1、综合测评一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.数列an的通项公式为an=2n+1,则第9项a9=()A.9B.13C.17D.192.已知数列an是首项为3,公差为d(dN*)的等差数列,若2 019是该数列中的项,则公差d不可能是()A.2B.3C.4D.53.已知an是等差数列,Sn是其前n项和,若公差df(x)+1,且函数y=f(x)-2 021为奇函数,则不等式f(x)-2 020ex0且x1时,有ln x+1lnx2B.函数f(x)=lg(ax+1)的定义域是xx-1aC.函数f(x)=e-xx2在x=2处取得极大
2、值D.圆x2+y2-10x+4y-5=0上任意一点M关于直线ax-y-5a-2=0的对称点M也在该圆上三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则f(2)的值为.14.函数f(x)=x-2cos x在区间0,上的最大值为.15.已知等比数列an的各项都为正数,且a3,12a5,a4成等差数列,则a4+a6a3+a5的值是.16.在数列an中,an=nsinn2+cosn2,前n项和为Sn,则a4=,S100=.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(20
3、21河北石家庄模拟)在a5=6,a1+S3=50,S12S9,a2+a210,S102.21.(本小题满分12分)在数列an中,前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)2.记Tn为等比数列bn的前n项和,且b2+b4=20,T4=30.(1)求数列an和bn的通项公式.(2)记a1b1+a2b2+anbn=Hn,是否存在m,nN*,使得Hn=am?若存在,求出所有满足题意的m,n;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x-2ax,aR.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若关于x的不等式f(x)+exe-2a在1,+)上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案综合测
4、评1.D由通项公式,得a9=29+1=19,故选D.2.Dan=3+(n-1)d,令2019=3+(n-1)d,则n=2016d+1,nN*,dN*,d是2016的约数,故d不可能是5,故选D.3.DS2=S7,S7-S2=a3+a4+a5+a6+a7=5a5=0,a5=0,S4=S5,S9=9(a1+a9)2=9a5=0.又d0,当n=4或n=5时,Sn最大,即S2+S70,得x0.所以函数f(x)=y=3x2-1的单调递增区间为(0,+).8.A构造函数g(x)=f(x)-1ex,则g(x)=f(x)-f(x)+1ex0,所以函数g(x)=f(x)-1ex在R上单调递减.由于函数y=f(x
5、)-2021为R上的奇函数,则f(0)-2021=0,则f(0)=2021,所以g(0)=f(0)-1e0=2020.由f(x)-2020ex1,得f(x)-12020ex,即f(x)-1ex2020,所以g(x)0,故选A.9.ABDa30,a70,6=2a3+3a722a33a7=26a52,当且仅当3a3=2a7时,等号成立.又a50,上式可化为a52,当且仅当3a3=2a7时,等号成立.故选ABD.10.BD对于A,求导得y=1+1x20,函数在(-,0)和(0,+)上单调递增,所以函数无极值点;对于B,x=0是函数的极小值点;对于C,求导得y=-6x2-10恒成立,函数在R上单调递减
6、,所以函数无极值点;对于D,求导得y=1+lnx,当x0,1e时,y0,当x=1e时,y=0,所以x=1e是函数的极小值点.11.CD对于A,an+1-an=3(n+1)-3n=3,数列an不为“差递减数列”;对于B,an+1-an=(n+1)2+1-n2-1=2n+1,an不为“差递减数列”;对于C,an+1-an=n+1n=1n+1+n,数列an为“差递减数列”;对于D,an+1-an=lnn+1n+2-lnnn+1=ln1+1n2+2n,数列an为“差递减数列”.故选CD.12.CD当0x1时,lnx0,则lnx+1lnx0,分a0和a-1a或x-1a,故B错误;f(x)=e-xx2,则
7、f(x)=xe-x(2-x),令f(x)=0,解得x=0或x=2,所以当x0时,f(x)0,f(x)单调递减,当0x0,f(x)单调递增,当x2时,f(x)0,函数f(x)在0,上单调递增,f(x)的最大值为f()=+2.15.1+52设an的公比为q,则q0.由a3,12a5,a4成等差数列,可得a5=a3+a4,即a1q4=a1q2+a1q3,即q2-q-1=0,解得q=1+52(负数舍去).则a4+a6a3+a5=q(a3+a5)a3+a5=q=1+52.16.40易知a1=1,a2=-2,a3=-3,a4=4,a1+a2+a3+a4=0.又sinn2+cosn2的周期为4,a4n+1+
8、a4n+2+a4n+3+a4n+4=0,S100=0.17.解若选a5=6,a1+S3=50,设等差数列an的公差为d,则a5=a1+4d=6,a1+S3=4a1+3d=50,解得a1=14,d=-2,所以前n项和为Sn=14n-n(n-1)=-n2+15n,所以当n=7或8时,Sn取得最大值.若选S12S9,a2+a210,解得a110;由a2+a21=a11+a120,所以a120,所以等差数列an的公差d=a12-a110,n12时,an0,S100,得a50;由S10=10(a1+a10)2=5(a5+a6)0,得a5+a60,所以a60.所以等差数列an的公差d=a6-a50,当n6
9、时,an0,所以n=5时,Sn取得最大值.18.(1)证明由题知,2an+2-2an+1=an+1-an,即bn+1=12bn,且b1=a2-a1=5-3=2,则数列bn是以2为首项,12为公比的等比数列.(2)解由(1)知bn=an+1-an=12n-2,则当n2时,数列bn的前n-1项和Sn-1=a2-a1+a3-a2+an-an-1=an-a1=2-12n-21-12=4-12n-3,则an=7-12n-3,n2,当n=1时,a1=3也满足此式,则由指数函数单调性知,an=7-12n-37,若满足anm(nN*),则m7,即实数m的取值范围是7,+).19.解(1)函数f(x)=ex-2
10、x的导数为f(x)=ex-2,可得y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为1-2=-1,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y+x-1=0.(2)令f(x)=ex-2=0,得x=ln2,则当0xln2时,f(x)0,f(x)单调递减;当ln2x0,f(x)单调递增.因此x=ln2为f(x)的极小值点,也是最小值点,又f(0)=1,f(2)=e2-4,f(ln2)=2-2ln2,所以f(x)在0,2上的最小值为2-2ln2,最大值为e2-4.20.(1)解f(x)=2lnx+ax,x(0,+),f(x)=2xax2=2x-ax2,当a0时,f(x)0恒成立,即f(x)在(0,+)上单
11、调递增,此时f(x)无极值,a0不符合题意.当a0时,当xa2,+时,f(x)0,f(x)单调递增,当x0,a2时,f(x)0.(2)证明当a=1时,f(x)=2lnx+1x,f(x)=2x1x2,f(x1)=f(x2),2x11x12=2x21x22,即2(x2-x1)x1x2x22-x12x12x22=0.x1x2,化简可得2x1x2-(x1+x2)=0,f(x1)+f(x2)=2lnx1+1x1+2lnx2+1x2=2ln(x2x2)+x1+x2x1x2=2ln(x1x2)+2,x1+x2=2x1x2,由x1x20且x1x2可得x1+x22x1x2,2x1x22x1x2,即x1x21,f
12、(x1)+f(x2)2.21.解(1)当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)2n(n-1)2=n,对n=1也成立.则数列an的通项公式为an=n.设等比数列bn的公比为q,由b2+b4=20,T4=30,可得q1,则b1+b3=10,q=b2+b4b1+b3=2,又b1q+b1q3=20,解得b1=2,所以bn=2n.(2)存在.由(1)得,anbn=n12n,则Hn=112+214+318+n12n,12Hn=114+218+3116+n12n+1,两式相减可得12Hn=12+14+18+12n-n12n+1=12(1-12n)1-12-n12n+1,可得H
13、n=2-(n+2)12n0,f(x)0,函数f(x)在(0,+)上单调递增;当a0时,函数f(x)在0,12a上单调递增,在12a,+上单调递减.(2)由题意得,当x1时,lnx+ex-2ax+2a-e0恒成立.令h(x)=lnx+ex-2ax+2a-e,则h(x)=1x+ex-2a,令(x)=1x+ex-2a,则(x)=ex-1x2,因为x1,所以exe,1x21,所以(x)0,所以(x)在1,+)上单调递增,即h(x)在1,+)上单调递增,所以h(x)h(1)=1+e-2a.当a1+e2时,h(x)0,此时,h(x)在1,+)上单调递增,而h(1)=0,所以h(x)0恒成立,满足题意;当a1+e2时,h(1)=1+e-2a0,根据函数零点存在定理可知,存在x0(1,ln2a),使得h(x0)=0.当x(1,x0)时,h(x)0,h(x)单调递增.所以有h(x0)h(1)=0,这与h(x)0矛盾,舍去.综上所述,实数a的取值范围为-,1+e2.
