1、空间几何体的外接球与内切球1.球表面积S=4 2.球体积公式V=外接球定义：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是确定球心的位置 在Rt用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得）由以上性质，可以得到确定简单几何体外接球球心的如下类型；类型1：正方体或长方体外接球的球心在其体对角线的中点。常见构成长方体或正方体方法：同一顶点三条侧棱两两垂直(如图1)；四个面都是直角三角形的三棱锥（如图2）；相对棱相等的三菱锥（如图12）；正四面体；三个侧面两两垂直的
2、三棱锥等等。例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ C ）A B C D（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 。（4）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为 （5）在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为 。类型2：正棱柱或直棱柱(圆柱)的球心在上下底面外心连线中点处。推论：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）可补成直三菱柱或长方体。公式：,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的
3、高，r可根据正弦定理例 （1）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。(2)四面体的四个顶点都在球的表面上，是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为( ) ABCD类型3：正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）的球心在其顶点与底面外心连线线段(或延长线）上。半径公式：（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理（一边一对角)例.（1）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，体积为，则这个球的表面积是_.（2）正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该三棱锥的外接球体积等于 .类型4：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边
4、的中点就是其外接球的球心。题设：，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例（1） 在矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ C ）A B C D（2）在矩形中，沿将矩形折叠，连接，所得三棱锥的外接球的表面积为 类型5、两个平面互相垂直例1，已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，则多面体的外接球的表面积为 。例2 三棱锥中，平面平面，和均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .类型六、锥体的内切球问题1题设：如图14，三棱锥上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；第二步：求，是侧面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出2题设：如图15，四棱锥上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；第二步：求，是侧面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出3题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为，建立等式：第三步：解出
