqnm；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sm0)(2)判断等差数列的常用方法定义法an1and(常数)(nN*)an是等差数列通项公式法anpnq(p，q为常数，n
2、N*)an是等差数列中项公式法2an1anan2 (nN*)an是等差数列前n项和公式法SnAn2Bn(A，B为常数，nN*)an是等差数列(3)判断等比数列的常用方法定义法q (q是不为0的常数，nN*)an是等比数列通项公式法ancqn (c，q均是不为0的常数，nN*)an是等比数列中项公式法aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列3数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和(2)形如anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列，利用错位相减法求和(3)通项公式形如an(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和(4)通项公式形如an(
3、1)nn或ana(1)n(其中a为常数，nN*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cnanbn形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.1已知数列的前n项和求an，易忽视n1的情形，直接用SnSn1表示事实上，当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1.2易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是.3等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算如等差数列an与bn的前n项和分别
4、为Sn和Tn，已知，求时，无法正确赋值求解4易忽视等比数列中公比q0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解5运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论一定分q1和q1两种情况进行讨论6利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项7裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，如，而是.8通项中含有(1)n的数列求和时，要把结果写成n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式1设等差数列an的前n项和为Sn，已知S130，S140，若akak10，则k等于()A6 B7 C13 D14答案B解析因为an为等差数列，S1313a7，S147(a7a8)，所以a70，a80，a
5、7a80，所以k7.2已知在等比数列an中，a1a23，a3a412，则a5a6等于()A3 B15 C48 D63答案C解析q24，所以a5a6(a3a4)q248.3设等差数列an的前n项和为Sn，且a10，a3a100，a6a70，则满足Sn0的最大自然数n的值为()A6 B7C12 D13答案C解析a10，a6a70，a60，a70，等差数列的公差小于零，又a3a10a1a120，a1a132a70，S120，S130，满足Sn0的最大自然数n的值为12.4已知数列an满足(nN*)且a2a4a69，则等于()AB3C3 D.答案C解析由已知，所以an1an2，所以数列an是公差为2的
6、等差数列，a5a7a9(a23d)(a43d)(a63d)(a2a4a6)9d99227，所以故选C.5已知正数组成的等比数列an，若a1a20100，那么a7a14的最小值为()A20 B25C50 D不存在答案A解析在正数组成的等比数列an中，因为a1a20100，由等比数列的性质可得a1a20a4a17100，那么a7a142220，当且仅当a7a1410时取等号，所以a7a14的最小值为20.6已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4(nN*)，则an等于()A2n1B2nC2n1D2n2答案A解析an1Sn1Sn2an14(2an4)an12an，再令n1，S12a14a14，数
7、列an是以4为首项，2为公比的等比数列，an42n12n1，故选A.7已知等差数列an的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则等于()A2 B3 C5 D7答案B解析在等差数列an中，a2，a4，a8成等比数列，aa2a8，(a13d)2(a1d)(a17d)，d2a1d，d0，da1，3，故选B.8已知Sn为数列an的前n项和，若an(4cos n)n(2cos n)，则S20等于()A31 B122C324 D484答案B解析由题意可知，因为an(4cos n)n(2cos n)，所以a11，a2，a33，a4，a55，a6，所以数列an的奇数项构成首项为1，公差为2的等差
8、数列，偶数项构成首项为，公差为的等差数列，所以S20(a1a3a19)(a2a4a20)122，故选B.9已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a11，Sn是数列an的前n项和，则(nN*)的最小值为()A4 B3C22 D.答案A解析由题意a1，a3，a13成等比数列，可得(12d)2112d，解得d2，故an2n1，Snn2，因此(n1)2，由基本不等式知，(n1)2224，当n2时取得最小值4.10已知F(x)f1是R上的奇函数，数列an满足anf(0)fff(1)(nN*)，则数列an的通项公式为()Aann1 BannCann1 Dann2答案C解析由题意F(
9、x)f1是R上的奇函数，即F(x)关于(0,0)对称，则f(x)关于对称即f(0)f(1)2，f1，ff2，ff2，则anf(0)fff(1)n1.11在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.答案20解析设公差为d，则a3a82a19d10，3a5a73(a14d)(a16d)4a118d21020.12若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.答案50解析数列an为等比数列，且a10a11a9a122e5，a10a11a9a122a10a112e5，a10a11e5，ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)l
10、n(a10a11)10ln(e5)10ln e5050.13数列an的前n项和为Sn.已知a12，Sn1(1)nSn2n，则S100_.答案198解析当n为偶数时，Sn1Sn2n，Sn2Sn12n2，所以Sn2Sn4n2，故Sn4Sn24(n2)2，所以Sn4Sn8，由a12知，S12，又S2S12，所以S24，因为S4S242210，所以S46，所以S8S48，S12S88，S100S968，所以S100248S41926198.14若数列an满足a2a1a3a2a4a3an1an，则称数列an为“差递减”数列若数列an是“差递减”数列，且其通项an与其前n项和Sn满足2Sn3an21，则实
11、数的取值范围是_答案解析当n1时，2a13a121，a112，当n1时，2Sn13an121，所以2an3an3an1，an3an1，所以an3n1，anan13n13n23n2，依题意3n2是一个减数列，所以240，.15Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列bn的前1 000项和解(1)设an的公差为d，由已知可知，S77a1d721d28，解得d1，所以an的通项公式为an1(n1)1n.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因为bn所以数列bn的前1 000项和为1902900311 893.16各项为正数的数列an的前n项和为Sn，且满足：Snaan(nN*)(1)求an；(2)设数列的前n项和为Tn，证明：对一切正整数n，都有Tn.(1)解由Snaan可知，当n2时，Sn1aan1，由化简得(anan1)(anan12)0，又数列an各项为正数，当n2时，anan12，故数列an成等差数列，公差为2，又a1S1aa1，解得a11，an2n1.(2)证明Tn .，Tn111.
