1、高考资源网（） 您身边的高考专家二十二椭圆方程及性质的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知直线l过点(3,-1)和椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1B.1或2C.2D.0【解析】选C.因为直线过点(3,-1)且+1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.2.点A(a,1)在椭圆+=1的内部,则a的取值范围是()A.-aB.aC.-2a2D.-1a1【解析】选A.由题意知+1,解得-ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|,则椭圆C的离心率e=()A.B.C
2、.D.【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(cb0)中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与两坐标轴均不平行,kAM,kBM分别表示直线AM,BM的斜率,则kAMkBM=()A.-B.-C.-D.-【解析】选B.设A(x1,y1),M(x0,y0),则B(-x1,-y1),kAMkBM=-.【一题多解】(特殊值法):选B.因为四个选项为定值,取A(a,0),B(-a,0),M(0,b),可得kAMkBM=-.二、填空题(每小题5分,共10分)5.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为.【解析】将椭圆与直线方程联立:解得交点A(0,-2
3、),B.设右焦点为F,则SOAB=|OF|+2=1=.答案:6.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,原点O与线段MN的中点P连线的斜率为,则的值是.【解析】由消去y,得(m+n)x2-2nx+n-1=0.则MN的中点P的坐标为.所以kOP=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得a+b=1,a+b=1.-,得a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而=kAB=-
4、1,=kOC=,则b=a.又因为|AB|=|x2-x1|=|x2-x1|=2,所以|x2-x1|=2.又由得(a+b)x2-2bx+b-1=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=-4=4,将b=a代入,得a=,b=,所以所求的椭圆方程为+y2=1.8.椭圆C:+=1(ab0)的左顶点到右焦点的距离为+,椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为-.(1)求椭圆C的方程;(2)设斜率为1的直线l经过椭圆上顶点,并与椭圆交于A,B两点,求|AB|.【解析】(1)设椭圆+=1(ab0)的半焦距为c,由题意可得:解得a=,c=.所以b2=a2-c2=1.则椭圆C
5、的方程为+y2=1.(2)如图,椭圆C的上顶点A(0,1),则直线l的方程为y=x+1.联立得2x2+3x=0.解得:xA=0,xB=-.所以|AB|=|xA-xB|=.(15分钟30分)1.(5分)已知椭圆C的方程为+=1(m0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为()A.2B.2C.8D.2【解析】选B.根据已知条件c=,则点M在椭圆+=1(m0)上,所以+=1,可得m=2.2.(5分)椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=()A.B.C.D.4【解析】选A.由椭圆+y2=1,
6、得a2=4,b2=1,所以c=,不妨设P在x轴上方,则F1(-,0),设P(-,m)(m0),则+m2=1,即m=.所以|PF1|=,根据椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=4,得|PF2|=4-|PF1|=4-=.3.(5分)黄金分割比=0.618被誉为“人间最巧的比例”.离心率e=的椭圆被称为“优美椭圆”,在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,“优美椭圆”C上动点P(异于椭圆的左右顶点),设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=.【解析】设P(m,n),代入椭圆方程,则+=1,离心率e=,可得=,整理得:n2=-(m2-a2),又k1
7、=,k2=,所以k1k2=-=-=.答案:4.(5分)设F1,F2是椭圆E:+=1的左右焦点,P是椭圆E上的点,则|PF1|PF2|的最小值是.【解析】由椭圆E:+=1得a2=25,b2=16,则a=5,c=3,因为P是椭圆E上的点,所以|PF1|+|PF2|=2a=10,且5-3=2|PF2|5+3=8,所以|PF1|PF2|=(10-|PF2|)|PF2|=-|PF2|2+10|PF2|,所以当|PF2|=2或8时,|PF1|PF2|有最小值,最小值是16.答案:165.(10分)(2020渭南高二检测)已知椭圆C:+=1(ab0)的顶点到直线l1:y=x的距离分别为和.(1)求椭圆C的标
8、准方程.(2)设平行于l1的直线l交C于A,B两点,且|+|=|,求直线l的方程.【解析】(1)由直线l1:y=x可知其与两坐标轴的夹角均为45,故长轴端点到直线l1的距离为a,短轴端点到直线l1的距离为b,所以a=,b=,解得a=2,b=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设直线l:y=x+t(t0),联立整理得5x2+8tx+4t2-4=0,则=64t2-165(t2-1)0,解得-t且t0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,故y1y2=(x1+t)(x2+t)=(x1+x2)t+x1x2+t2=,因为|+|=|,所以OAOB,即=x1x2+y1y
9、2=+=0,解得t=,满足-tb0)短轴的一个端点为P(0,b),AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB的斜率之积为-,则椭圆的离心率为.【解析】根据题意可得P(0,b),设A(x,y),B(-x,-y),由直线PA,PB的斜率之积为-,则kPAkPB=-,由A在椭圆上可得椭圆+=1(ab0),得=-,所以=,即a=2b,a2=4(a2-c2),可得e=.答案:2.已知曲线:+=1的左、右顶点分别为A,B,设P是曲线上的任意一点.(1)当P异于A,B时,记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2是定值.(2)设点C满足=(0),且|PC|的最大值为7,求的值.【解析】由椭圆方程可得A(-4,0),B(4,0),设P(x0,y0).(1)k1=,k2=,所以k1k2=-=-为定值.(2)因为=,所以A,B,C三点共线,故设C(m,0)(-4m4),则|PC|=.若m0,则|PC|max=7,解得m=3.此时=(7,0),=(1,0),=7,由=,得=7;同理,若m0,可得m=-3,此时求得=.故的值为7或.关闭Word文档返回原板块- 10 - 版权所有高考资源网
