1、21.2函数的表示方法学习目标1.掌握函数的三种表示方法：列表法、解析法、图象法(重点)；2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数(难点)；3.掌握分段函数，并能简单应用(重点)预习教材P3334，完成下面问题：知识点一函数的三种表示方法表示法定义解析法用等式表示两个变量之间的函数关系图象法用图象表示两个变量之间的函数关系列表法用列表表示两个变量之间的函数关系【预习评价】(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？提示(1)三种表示方法的优、缺点比较：优点缺点解析法简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求出任意一个自变量所对
2、应的函数值；便于研究函数的性质不够形象、直观列表法不必通过计算就可以知道自变量取某个值时，相应的函数值一般只能表示部分自变量的函数值图象法直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大(2)不一定并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段知识点二分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的解析表达式，这样的函数通常叫做分段函数【预习评价】某市规定出租车收费标准：起步价(不
3、超过2 km)为5元超过2 km时，前2 km依然按5元收费，超过2 km部分，每千米收1.5元按此规定乘坐出租车行驶任意一段路程，是否都有一个唯一的收费额与之对应？收费额y 元是行驶里程x km的函数吗？当x0,2时的计费方法与x(2，)时计费方法一样吗？提示因为任一行驶里程x都对应唯一的收费额y，故y是x的函数；但由于起步价的规定，x0,2时，y5，x(2，)时，y5(x2)1.5.计费方法不一样题型一列表法表示函数【例1】已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)131x123g(x)321则f(g(1)的值为_；满足f(g(x)g(f(x)的x的值是_解析g(1)3，f(
4、g(1)f(3)1.f(g(x)与g(f(x)与x相对应的值如下表所示.x123f(g(x)131g(f(x)313f(g(x)g(f(x)的解为x2.答案12规律方法解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数对于f(g(x)这类函数值的求解，应从内到外逐层解决，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决【训练1】下列表格中的x与y能构成函数的是_(填正确的序号)x非负数非正数y11x奇数0偶数y101x有理数无理数y11x自然数整数有理数y101解析中数0都有2个数值和它对应，中任一个自然数都有3个数值与之对应正确答案题型二待定系数法求函数解析式【例2】(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)
5、4x1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)解(1)f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，则f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb.又f(f(x)4x1，a2xabb4x1，即解得或f(x)2x或f(x)2x1.(2)f(x)是二次函数，设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)1，得c1，由f(x1)f(x)2x，得a(x1)2b(x1)1ax2bx12x.左边展开整理得2axab2x，由恒等式原理知解得f(x)x2x1.规律方法(1)对于特征已明确的函数一般用待定系数法求解析式(2)若所求函数为一次函数，通常设f
6、(x)kxb(k0)；若为反比例函数，通常设为f(x)(k0)；若为二次函数，则解析式有以下三种：一般式yax2bxc(a0)；两根式ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标；顶点式ya(x)2(a0)，其中顶点坐标为(，)解题时需依据条件灵活选用【训练2】已知二次函数f(x)满足f(0)1，f(1)2，f(2)5，求该二次函数的解析式解设二次函数的解析式为f(x)ax2bxc(a0)，由题意得解得故f(x)x21.题型三换元法(或配凑法)求函数解析式【例3】求下列函数的解析式：(1)已知f，求f(x)；(2)已知f(1)x2，求f(x)解 (1)方法一
7、(换元法)令t1，则t1.把x代入f，得f(t)(t1)21(t1)t2t1.所求函数的解析式为f(x)x2x1，x(，1)(1，)方法二(配凑法)f221，f(x)x2x1.又11，所求函数的解析式为f(x)x2x1(x1)(2)方法一(换元法)令1t(t1)，则x(t1)2，f(t)(t1)22t21.f(x)x21(x1)方法二(配凑法)x2(1)21，f(1)(1)21.又11，f(x)x21(x1)规律方法(1)换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可采用换元法所谓换元法，即将“1”换成另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，再代入原式中求出关于“t”的函数关系式，即为
8、所求函数解析式，但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况(2)配凑法的应用：对于配凑法，通过观察与分析，将右端的式子“x2”变成含有“1”的表达式这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求【训练3】已知函数f(x1)x22x，则f(x)_.解析方法一(换元法)令x1t，则xt1，可得f(t)(t1)22(t1)t24t3，即f(x)x24x3.方法二(配凑法)因为x22x(x22x1)(4x4)3(x1)24(x1)3，所以f(x1)(x1)24(x1)3，即f(x)x24x3.答案x24x3 互动探究题型四分段函数【例4】(1)若f(x)则f(f(2)_.(2)已知函数f(x)若f(x)2，则
9、x_.解析(1)因为21时，x2，x2(舍去)，故x.答案(1)4(2)【迁移1】已知函数f(x)(1)求f(5)，f()，ff()的值；(2)若f(a)3，求实数a的值解(1)由5(，2，(2,2)，(，2，知f(5)514，f()()22()32.f1，而22，ff()f223.(2)当a2时，a13，即a22，不合题意，舍去；当2a2时，a22a3，即a22a30，(a1)(a3)0，得a1，或a3，1(2,2)，3(2,2)，a1符合题意；当a2时，2a13，即a2符合题意综上可得，当f(a)3时，a1，或a2.【迁移2】已知f(x)(1)画出f(x)的图象；(2)若f(x)，求x的取
10、值范围；(3)求f(x)的值域解(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示(2)由于f()，结合此函数图象可知，使f(x)的x的取值范围是(，)(3)由图象知，当1x1时，f(x)x2的值域为0,1，当x1或x1时，f(x)1.所以f(x)的值域为0,1【迁移3】如图所示，已知底角45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象解过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形
11、，底角为45，AB2 cm，所以BGAGDHHC2 cm，又BC7 cm，所以ADGH3 cm.(1)当点F在BG上，即x0,2时，yx2；(2)当点F在GH上，即x(2,5时，y22x2；(3)当点F在HC上，即x(5,7时，yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF(73)2(7x)2(x7)210.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y图象如图所示规律方法当目标函数在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画课堂达标1已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3)_.x1234f(x)3241解析由题设给出的表知f(3)
12、4，则f(f(3)f(4)1.答案12已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)的解析式为_解析设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2baxb5a2x17，所以a2，b7，所以f(x)2x7.答案f(x)2x73已知函数f(x)的定义域Ax|0x2，值域By|1y2，下列选项中，能表示f(x)的图象的只可能是_解析根据函数的定义，观察图象，对于，值域为y|0y2，不符合题意，而中当0x2时，一个自变量x对应两个不同的y，不是函数故填.答案4如果f()，则当x0,1时，f(x)_.解析方法一令t，则x，代入f()，则有f(t)，即f(x).方法二x0,1，f()，故f(x).答案5已知f(x)为二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，求f(x)的表达式解设f(x)ax2bxc(a0)，f(0)c0，f(x1)a(x1)2b(x1)ax2(2ab)xab，f(x)x1ax2bxx1ax2(b1)x1.又f(x1)f(x)x1，f(x)x2x.课堂小结1函数三种表示法的优缺点2描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线3求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等.
