1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质素养目标定方向 课程标准学法解读1了解双曲线的简单几何性质(范围、对称轴、顶点、实轴长和虚轴长等)2了解双曲线的渐近线，能用双曲线的简单几何性质解决简单的相关问题1依据双曲线的方程、图形研究双曲线的几何性质(数学抽象)2依据几何条件求出双曲线的标准方程，并利用双曲线的简单几何性质解决相关的问题(数学运算)3能综合利用双曲线的几何性质解决相关的问题(数学运算、逻辑推理)必备知识探新知 知识点1 双曲线的性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围_xa或xa_ya或ya_对称性对称轴：坐标轴；对
2、称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线_yx_yx_离心率e_，e(1，)，其中ca，b，c间的关系c2_a2b2_(ca0，cb0)思考：双曲线的离心率有什么作用？提示：双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小知识点2 等轴双曲线实轴和虚轴_等长_的双曲线，它的渐近线方程是_yx_，离心率为关键能力攻重难 题型探究题型一由双曲线的方程求几何性质典例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程分析将双曲线方程化为标准方程，先求出参数a，b，c的值，再写出各个结果解析双曲线的方程化为标准形式为1a29，b24，
3、a3，b2，c又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yx规律方法求双曲线的几何性质的基本思路1已知双曲线的方程研究其几何性质时，若不是标准方程，则应先化为标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2a2b2得到c值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出它的几何性质2求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错【对点训练】(1)双曲线2x2y28的实轴长是(D)A2B2C4D4(2)双曲线1的渐近线方程是(C)AyxByxCyxDyx解析(1)双曲线方程可变形为1，所以a28，
4、a2，故实轴长2a4(2)因为a24，b29，焦点在x轴上，所以渐近线方程为yxx题型二根据双曲线几何性质求其标准方程典例2求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为23，且经过点P(，2)；(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(3,2)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x3y0，且两顶点间的距离是6分析对于(1)和(2)，可直接设出双曲线方程，根据条件求出参数a，b的值，即得方程；对于(3)，焦点位置不确定，应分类讨论解析(1)设双曲线方程为1(a0，b0)双曲线过点P(，2)，1由题意得解得故所求双曲线方程为1(2)设所求双曲线方程为1
5、(a0，b0)e，e21，由题意得解得所求的双曲线方程为1(3)设双曲线方程为4x29y2(0)，即1(0)，由题意得a3当0时，9，36，双曲线方程为1；当0时，9，81，双曲线方程为1故所求双曲线方程为1或1规律方法由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式(2)巧设双曲线方程的技巧渐近线为axby0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0)【对点训练】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；(2)过点(2,0)，与双曲线1离心率相等解析(1)设
6、所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知2b8，e，从而b4，ca，代入c2a2b2，得a29，故双曲线的标准方程为1(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得0(舍去)综上可知，所求双曲线的标准方程为y21题型三求双曲线的离心率典例3已知圆C：x2y210y210与双曲线1(a0，b0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(C)ABCD解析由双曲线1(a0，b0)，可得其一条渐近线的方程为yx，即bxay0，又由圆C：x2y210y
7、210，可得圆心为C(0,5)，半径r2，则圆心到直线的距离为d，则2，可得e规律方法1求双曲线的离心率，常常利用已知条件列出关于a、b、c的等式，利用a2b2c2消去b化为关于a、c的齐次式，再利用e化为e的方程求解2学习双曲线中应注意的几个问题：(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；(2)双曲线只有两个顶点，离心率e1；(3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；(4)注意双曲线中a、b、c、e的等量关系与椭圆中a、b、c、e的不同【对点训练】(2019全国卷文，10)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为(D)A2sin 40B2cos 40CD解析由题意可得tan 130，所以e 故选D易错警示典例4双曲线的渐近线方程为yx，则离心率为(C)ABC或D或错解由双曲线的渐近线方程为yx，得，所以e，故选A辨析错误的根本原因是误以为焦点只能在x轴上，造成失解实际上本题应该有两种情况正解当焦点在x轴上时，e，当焦点在y轴上时，e，故选C- 6 - 版权所有高考资源网
